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Ramis

Envoyé par jamie 
Ramis
il y a six années
Bonjour

Page 308 du RDO, je ne comprends pas comment on sait que $\psi_j$ est différentiable.

J'ai essayé d exprimer le premier terme de la somme comme composée de fonctions que je sais différentiables comme des translations mais sans succès



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
H
Re: ramis
il y a six années
Le premier terme est la composée de l'application définie par $x_j \mapsto a_j+x_j$ et d'une application que l'on sait être différentiable par hypothèse. Non ? (J'ai lu un peu vite.)
Re: ramis
il y a six années
Merci!!!!
Re: Ramis
il y a six années
Ps: lordqu il utilise le corollaire 1 il omet deverifier les hypotheses: en particulier la cobtinuite de $\psi_j$ sur [0,h_i] segment fermé (sur l ouvert ca aurait decoule de ka differentiabilite...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par jamie.
Re: Ramis
il y a six années
Bonjour pour le théorème de fonctions implicites Wikipédia ne précise pas que la différentielle partielle en y de f doit être continue au point (a,b) alors que dans le RDO ceci est mentionne. Cette hypothèse est elle superflue, ou l énonce de Wikipédia est erroné ? Merci

Ps je ne comprend pas bien l'utilité de ce théorème, quelque un m'a dit que servait dans les systèmes d équations mais je ne vois pas le rapport. 2) avez vous des exemples très simple d utilisation, illustration de ce théorèmes pour y trouver un onteret



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par jamie.
Re: Ramis
il y a six années
avatar
Salut jamie. La fonction de Wikipedia est de classe au moins C^1.
Re: Ramis
il y a six années
Ahhhh il me saoul ce foutu théorème, je ne comprend rien á la démo.
1) D ou sort cette fonction g sortie de nulle part, comment trouve t on la différentielle partielle par rapport á y(la aussi je ne vois pas comment on le trouve ) á peine 3lignes de démos et je suis perdu...(une journée passée en vain á comprendre l'intérêt les hypothèses et la démo...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par jamie.
Re: Ramis
il y a six années
Je ne comprend pas la relation de preponderabce, dans le Ramis le cadre est les fonctions de R vers un espace vectoriel F (note E dand ke Ramis) or quand on parle de differentiabilite on ne traite pas que des fonctions a variable reelle, d ailleurs le reste est bien une fonction de E vers F donc on sors du cadre
H
Re: Ramis
il y a six années
Tes questions ne sont pas claires. Tu aurais sans doute plus de réponses avec des questions plus claires !

J'essaye de décrypter.

1) D'où sors la fonction $g$ ? Imagine que l'on est en dimension 2 et que l'on s'intéresse à $f(x+h,x'+h')-f(x,x')$ où $h$ et $h$' sont petits. On veut approcher cela en utilisant des dérivées partielles. L'idée est de décomposer la différence en deux (c'est assez visuel) :
$$
f(x+h,x'+h')-f(x,x') = \big(f(x+h,x'+h')-f(x,x'+h')\big) + \big(f(x,x'+h')-f(x,x')\big).
$$
Le premier terme peut s'approcher par
$$\frac{\partial h}{\partial x'}f(x,x'+h') h \approx \frac{\partial h}{\partial x'}f(x,x') h$$
tandis que le deuxième s'approche par $$\frac{\partial h}{\partial x}f(x,x') h'$$. On va de $(x,x')$ à $(x+h,x'+h')$ en deux étapes : d'abord en modifiant la première coordonnée et ensuite en modifiant la deuxième (ou l'inverse).
H
Re: Ramis
il y a six années
Je ne comprends pas du tout les autres questions, il faut que tu précises et que tu donnes des références claires.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par jacquot.
Re: Ramis
il y a six années
Désolé H, je vais préciser mes questions. (Ps pour la première question je faisait allusion à la demo des fonctions implicites et non au théorème des accroissements finis).

Revenons au dernier post pour commencer. Je ne suis pas du tout familier avec la notation de Landau. Il semble que le cadre pour dire que "$f=o(g)$" est le suivant (dans le Ramis) : $f,g:\R \to E$, on considère $a \in \overline{\R}$ et $V$ un voisinage de $a$. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ suivant $V$ ssi pour tout $\varepsilon>0$, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $\|f\|_E<\varepsilon \|g\|_E$ sur $V$ noté $f=o(g)$ (je ne suis pas familier avec les filtres donc je considère un voisinage de $a$).

Maintenant regardons la définition de différentiable donnée dans Ramis :
On considère $f:E \to F$ différentiable en $a$ alors on peut écrire : $f(a+h)=f(a)+Df(a)(h)+o(\|h\|)$. Si l'on note $F:h \in E \to f(a+h)-(f(a)+Df(a)(h)) \in F$ et $H:h \in E \to \|h\|$. On a donc $F=o(H)$ mais du coup ça n'a pas de sens !!! En effet $H$ et $F$ ne sont pas des fonctions à variable réelle et en plus de ça elles ne sont pas définies sur les mêmes espaces (l'espace d’arrivée des deux fonctions est distinct).
Donc il me faudrait une définition plus générale de la négligeabilité pour donner un sens a tout ça !!!

PS : Le cadre suivant [www.les-mathematiques.net] est encore moins général que celui donne dans le Ramis et pourtant tous les livres que j'ai consulté donnent cette définition.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
H
Re: Ramis
il y a six années
C'est dans le Ramis. Une ou deux pages après la définition tu as une "extension de la définition". C'est III.5.1.3.3° chez-moi.
H
Re: Ramis
il y a six années
Il est de toute façon très difficile de prendre le Ramis en défaut. J'ai bossé dessus dans ma jeunesse et il ne me semble pas y avoir vu d'erreurs ou de définitions manquantes (mais les erreurs étaient peut-être toutes suffisamment simples à rectifier pour que je le fisse (?) sans m'en apercevoir ou sans que je ne m'en souvienne maintenant). Tiens si quelqu'un de passage a une erreur sous la main dans le Ramis ça m'intéresse ! Si quelqu'un peut confirmer ou infirmer ma concordance des temps ça m'intéresse également !
Re: Ramis
il y a six années
avatar
Que tu le fisses ou que tu l'eusses fait, je crois que les deux formes sont correctes..
Puisse jamie partager ce souci de la formulation juste winking smiley
Re: Ramis
il y a six années
@H
Pour ce que tu dis au sujet de Ramis d'accord. (anecdote : quelqu'un avait signalé sur ce forum une somme de série à calculer, la même proposée en exercice dans RDO et dans le Dieudonné (Fondements de l'analyse) et ils n'étaient pas d'accord. C'est Ramis qui se trompait)
Mais dans ce cas précis il me semble que ce qui gène Jamie c'est que la définition de la négligeabilité est donnée pour des fonctions définies sur une partie $A$ de $\R$ alors que les fonctions envisagée dans le chapitre calcul diff sont définie sur un ouvert $U$ de $E$ evn. Bon la définition se généralise sans problème. Et D'ailleurs en passant je ne comprends pas du tout en quoi la définition que tu cites est une généralisation de la définition donnée juste avant. Effectivement ils parlent de généralisation dans leur livre mais je vois pas du tout en quoi, car ça donne exactement la même définition. (Il me semble qu'elles sont équivalentes.)
H
Re: Ramis
il y a six années
Merci à jacquot pour la conjugaison et à Blueberry pour le Ramis !

Il y a donc des petits bugs dans le Ramis, je suis très déçu ! L'extension est une extension du cas où les espaces d'arrivés sont les mêmes au cas où ils sont différents. C'était l'un des trucs qui gênaient jamie et j'avais cru lire que c'était le seul. L'autre est non traité par cette extension.

@jamie : pour passer de $\R$ à un ouvert d'un evn (pour le départ) il suffit de remplacer les voisinages dans $\R$ par des voisinages dans l'ouvert de l'evn.
Re: Ramis
il y a six années
Citation

L'extension est une extension du cas où les espaces d'arrivés sont les mêmes au cas où ils sont différents.
Ok ! ça m'avait échappé...Pour moi ça reste quand même d'excellents livres.
Re: Ramis
il y a six années
Oui, effectivement l'espace de départ me gênait également, merci.
Quelle serait la définition la plus générale, du coup ? (pour voir si ce que j'ai noté est juste)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: Ramis
il y a six années
Je pense que ce serait un bon exo pour toi de proposer, dans le cas de fonctions $f,g$ disons à valeurs réelles pour l'instant, mais définies au voisinage d'un point $x$ d'un espace topologique général $E$, des définitions de $f = o(g)$, $f=O(g)$, et $f \sim g$.
Re: Ramis
il y a six années
Bonjour,

Voici ce que je déduit de vos conseils:


Comme l'a mentionné ev, j'aurais pu considérer une fonction numérique, ce que je fais en normant (comme l'explique l'extension dans RDO). Est ce juste ?
H
Re: Ramis
il y a six années
Presque. Poser plutôt $A=U \cap V$ (sinon $f(x)$ et $g(x)$ à la fin ne sont pas toujours défini). C'est juste une typo sans doute.
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