Série, cauchy

Bonjour !

Soit $0<\epsilon<1$ fixé. Peut-on trouver une suite réelle $(u_n)_{n\in\N}$ qui diverge vers l'infini et telle que

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\epsilon^k|u_n^{k+1}-u_{n+p}^{k+1}|\longrightarrow0$$ quand $n,p\to\infty$ ?

Merci

Même le terme $k=0$ ne tend pas vers 0.

En effet, je me disais qu'avec un logarithme un peu "bidouillé" on pouvait peut être faire quelque chose mais non...

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