Exercice fonction réelle continue
Bonjour
Voici un exercice de 1ère année que je trouve assez joli :
Soit $f$ : $\left [ a; b \right ] \rightarrow \R$ continue, telle que :
$\forall t \in \left ]a ; b \right [,\ \exists \epsilon_t \in \R$ tel que $ 0 < \epsilon_t < \inf(b-t,t-a)$ et $$f(t) = \tfrac 1 2 \big[f(t + \epsilon_t ) + f(t - \epsilon_t)\big]$$ Montrer que $f$ est affine.
Voici un exercice de 1ère année que je trouve assez joli :
Soit $f$ : $\left [ a; b \right ] \rightarrow \R$ continue, telle que :
$\forall t \in \left ]a ; b \right [,\ \exists \epsilon_t \in \R$ tel que $ 0 < \epsilon_t < \inf(b-t,t-a)$ et $$f(t) = \tfrac 1 2 \big[f(t + \epsilon_t ) + f(t - \epsilon_t)\big]$$ Montrer que $f$ est affine.
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Réponses
Un autre exercice de première année : quelles sont les fonctions $f \colon \R \to \R$ qui sont continues au sens de Cesàro ?
Sinon, déjà une petite recherche (sur le forum) montre que la continuité au sens de Césaro** implique la continuité (pas difficile à montrer.)
Reste à déterminer quelles fonctions continues le sont au sens de Césaro.
** $f$ est continue au sens de Césaro, si pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers $a$ au sens de Césaro, $f(u_n)$ converge vers $f(a)$ au sens de Césaro.
Soient $a$ et $b$ deux réels et $\lambda \in [0,1]$. On considère une suite de variables aléatoires $X_1,X_2,X_3,\dots$ i.i.d. avec $\Pr(X_i = a) = 1 - \Pr(X_i = b) = \lambda$. D'après la loi forte des grands nombres, on a presque sûrement $$
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \lambda a + (1-\lambda) b
$$ et $$
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i) = \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b).
$$ La continuité au sens de Cesàro donne alors $f(\lambda a + (1-\lambda) b) = \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)$.