fonction nulle sur le cercle unité.
Bonjour,
On considère une fonction $f$ analytique sur $D(0;1)$ et continue sur $\overline{D(0;1)}$. On suppose qu'il existe $n\in\N$ tel que $f(e^{i\varphi})=0$ lorsque $0\leq\varphi\leq\frac{2\pi}{n}$. Soit $\omega=e^{i\frac{2\pi}{n}}$ et $g$ définie sur $D(0;1)$ par $g(z)=\prod\limits_{1\leq k \leq n}{f(z\omega^{-k}})$. Comment montrer que $g$ est nulle sur $C(0;1)$?
On considère une fonction $f$ analytique sur $D(0;1)$ et continue sur $\overline{D(0;1)}$. On suppose qu'il existe $n\in\N$ tel que $f(e^{i\varphi})=0$ lorsque $0\leq\varphi\leq\frac{2\pi}{n}$. Soit $\omega=e^{i\frac{2\pi}{n}}$ et $g$ définie sur $D(0;1)$ par $g(z)=\prod\limits_{1\leq k \leq n}{f(z\omega^{-k}})$. Comment montrer que $g$ est nulle sur $C(0;1)$?
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Réponses
Si $z$ est sur le cercle, il s'écrit $e^{i\varphi}$ pour un certain réel $\varphi$, et ce réel $\varphi$ est dans un intervalle $\left[ \frac{2k \pi}{n},\frac{2(k+1) \pi}{n} \right]$ pour un certain entier $k$...
j'ai fait ceci entre temps:
Si $z\in C(0;1)$ il existe $\varphi'$ tel que $z=e^{i\varphi'}$ avec $\varphi'\in\left[\frac{2k_{0}\pi}{n};\frac{2(k_{0}+1)\pi}{n}\right]$ avec $k_{0}\in \{1;...;n\}$. Par conséquent $\varphi'-\frac{2k_{0}\pi}{n}\in \left[0; \frac{2\pi}{n}\right]$. Et donc $g=0$ sur $C(0;1)$
soit $D$ un domaine de $\C$ et deux fonctions $f$ et $g$ holomorphes sur $D$. Si $f=g$ sur un ensemble $X$ ayant un point d'accumulation dans $D$, alors $f=g$.
si $f$ est holomorphe sur un domaine $D$ et que $|f|$ possède un maximum local sur $D$ alors $f$ est constante.
> > Si $ f=g$ sur un ensemble $ X$ ayant un point
> d'accumulation dans $ D$
>
> Et ici qui seraient $D,X,f,g$ ?
ben $D=D(0;1)$, $X=C(0;1)$ $f=g$ et $g=0$. Dans le sens où on peut approcher un point du cercle par une suite de points de $D$
Je vais arrêter de participer à ce fil, car depuis une dizaine de messages, je suis en train de faire ton job à ta place, à savoir :
1) apprendre ton cours,
2) vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes que tu veux appliquer, avant de les appliquer.
> tu l'as dans ton cours ? Ce n'est pas juste "au
> feeling" hein !
B-)-
Si tu préfère tout voisinage d'un point du cercle possède une infinité de points dans l'intérieur du disque.