Espaces complets
Bonjour,
1) Est-ce que ce qui suit est juste ?
Pour montrer que $(C([0,1]),\|\|_2)$ n'est pas complet (espace des fonctions continues muni de la norme induite du produit scalaire), je pensait utiliser la suite de fonction $f_n(x)=0$ sur $[1/n,1]$ et $f_n(x)=1-nx$ sinon. Cette suite est bien de Cauchy (puisque l'aire (quadratique) du triangle (en fait calcul plutôt l'aire de $x^2$ puisque l'on considère le carré de la fonction) est de plus en plus petite). La convergence en moyenne quadratique vers une certaine limite $\ell$ induit la convergence simple vers la même limite, et une suite de fonction ne peut converger simplement que vers une unique fonction (unicité de la limite dans l'espace métrique d'arrivée). Or on voit bien que la limite simple $f$ de cette suite de fonctions vaut 1 en 0 et 0 sinon (pas continue) donc si l'on ne veut pas aboutir à une contradiction avec ce qui a été dit précédemment on voit bien que notre suite de Cauchy n'a pas pas de limite (pour la norme en moyenne quadratique). L'espace n'est pas complet !
2) Avez-vous des exemples simples (j'ai un mauvais niveau d'analyse fonctionnelle pour le moment) :
- d'espace de fonctions complet
- d'espace de fonctions non complets
3) Si je décidais de compléter $(C([0,1]),\|\|_2)$ (sur le modèle de complétion de $\Q$ pour obtenir $\R$), j'imagine que j'aurais une description peu explicite (avec des suites de Cauchy équivalentes) du complété.
Pourtant l'an dernier en intégration on nous a dit que $L2([0,1])$ est le complété de $(C([0,1]),\|\|_2)$. On a effectivement montré qu'il est complet et qu'il contient $(C([0,1]),\|\|_2)$ mais qu'est-ce qui nous dit que c'est son complété ? Peut-être qu'il existe un espace plus petit qui complète $(C([0,1]),\|\|_2)$, non ?
4) Le complété de $(C(K),\|\|_2)$ ie à support compact est-il par analogie $L2(K)$. Il semble après quelques recherches que le complété de $(C([a,b]),\|\|_2)$ soit bien $L2([a,b])$ mais que celui de $(C(K),\|\|_2)$ soit $L2(\R)$, ça me parait étrange ? (on est obligé de se placer sur tout $\R$ ?)
[Dfshr8, en typographie, après une apostrophe, il n'y a [b]jamais[/b] d'espace. AD]
1) Est-ce que ce qui suit est juste ?
Pour montrer que $(C([0,1]),\|\|_2)$ n'est pas complet (espace des fonctions continues muni de la norme induite du produit scalaire), je pensait utiliser la suite de fonction $f_n(x)=0$ sur $[1/n,1]$ et $f_n(x)=1-nx$ sinon. Cette suite est bien de Cauchy (puisque l'aire (quadratique) du triangle (en fait calcul plutôt l'aire de $x^2$ puisque l'on considère le carré de la fonction) est de plus en plus petite). La convergence en moyenne quadratique vers une certaine limite $\ell$ induit la convergence simple vers la même limite, et une suite de fonction ne peut converger simplement que vers une unique fonction (unicité de la limite dans l'espace métrique d'arrivée). Or on voit bien que la limite simple $f$ de cette suite de fonctions vaut 1 en 0 et 0 sinon (pas continue) donc si l'on ne veut pas aboutir à une contradiction avec ce qui a été dit précédemment on voit bien que notre suite de Cauchy n'a pas pas de limite (pour la norme en moyenne quadratique). L'espace n'est pas complet !
2) Avez-vous des exemples simples (j'ai un mauvais niveau d'analyse fonctionnelle pour le moment) :
- d'espace de fonctions complet
- d'espace de fonctions non complets
3) Si je décidais de compléter $(C([0,1]),\|\|_2)$ (sur le modèle de complétion de $\Q$ pour obtenir $\R$), j'imagine que j'aurais une description peu explicite (avec des suites de Cauchy équivalentes) du complété.
Pourtant l'an dernier en intégration on nous a dit que $L2([0,1])$ est le complété de $(C([0,1]),\|\|_2)$. On a effectivement montré qu'il est complet et qu'il contient $(C([0,1]),\|\|_2)$ mais qu'est-ce qui nous dit que c'est son complété ? Peut-être qu'il existe un espace plus petit qui complète $(C([0,1]),\|\|_2)$, non ?
4) Le complété de $(C(K),\|\|_2)$ ie à support compact est-il par analogie $L2(K)$. Il semble après quelques recherches que le complété de $(C([a,b]),\|\|_2)$ soit bien $L2([a,b])$ mais que celui de $(C(K),\|\|_2)$ soit $L2(\R)$, ça me parait étrange ? (on est obligé de se placer sur tout $\R$ ?)
[Dfshr8, en typographie, après une apostrophe, il n'y a [b]jamais[/b] d'espace. AD]
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Réponses
3) Tout simplement parce $C([0,1],||\cdot||_2)$ est dense dans $L^2([0,1])$. (Si $Y$ est une partie d'un espace métrique complet $X$, alors l'adhérence de $Y$ dans $X$ est une complétion de $Y$).
4) Pareil que 3), les fonctions à support compact sont denses dans $L^2(\mathbb{R})$.
Bon je réfléchis aun autre exemple pour 1). PS: j'vais vu un exemple en proba avec des rectangles de plus en plus fin qui grandissent en se raprochant de 0, peut être que je peux m'en servir...
Comment feriez vous pour le montrer proprement ?
Ps: J'avais penser également à l' exemple qui marche toujours du triangle qui glisse (bosse glissante) et ce qui est très marrant c'est qu'il n' y a ni convergence simple,ni en moyenne quadratique dans C[0,1] ni en moyenne quadratique dans L2. On a ici un exemple de suite de fonctions qui n' admet pas de limite (mais des valeurs d' adhérences si la vitesse de convergence n' est pas trop grande) alors que l' exemple précédent montrait plutôt un problème de Complétion de l' espace. Finalement il semble qu'il y ait trois types de problèmes pour qu'une suite n' est pas de limite:
-pbm de completion de l' espace (ex un suite de rationnels qui s' approche de racinende 2)
-pbm de vitesse de convergnce . Ex (-1)^n on a des valeurs d' adhérences
-pbm de compacité: ex une suite qui tend vers l' infini, ou plus simplement 1-/n sur l' ensemble[0,1[ mais bizarrement ici ça ressemble plus a un pbm de completude
Ce qui est vrai en terme de limite simple, c'est que si $f_n$ converge vers $f$ dans $L^2$, alors il existe une sous-suite $f_{n'}$ telle que $f_{n'}(x) \to f(x)$ pour presque tout $x$. Ça peut avoir un intérêt dans certains cas.