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Intégrale de fonction / fonction d'intégrale

Envoyé par crevoise 
Intégrale de fonction / fonction d'intégrale
il y a sept années
Bonjour

Je cherche une démonstration au sujet de l'égalité suivante, liant l'image d'une integrale à l'intégrale d'une image. \begin{equation}
f \left(\int i(t) dt \right)=\int f(i(t))dt
\end{equation} A quelles conditions une telle égalité est vraie ou fausse ?

Remarque : cette question vient du problème similaire au suivant: prenons un tube, auquel j'applique 150 conditions d'entrées différentes. J'obtiens donc 150 résultats en sortie.
L'idée est la suivante: en assignant en condition d'entrée la moyenne des 150 conditions d'entrées, puis-je obtenir en résultat la moyenne des 150 résultats (ou tout du moins m'en approcher). (le tout pour économiser de longues heures de simulation)
Personnellement, je pense que non (cf la fonction exponentielle), et c'est pourquoi je cherche une démonstration à ce sujet.

Merci par avance pour votre aide.
Bonjour,

Sans plus d'informations sur les $i(t)$ pour lesquels tu veux que ton égalité soit vérifiée, je dirai que s'il y en a beaucoup alors il faut que $f$ soit linéaire. Après peut-être que tes $i$ ont une forme spéciale?
Re: Intégrale de fonction / fonction d'intégrale
il y a sept années
Bonjour.

Déjà, pour la moyenne, le résultat est assez pauvre : Fonction affine. Si la fonction $f$ n'est pas affine, il n'y a aucune raison pour avoir $f(\bar{x_i})=\overline{f(x_i)}$ pour toute série statistique $(x_i)_{i=1..n}$. En tout cas, je n'en ai jamais rencontré. Et si ça se trouve, on le démontre en prenant simplement les cas $n=2$.

Cordialement.
Re: Intégrale de fonction / fonction d'intégrale
il y a sept années
Le cas d'égalité va être très rare ; rien que si $f$ est convexe, l'inégalité de Jensen indique que :
$ f \left( \int i(t) dt \right) \leq \int f(i(t)) dt $

et que, si $f$ est strictement convexe, l'égalité n'a lieu que si $i$ est une fonction constante...
Re: Intégrale de fonction / fonction d'intégrale
il y a sept années
Bonsoir,

Intuitivement, ta question fait partie du domaine de l'algèbre linéaire.
La somme discrète $ \sum $ qu'on trouve en algèbre linéaire, est remplacée par une somme continue qui est, le symbole $ \int $.
L'égalité $ f( \int i(t) ) = \int f(i(t)) $ ne peut avoir lieu à mon avis que si $ f $ est linéaire. Donc, le bagage dont tu auras besoin appartient au domaine de l'algèbre linéaire ( Vaste domaine, surtout si tu le combines avec la geometrie differentielle )
Si, on travaille dans $ \mathbb{R} $, $f $ se met sous la forme $ f(x) = ax $. c'est un cas simple : En effet, il est facile de voir que : $ f( \int i(t) ) = a \int i(t) = \int a i(t) = \int f(i(t)) $
Si, tu travailles dans $ \mathbb{R}^n $ ou un espace vectoriel de dimension finie, $ f( \int i_1(x) , ... , \int i_n (x) ) = \int ... \int \int_t f_{i_1 , ... , i_n}} e (t)^{\otimes} (x, \dots , x ) $.
Et là, tu te places dans le domaine de l'algèbre tensoriel ( une généralisation de l'algèbre linéaire )
Il faut chercher la nature de $ e(t)^{\otimes} $ qui est une generalisation de $ ( e_1 \otimes \dots \otimes e_n )(x_1 , \dots , x_n ) $ dans le cas discret.
Bon, juste pour te donner des idées utiles pour forger ton intuition et pouvoir poursuivre tes recherches. Il reste à établir ce que j'ai dit rigoureusement. Il faut pour cela créer une nouvelle théorie si je ne m'abuse. Je ne sais pas si celà existe en mathématiques. Ce sera une belle initiative de s'investir dans ce domaine. :)

Cordialement.
Re: Intégrale de fonction / fonction d'intégrale
il y a sept années
Bonjour,

Merci beaucoup pour toutes vos réponses, Pablo, r314 et les autres, qui me soutiennent dans l'idée que d'appliquer la moyenne des conditions aux limites n'est pas une solution pour ce type de problème de mécanique des fluides (où les fonctions ne sont point linéraires)
Je vais m'en servir pour étayer mon argumentaire.

Pour Bla, les i(t) sont assez nombreux (viscosité, pression, velocité, température...), constants à t.

(juste pour info: depuis 2 mois, 'on' me demande de réaliser un projet (plus complexe que l'exemple du tuyau) avec cette idée de moyenne de conditions aux limites, et je n'obtient que des résultats aléatoires et peu utilisables. J'ai beau m'excrimer à expliquer à 'on' que si l'idée de départ est faussée, il ne peut y avoir de résultats probants, on me demande de poursuivre... Je me trompe peut-être, mais vos commentaires me renforcent dans mon intuition de départ .. que je perds mon temps :) )

Merci encore
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