produit de séries

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dans Analyse
Bonjour,

Je dois faire le produit de ces deux séries : $\quad \displaystyle \sum_{n} z^n\quad$ et $\quad\displaystyle \sum_n \frac {1} {n!z^n}$
J'aurais utilisé la formule du produit mais le problème c'est le $1/z$.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Il me semble qu'on peut calculer ces deux séries, c'est à dire donner une "forme fermée" pour chacune d'elle .
  • top
    top
    je sais mais je veux savoir comment vous écrivez la formule pour le produit
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Le produit des séries \(\sum\limits_n a_n\) et \(\sum\limits_n b_n\) est la série \(\sum\limits_n c_n\) dont le terme général est donné, pour tout indice \(n\) par :
    \[c_n = \sum_{p+q=n} a_pb_q\]
    ce qui ne donne pas nécessairement un joli résultat.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Est-ce que la question est de donner une expression pour le terme de la série produit ou de donner une expression pour le produit des séries?

    La première série est convergente sur $|z|<1$ et vaut $\dfrac{1}{1-z}$.

    La seconde est convergente pour tout nombre complexe différent de 0 et vaut $ e^{\frac{1}{z}}$

    Ce qui fait que le produit de ces deux séries est convergent sur le disque ouvert de centre O et de rayon 1 auquel on a retiré le point O.
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