Idéal algèbre de Banach

Bonjour,

J'ai un idéal bilatère fermé $J$ dans une algèbre de Banach $A$ unifère.
Je sais que pour tout $\varepsilon>0$ il existe $y_{\varepsilon}\in J$ non nul, tel que $y_{\varepsilon}+\varepsilon'1$ est inversible pour tout $0<\varepsilon'<1$. (on sait de plus que $||y_{\varepsilon}||\le\dfrac{\varepsilon}{1-\varepsilon}$).

Est-ce que $J=A$ ?