Dérivée série
Bonjour,
Lors de la résolution d'un problème, j'ai trouvé la fonction suivante et j'aimerais beaucoup en trouver le minimum :
$f(X) = \frac{G}{2 + X * F} + \sum_{i=1}^{X} \frac {C}{2 + (i - 1) * F}$
avec X appartient à N
Mon problème est que j'ai X en borne supérieure de ma somme et donc je n'arrive pas à la dériver...
Exemple:
Pour les valeurs
G = 2000
F = 4
C = 500
La courbe a cette allure pour les 1000 premières valeurs:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/15dcwFe41eDGE7ynM4SDLYkB9gHg8I_URvd-7wwYWd1Q/edit
Merci d'avance de votre aide !
Lors de la résolution d'un problème, j'ai trouvé la fonction suivante et j'aimerais beaucoup en trouver le minimum :
$f(X) = \frac{G}{2 + X * F} + \sum_{i=1}^{X} \frac {C}{2 + (i - 1) * F}$
avec X appartient à N
Mon problème est que j'ai X en borne supérieure de ma somme et donc je n'arrive pas à la dériver...
Exemple:
Pour les valeurs
G = 2000
F = 4
C = 500
La courbe a cette allure pour les 1000 premières valeurs:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/15dcwFe41eDGE7ynM4SDLYkB9gHg8I_URvd-7wwYWd1Q/edit
Merci d'avance de votre aide !
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Réponses
J'aimerai bien que tu m'expliques comment tu fais. B-)-
C,G,F sont aussi des entiers?
Effectivement X est dans $ \N $ , il ne peut etre égale qu'à 1, 2 , 3, 4... Ca n'a donc pas forcément de sens de la dérivée... Mais est-ce qu'il y a quand meme un autre moyen de trouver le minimum de la fonction ?
C G F sont des $\R$, juste des constantes.
$f(X) = \frac{G}{2 + X * F} + \sum_{i=1}^{X} \frac {C}{2 + (i - 1) * F}$
Par exemple pour cette courbe:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/15dcwFe41eDGE7ynM4SDLYkB9gHg8I_URvd-7wwYWd1Q/edit
Le minimum sera à X = 4
$g(X) = f(X) - f(X - 1) = \frac{G}{2 + X * F} - \frac{G}{2 + (X - 1)* F} + \frac{C}{2 + (X - 1)* F} $
Ainsi on regarde quand celle-ci s'annule et on aurait le minimum.
J'ai l'impression qu'iI n'y aurait donc plus qu'à chercher g(x) = 0 ... ?
Non.
Ta fonction est en fait une suite. On ne peut pas utiliser les outils du calcul différentiel.
On regarde en fonction des paramètres si cette différence est positive ou négative.
Dans le premier cas la suite est croissante, dans le second cas elle est décroissante.
En faisant des suppositions sur les paramètres on arrive à répondre à ta question initiale dans ces cas-là me semble-t-il.
Pour g(x) = 0, j'obtiens $ x = \frac{FG - 2C}{FC}$.
Et pour l'exemple ci dessus,
$x = \frac{FG - 2C}{FC} = \frac{4*2000 - 2*500}{4*500} = 3.5$
Donc en arrondissant au supérieur 4, ce que je recherchais.
J'ai testé avec 200 autres cas pour des x allant de 1 à 100000, en arrondissant au supérieur, et cela fonctionne toujours à part 2 fois où j'obtiens 0 au lieu de 1, surement un cas spécial non traité.
Maintenant pour avoir le minimum, je n'ai donc qu'à faire :
f(A) avec $ A = \frac{FG - 2C}{FC}$.
L'inconvénient c'est que cela me fait calculer les termes de la suite de 0 à A. Et donc finalement cela revient au meme que de partir de 0, de calculer f(1), f(2), f(3) et de les comparer 2 à 2 jusqu'à ce qu'on ai le suivant supérieur au précédent... Là on a le minimum ...
Ce qui serait parfait, ce serait que
$\sum_{i=1}^{X} \frac {C}{2 + (i - 1) * F}$ puisse etre simplifié au meme titre qu'une suite géométrique ou arithmétique. Je ne vois malheureusement pas comment... Le sujet étant différent, je devrais surement ouvrir un nouveau post!
Encore Merci "Faim de partie" :-) !