Distribution associée à une fonction

Bonsoir,

Pour $ 1) $ :
Soit $ K \subset \Omega $ un compact.
$ \forall \varphi \in \mathcal{D}_K ( \Omega ) $ : $ | \langle T_f , \varphi \rangle | = \Big| \int_{K} f \varphi \Big| \leq \int_K | f \varphi | \leq \Big( \mathrm{sup}_{K} | \varphi (x) | \Big) \int_{K} |f| \leq \int_K |f| . || \varphi ||_{\infty} $
Donc : $ T_f $ est une distribution.

Pour $ 2) $ :
Soit $ \varphi \in \mathrm{ker} T $. Alors : $ T(f) = T_f = 0 $.
Cela implique que $ \forall K \subset \Omega $ : un compact, $ \forall \varphi \in \mathcal{D}_K ( \Omega ) $ : $ \langle T_f , \varphi \rangle = \int_K f \varphi = 0 = \int_K 0 $
Donc, cela implique que $ f \varphi = 0 \ \ \mathrm{p.p.} $ pour tout $ \varphi \in \mathcal{D}_K ( \Omega ) $
C'est à dire : $ f = 0 \ \ \mathrm{p.p.} $
D'où $ f = 0 $ dans $ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) $

Par conséquent : $ \mathrm{ker} T = \{ 0 \} $
C'est à dire : $ T $ est injective.

Correct ?

gb :

Oui, c'est vrai.
Tu peux me dire comment remédier à ce problème ?
Merci d'avance.

Edit : Je n'ai pas vu que tu as posté un message @Yle.
$ K $ est un compact, parce que, c'est comme ça que commence la définition d'une distibution : Pour tout compact de $ \Omega \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \ \exists C_K \ \dots $ etc.
Donc, dès le début, il faut se fixer un compact avant de se lancer dans la suite du rasionnement.
$ \mathcal{D}_K ( \Omega ) $ est l'ensemble des fonctions test $ \varphi $ tel que : $ \mathrm{supp} \ \varphi \subset K $.

@Yle :

Oui, je sais ça, mais, on ne peut pas fairee ça dès la première fois qu'on découvre la leçon, il faut du temps pour pouvoir se familiariser avec la théorie. C'est ce que j'essaye de convaincre gb et Philippe.

Bonjour à tous,

Permettez moi de retourner poser une question ici, qui porte sur un sujet en lien avec la question initiale de ce fil. Là voiçi :

Paragraphe issu de Wikipedia :

Toute mesure de Borel $ \mu $ ( signé, voire complexe ) sur $ \mathbb{R}^N $ represente une distribution $ T_{\mu} $, définie via l'injection canonique $ T $ :
$$ \langle T_{\mu} , \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi \ d \mu $$
pour toute fonction $ \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^N ) $.

{ \bf Question : }

Pourquoi $ T $ définie par : $ T( \mu ) = T_{\mu} $ est une application linéaire, injective ?
$ \mu $ est soit de Borel, soit signé, soit complexe.

Merci d'avance.

svp, aidez moi.

Bonsoir,

J'ai lu ce qu'est une mesure de Radon, mais celà ne m'inspire pas grand - chose :
Pour toute fonction $ \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^N ) $
$$ \langle T_{\mu} , \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi \ d \mu $$
$ T : \mu \to T_{\mu} = \langle T_{\mu} , \bullet \rangle $ est une forme linéaire. En effet :
$ \forall \mu , \nu $ deux mesures positives ( \signées ) , $ \forall \lambda \in \mathbb{R}^N $ , $ \forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R} ) $ :
$ T ( \mu + \lambda \nu ) ( \varphi ) = \langle T_{\mu + \lambda \nu} , \varphi \rangle = \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi d ( \mu + \lambda \nu ) = \varphi \bullet ( \mu + \lambda \nu ) = \varphi \bullet \mu + \lambda \varphi \bullet \nu = \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi d \mu + \lambda \displaystyle \int_{\mathbb{R}^{N}} \varphi d \nu $
$ = \langle T_{\mu} , \varphi \rangle + \lambda \langle T_{\nu} , \varphi \rangle = T ( \mu ) ( \varphi ) + \lambda T ( \nu ) ( \varphi ) $
C'est à dire : $ \forall \mu , \nu $ deux mesures positives ou signées et $ \ \forall \lambda \in \mathbb{R} $ : $ T ( \mu + \lambda \nu ) = T ( \mu ) + \lambda T ( \nu ) $
Donc : $ T $ est une forme linéaire.

Pourquoi $ T $ est injective ?

Merci d'avance.