À propos des normes de Schatten

Je simplifie ma question. Soit $S_n$ l'espace des matrices symétriques d'order $n$ réelles. Soit $N$ une norme sur $\mathbb{R}^n.$ Je suppose que $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto N(x)$ est une fonction symétrique. Si $A\in S_n$ soit $\lambda_1(A)\geq \ldots \geq \lambda_n(A)$ ses valeurs propres (pas nécessairement positives, donc). Soit $\|A\|_N=N(\lambda_1(A), \ldots \lambda_n(A)).$ Est que $A\mapsto \|A\|_N$ est une norme sur $S_n$?

Merci énoncé, mais ce que je veux est plus simple. Je simplifie encore: soit $N$ une norme sur $\mathbb{R}^n$ telle que de plus
1)$ N(x_1,\ldots,x_n)$ est invariant par les permutations de $(x_1,\ldots,x_n)$
2) $N(\pm x_1,\ldots,\pm x_n)=N(x_1,\ldots,x_n) $ pour tous les systèmes de signe $(\pm,\ldots,\pm)$


Soit $S_n$ l'espace des matrices réelles symétriques. Si $A\in S_n$ on pose $$\|A\|_N=N(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$$ lorsque $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A.$ Montrer que $A\mapsto \|A\|_N$ est une norme sur $S_n$ (c'est vrai parait il si $N$ est la norme $\ell_p;$ alors $\|A\|_N$ s'appelle la norme de Schatten d'ordre $p$, mais Wikipedia est vague sur la preuve. Merci aux analystes qui passent.

'Pour moi la norme de Schatten n'est autre que la norme usuelle sur $\C^{n^p}$. Non ?'

heu, qu'est que $\C^{n^\frac{3}{2}}$?

'Pour moi la norme de Schatten n'est autre que la norme usuelle sur $\C^{n^p}$. Non ?'

Même pour $p\neq 2$ entier, même pour $p=1$, je ne vois pas bien pourquoi. Je viens d'écrire une laborieuse démonstration dans le cas réel pour $p=1$ que je joins...


\section{Schatten norm} If $E$ and $F$ are two Euclidean spaces and if $L(E,F)$ is the space of linear applications from $E$ to $F$, observe that for $a\in L(E,F)$ then $aa^*\in L_s(F)$ where $L_s(F)$ is the space of symmetric endomorphisms of $F.$ Furthermore, $aa^*$ is semi positive definite since $\<f,aa^*(f)\>=\|a^*(f)\|^2\geq 0$ for all $f\in F.$ Denote $n=\dim E$ and $m=\dim F.$ The non negative numbers $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ such that $\sigma_1^2,\ldots,\sigma_m^2$ are the eigenvalues of $aa^*$ are called the singular values of $a.$


\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proposition 2.1:} If $\dim F=m\leq \dim E=n$ and if $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ are the singular values of $a\in L(E,F)$ then
$\pm\sigma_1,\ldots,\pm\sigma_m,0,\ldots,0$ are the eigenvalues of the endomorphism of $E\times F$ defined by $$\varphi(a)=\left[ \begin{array}{cc}0&a^*\\a&0\end{array}\right]$$

\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proof:}
$$\left[ \begin{array}{cc}\lambda\mathrm{id}_E&-a^*\\-a&\lambda\mathrm{id}_F\end{array}\right]
=\left[ \begin{array}{cc}\mathrm{id}_E&0\\-\frac{1}{\lambda}a&\mathrm{id}_F\end{array}\right]
\left[ \begin{array}{cc}\lambda\mathrm{id}_E&0\\0&\lambda\mathrm{id}_F-\frac{1}{\lambda}aa^*\end{array}\right]
\left[ \begin{array}{cc}\mathrm{id}_E&-\frac{1}{\lambda}a^*\\0&\mathrm{id}_F\end{array}\right]$$
Therefore the characteristic polynomial of $\varphi(a)$ is $\lambda^{n-m}\det(\lambda^2-aa^*)$, and this shows the statement. $\square$


\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proposition 2.2:} Let $E$ be a Euclidean space of dimension $n$ and let $L_s(E)$ be the linear space of its symmetric endomorphisms. If $a\in L_s(E)$ has eigenvalues $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, then
$$a\mapsto \|a\|_1=|\lambda_1|+\cdots+|\lambda_n|$$ defines a norm on $L_s(E).$


\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proof:} Denote $\|a\|_{\infty}=\max_{\|x\|=1; \, x\in E} \|a(x)\|.$
If $e$ is an orthonormal basis which diagonalises $a$ we have for $[x]^e=(x_1,\ldots,x_n)^T$ $$[a(x)]^e=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)[x]^e=(\lambda_1 x_1,\ldots,\lambda_nx_n)^T$$
and clearly $$\|a\|_{\infty}^2=\max_{\|x\|=1; x\in E} (\lambda_1^2x_1^2+\cdots+\lambda_n^2x_n^2)=\max_i\lambda_i^2.$$
Now fix $a\in L_s(E)$ and consider the linear form on $L_s(E)$ defined by $b\mapsto \mathrm{trace}(ab).$ Then we prove that \begin{equation}\label{CRUS}\|a\|_1=\max_{\|b\|_{\infty}=1} \mathrm{trace}(ab)\end{equation}
Using an orthonormal basis $e$ which diagonalises $a$ and writing $[a]_e^e=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ and $_e^e=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ we have $|\mathrm{trace}(ab)|=|\sum_{i=1}^n\lambda_ib_{ii}|\leq \|a\|_1\max _i|b_{ii}|.$ We now majorize the diagonal of $_e^e$ by $\|b\|_{\infty}$ as follows, using Schwarz inequality:
$$|b_{ii}|=|\<e_i,b(e_i)\>|\leq \max_{x\in E;\|x\|=1}|\<x,b(x)\>|\leq \max_{x\in E;\|x\|=1}\|b(x)\|=\|b\|_{\infty}.$$
This implies $|\mathrm{trace}(ab)|\leq \|a\|_1\|b\|_{\infty}.$ For seeing (\ref{CRUS}) take now $b$ such that $_e^e =\mathrm{diag}(\mathrm{sign}(\lambda_1),\ldots,\mathrm{sign}(\lambda_n))$ leading to $\mathrm{trace}(ab)=|\lambda_1|+\cdots+|\lambda_n|.$
Finally, (\ref{CRUS}) implies that $a\mapsto \|a\|_1$ is a norm. $\square$

\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proposition 2.3:} If $\dim F=m$ if $ \dim E=n$ and if $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ are the singular values of $a\in L(E,F)$ then $\|a\|_1=|\sigma_1|+\cdots+|\sigma_m|$ is a norm on $L(E,F)$ (called the Schatten norm of order 1 or the nuclear norm of $a\in L(E,F)).$

\vspace{4mm}\noindent \textbf{Proof:} We use Propositions 2.1 and 2.2 to see this. More specifically, the linear map from
$L(E,F)$ to $L_s(E\times F)$ defined by $a\mapsto \varphi(a)$ is injective, and $\|a\|_1=\frac{1}{2}\|\varphi(a)\|_1$ is therefore a norm.