Intégrale de fonction / fonction d'intégrale

Bonjour.

Déjà, pour la moyenne, le résultat est assez pauvre : Fonction affine. Si la fonction $f$ n'est pas affine, il n'y a aucune raison pour avoir $f(\bar{x_i})=\overline{f(x_i)}$ pour toute série statistique $(x_i)_{i=1..n}$. En tout cas, je n'en ai jamais rencontré. Et si ça se trouve, on le démontre en prenant simplement les cas $n=2$.

Cordialement.

Bonsoir,

Intuitivement, ta question fait partie du domaine de l'algèbre linéaire.
La somme discrète $ \sum $ qu'on trouve en algèbre linéaire, est remplacée par une somme continue qui est, le symbole $ \int $.
L'égalité $ f( \int i(t) ) = \int f(i(t)) $ ne peut avoir lieu à mon avis que si $ f $ est linéaire. Donc, le bagage dont tu auras besoin appartient au domaine de l'algèbre linéaire ( Vaste domaine, surtout si tu le combines avec la geometrie differentielle )
Si, on travaille dans $ \mathbb{R} $, $f $ se met sous la forme $ f(x) = ax $. c'est un cas simple : En effet, il est facile de voir que : $ f( \int i(t) ) = a \int i(t) = \int a i(t) = \int f(i(t)) $
Si, tu travailles dans $ \mathbb{R}^n $ ou un espace vectoriel de dimension finie, $ f( \int i_1(x) , ... , \int i_n (x) ) = \int ... \int \int_t f_{i_1 , ... , i_n}} e (t)^{\otimes} (x, \dots , x ) $.
Et là, tu te places dans le domaine de l'algèbre tensoriel ( une généralisation de l'algèbre linéaire )
Il faut chercher la nature de $ e(t)^{\otimes} $ qui est une generalisation de $ ( e_1 \otimes \dots \otimes e_n )(x_1 , \dots , x_n ) $ dans le cas discret.
Bon, juste pour te donner des idées utiles pour forger ton intuition et pouvoir poursuivre tes recherches. Il reste à établir ce que j'ai dit rigoureusement. Il faut pour cela créer une nouvelle théorie si je ne m'abuse. Je ne sais pas si celà existe en mathématiques. Ce sera une belle initiative de s'investir dans ce domaine.

Cordialement.