analyse agreg

jamie · April 2014

Bonjour,

Pour réviser l'analyse on m'a conseillé les Ramis qui sont super, mais ne reprennent pas le programme de sup. Quels livres me conseillez-vous (ps si qqun a le Gourdon analyse en djvu ce serait sympa de me l'envoyer car je ne le trouve pas en vente à distance format pdf) Merci.

h · April 2014

Les Ramis-Deschamps-Odoux reprennent tout à la base. On peut les lire en sortant de terminale ! C'est rude en sortant de terminale, mais pour des révisions cela ne devrait pas poser de problèmes à moins que tu n'aies de très grosses lacunes. De ce que j'ai compris, les gourdons Gourdon sont plus synthétiques ; si les RDO ne te conviennent pas les Gourdon ne te conviendront sans doute pas non plus ; mais c'est à confirmer.

Si tu as consulté les RDO, qu'est-ce qui t'ennuie précisément ?

jamie · April 2014

Merci ,

Et bien a titre d exemple il n'y a pas les operations sur les limites ( je crois qu en sup ces demos sont refaites mais peut etre etait ce du niveau secondaire avant).

ps: je tenais à nouveau à vous remercier H pour la reference des RDO. J'ai laissé un message à la suite du topic calcul différentiel banachique pour savoir si vous aviez d autres pépites en analyse fonctionelle, theorie de la mesure

jamie · May 2014

Bonjour,

Pour démontrer le théorème des accroissements finis (inégalité) je crois me souvenir que l' on peut le démontrer
- à l' aide du calcul intégrale
- par l' absurde en utilisant que la branche du calcul différentielle
Mais peut être que je me trompe et que les hypothèses ne sont pas les mêmes dans les deux cas. Si ces deux démos ont pour conséquence le meme résultats sous les memes hypothèses je ne comprend pas l' intérêt de la seconde démonstration (par l' absurde) qui me semble bien plus compliquée

Philippe Malot · May 2014

Bonsoir,

Pour ma part, j'ai toujours trouvé curieux qu'à un tel niveau (i.e. celui d'envisager de passer l'agrégation), on ne soit pas capable de prouver quelque chose d'aussi simple que l'inégalité des accroissements finis.
Cela dit, il y a le théorème des accroissements finis "banal" mais fort utile que l'on apprenait jadis en terminale, et puis il y a plusieurs versions plus générales dans $\R^n$ ou également l'inégalité des accroissements finis (qui peut résulter du TAF) dans un cadre plus général avec des fonctions définies sur des ouverts d'un espace vectoriel normé quelconque.
De quel théorème parles-tu donc ?
Quant à ta question, il me semble qu'elle est plus générale : à quoi cela sert-il d'avoir plusieurs démonstrations d'un même résultat ?
Eh bien, parfois il existe des preuves extrêment courtes et simples mais qui semblent sorties d'un chapeau et parfois il y a des preuves plus compliquées, mais plus constructives, dans lesquelles on part vraiment des hypothèses de départ en essayant d'arriver au résultat demandé. Laquelle est la meilleure ? Cela dépend de ce que tu recherches dans une preuve !

Jer anonyme · May 2014

Je pense que si un théorème a un grand nombre de démonstrations différentes, c'est qu'il est «central», i.e. qu'il est un lien entre différents sous-domaines, voire «profond» puisque la même idée surgit de situations différentes (au moins en apparence)

jamie · May 2014

Bonjour,

Philippe, je me suis peut être pas bien exprimé. Quant quelqu'un écrit un livre il n'y a rarement plusieurs démonstration, il y a un choix qui est fait par l'auteur et c'est ce choix que je ne comprend pas forcément (manque de recul) . A titre d'exemple:
1) Voici la preuve du RDO avec une fonction tombée de nulle part (phi_epsilon) pourtant je trouve le livre de Ramis exceptionelle, donc il y aforcément une idée dérrière http://imagik.fr/view-rl/95115
Ps: pour cette démo il utilise la dérivabilité à droite mais il me semble qu'il devrait également préciser que la fonction $t \mapsto \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c}$ est continue non ?

2)Il ya la démo de mon cours (la plus simple de loin) qui utilise le thm fondamental de l'analyse et qui par une simple intégration établit le résultat

3) il y a la démo du L3 tout en un qui qui montre par l'absurde (ptreuve la plus intuitive à mon gout) que si f est borné "en vitesse" (par M) alors le chemin parcourut entre deux instants est plus petit que le temps écoulé muiltiplié par M

Philippe Malot · May 2014

Bonjour,

La preuve du RDO est la preuve que je connais de ce résultat. Je viens de regarder dans deux autres livres et j'ai trouvé la même, elle est donc assez courante.
Es-tu sûre qu'il s'agit exactement du même théorème qui est prouvé à l'aide du théorème fondamental de l'analyse ?
Par rapport à ce que tu dis à la question 3), le résultat démontré dans RDO me paraît plus général. Je suppose qu'il est même démontré dans le RDO comme un corollaire du théorème (ou énoncé comme un deuxième théorème, peut-être ?)

jamie · May 2014

La démo du L3 tout en un est la suivante:
http://imagik.fr/view-rl/95124
les hypothèses du tout en un précise que f et g sont dérivables (alors que dans le Ramis fest et g sont supposée seulement dérivables à droite) mais j'ai l'impression que la démo du tout en un se fait également en affaiblissant l'hypothèse.

Ps: pour ma question "1) ps" utilise t'il bien la continuité de la fonction citée (pour garantir l' existence d'un $\varepsilon$ tel que ...)

jamie · May 2014

Bon j'ai compris qu'il nen faut pas chercher midi à quatorze heure mais je suis quand même curieux de savoir si les différentes démos sont équivalentes:
3) -la démo par le théorème fondamental de l' analyse nécessite quand même que f' et g' soient Rieman intégrable ( les hypothèses suivantes sont aussi nécessaires: f et g dérivables avec $f'(t) \leq g'(t) $ sur ]a,b[) (peut être que le fait que mla dérivée à droite de tels fonctions entrraine qu'il y a qu'un nombre négligeable de discontinuités d ou la Riemann intégrabilité) pour faire cette preuve j' ai juste fait: $\| f(b)-f(a) \|= \| \int_a^bf'(t) \| \leq \int_a^bg'(t)=g(b)-g(a)$
Donc pour parler d'intégrale, la seule dérivabilité à droite n'est pas suffisante je dois avoir la dérivabilité et l'intégrabilité au sens de rieman des dérivée ce qui est peut être un peu plus contraignant

2) pour la preuve pare l'absurde intuitive(du tout en un) je vais essayer de la refaire pour dégager les hypothè-ses réellements nécessaires

Philippe Malot · May 2014

Évidemment si les hypothèses ne sont pas les mêmes...
Il existe des fonctions qui sont dérivables mais dont la dérivée n'est pas intégrable (l'exemple classique est $x\mapsto x^2 \sin(x^{-2})$ prolongée par continuité en $0$).
Quant à la preuve du tout en un L3, je ne la trouve pas plus lisible que l'autre. Les manipulations finales (qu'il faudrait adapter au cas de la dérivabilité à droite uniquement) ne me semblent pas si évidentes non plus.
Je n'ai pas bien compris où tu voulais utiliser un argument de continuité dans la preuve du RDO.

jamie · May 2014

Nos messages se sont croisés ! pour l' argument de continuité le Ramis dit:" la dérivabilité à droite de f et g permet alors de trouver $t \in ]c,b[$ vérifiant simultanément $\|f(t)-f(c))/(t-c)\| \leq \|f'_d(c)\|+\varepsilon/2$... pour moi ça vient du fait que comme $f_d'(c)=\lim f(t)-f(c))/(t-c)$ alors pour t suffisement proche de c on aura $\|f(t)-f(c))/(t-c)\| -\|f'_d(c)\| \leq \|f(t)-f(c))/(t-c)-f'_d(c)\|\leq \varepsilon/2$ ps désolé je voulait insister sur le fait qu'il s'agit d'une limite (aucun rapport avec la continuité de la fonction citée)

Philippe Malot · May 2014

En effet, il suffit de se ramener à la définition de la dérivabilité à droite ! :-)

jamie · May 2014

Pensez-vous que les RDO, le Brezis, le Brian Pages (intégration) et Probabilité élémentaire (Jacod ) couvrent le programme d'agreg (en analyse) complet ?
PS : je comptais me focaliser sur ces ouvrages que je trouve de grande qualité et qui semble couvrir tout le programme.

egoroffski · May 2014

Salut,

Il manque peut-être les distributions ? (de mémoire le Brézis s'arrête "juste avant" et les autres ne les mentionnent pas).

Sinon pour l'intégration et les probabilités je me permets de faire un peu de pub pour le Garet-Kurtzmann qui a très bonne réputation et dont l'un des auteurs est un contributeur actif du forum.

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