Corrigé épreuve ESIM

Peut-être dans la RMS revue mathématiques spéciales

Attention ! \(E\) n'est pas compact.

Par exemple, si \(n=2\), \(E = \lbrace{ (x_1,x_2) \ ; \ -1 < x_1 < x_2 < 1 \rbrace}\) est le triangle ouvert limité par les droites d'équations respectives : \(x_1=-1\), \(x_1=x_2\) et \(x_2=1\).

Il suffit d'encadrer chaque variable \(x_i\) entre \(-1\) et \(1\) pour obtenir un encadrement de \(f\), grossier certes, mais on cherche pas la finesse dans cette première question.
En étant plus fin dans l'encadrement, on doit pouvoir prouver que \(f\) est positive et de borne inférieure nulle.

Bonjour,
Je me permets un grand UP !
J'essaye de rédiger une solution complète de cette épreuve ESIM. J'y suis presque ; seule résiste la question 6°.

Pour la résoudre il "suffit" de montrer que le polynôme Q défini dans cette question (proportionnel au polynôme de Tchebychev de seconde espèce, d'après ce que j'ai pu voir sur internet) satisfait à l'équation (1-x^2)y" -3xy' + n(n+2)y =0. Et je n'y arrive pas !
Est-ce qu'une âme charitable accepterait de se plonger dans cette question 6° pour me donner une idée de preuve ?
Par avance, je la remercie beaucoup.
micga

Bonjour,

Donne la définition précises des polynômes et on te donne le raisonnement.

Bonjour,

La relation que tu donnes est fausse. En général, on obtient l’équation différentielle à partir de la définition $\displaystyle U_n(\cos x)={\sin n x\over \sin x},\ x\in \R,\ n\in \N$ en dérivant deux fois.
Pour t’aider, tu dois donner le sujet en entier.

Bonjour,

Je ne sais pas utiliser l’énoncé pour résoudre la question $6.$ De plus je ne vois qu’une méthode calculatoire qui est improbable dans ce concours sans questions intermédiaires.
On transforme $Q_n(x)=(1-x^2)^{-1/2} D^n (1-x^2)^{n+1/2}$ en série car on sait écrire $D^nf(x^2)$ sous cette forme. On cherche enfin une solution de l’équation différentielle $(1-x^2) y”-3 x y’+n(n+2) y=0$ sous forme de série et on compare...

J’ai cru que $xD=Dx-1$ et par récurrence $xD^m=D^mx-mD^{m-1}$ permet de faire un calcul direct élégant pour montrer que $Q_n(x)$ est une solution de l’équation différentielle mais je ne m’en sors pas.

Ou alors je ne comprends pas la question...
On sait montrer que $Q_n(x)$ est un polynôme de degré $n$... on peut écrire $Q_n(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k(n)x^k$ et essayer d’utiliser l’énoncé pour conclure...

Bonjour,

Je crois avoir trouvé : je te laisse vérifier.
On sait que $P$ est solution d’une ED de degré deux qui est de Sturm ; donc les polynômes sont orthogonaux avec le bon noyau...
Par une succession d’intégrations par parties, on montre que $\int_{-1}^{1} Q_n(x) x^m (1-x^2)^{1/2}dx$ est nul pour tout $m<n$ et on a montré par ailleurs immédiatement que $Q_n $ est un polynôme de degré $n$ : par unicité, $Q$ est forcément solution de l’ED et donc proportionnel à $P$ puisqu’ils ont même degré.

Ajout : les polynômes solutions $P_n$ sont de degré $n$. On a montré que $Q_n$ est un polynôme de degré $n$ (par récurrence) et alors on peut écrire $Q_n(x)=\sum_{k=0}^{n} a_kP_k(x)$ et la relation intégrale précédente donne $a_n=0$ pour tout $m<n$ ; on choisit $m=n-1$, et donc nécessairement $Q_n(x)=a_n P_n(x)$ : on a montré que $Q_n$ est proportionnel à $P_n.$

Cette résolution nécessite de savoir que les polynômes solutions sont orthogonaux... mais c’était peut-être au programme en 1983 ?