Problème sans limite

dfshr8 · November 2013

Bonjour,

L'un des membres du forum vient de me faire réfléchir à certaines notions sur les limites.
Il semble qu'il y ait trois types de problèmes pour qu'une suite n' est pas de limite:
-pbm de completion de l' espace (ex un suite de rationnels qui s' approche de racinende 2)
-pbm de vitesse de convergnce . Ex (-1)^n on a des valeurs d' adhérences donc là la suite ne converge pas mais des sous suites convergent
-pbm de compacité: ex une suite qui tend vers l' infini: ici pas de sous suite convergente (mais cette notion me semble beaucoup plus floue...)

Si quelqu'un peut m" eclaircir les idées

Siméon · November 2013

Pour une suite dans un espace métrique, il y a trois cas :
1. La suite converge. En particulier elle est de Cauchy.
2. La suite n'est pas de Cauchy : elle n'a aucune chance de converger.
3. La suite est de Cauchy mais ne converge pas. Alors l'espace n'est pas complet mais la suite converge tout de même dans son complété.

dfshr8 · November 2013

Ok merci !! (En fait deux cas suite de Cauchy ou pas...)

Ce qui est étonnant c'est que j'aurais eu tendance à mettre une suite qui tend vers + infini (le mot tendre fait penser qu'il y a une notion de convergence dessous mais j’interprète sans doute mal les mots) et une suite qui n'a pas de limite (-1^n par exemple) dans deux catégories distinctes. Pourtant selon la classification que tu donnes les deux ne sont pas de Cauchy donc n'ont aucune chances de converger...

Siméon · November 2013

Je t'ai répondu en prenant le point de vue de la complétude (celui qui apparaissait dans l'autre fil). La question des suites qui tendent vers $\infty$ appelle plutôt des questions de compacité. En fait, dans $\R$ (ou plus généralement dans un espace localement compact), une suite qui tend vers $\infty$ est une suite convergente dans le compactifié d'Alexandrov $\R \cup \{\infty\}$.

P.S. Dans le cas réel, si tu veux distinguer $+\infty$ et $-\infty$ il faut introduire la droite réelle achevée $\overline{\R} = \R \cup\{\pm \infty\}$ avec sa topologie.

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