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résidus et zéros

Envoyé par zinaudore 
résidus et zéros
il y a six années
Bonjour,

Soit $ f(z)= \dfrac{e^{iz}}{e^{z}+e^{-z}} $

On me demande de déterminer les zéros de de $ e^{z}+e^{-z} $

Faut-il :
calculer le développement limité de l'exponentielle,
ou partir du fait que $ e^{z}+e^{-z} = 2\cosh(z) $

Merci à l'avance de votre aide.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Re: residus et zeros
il y a six années
Bonjour,

Un développement limité ne te donne qu'une information locale, donc tu n'iras pas loin. En revanche en posant $w=e^z$, tu peux réécrire l'équation $e^z+e^{-z}=0$ sous une forme plus simple, résoudre en $w$ puis trouver les $z$ correspondants.
Re: residus et zeros
il y a six années
avatar
$e^z=-e^{-z}$
$e^{2z}=-1$
Par ailleurs
$e^{2z}=e^{2x+2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,e^{2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,(\cos(2y)+\mathrm{i}\sin(2y))$
etc



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par Archimède.
Re: residus et zeros
il y a six années
j'obtiets z=log(i) ou z=log(-i)
Re: residus et zeros
il y a six années
avatar
A quoi sont égaux log(i) et log(-i) ?
Re: residus et zeros
il y a six années
Re: residus et zeros
il y a six années
lol :)

Je reformule la question d'Archimède : quelle est cette mystérieuse fonction "log" que tu évalues en $i$ et $-i$ ?
Re: residus et zeros
il y a six années
Reviens dans $\mathbb{R}$, on y est bien mieux !
Re: residus et zeros
il y a six années
Re: résidus et zéros
il y a six années
Heu ...

$\ln$ est définie sur $\mathbb R$, donc à priori, $\ln(i)$ n'a pas de signification ...

Cordialement.

NB : Tu pourrais donner le détail de tes calculs, ou au moins ce que tu as avant d'utiliser induement $\ln$.
Re: résidus et zéros
il y a six années
Zinodaure, si tu ne maitrises pas le logarithme complexe (fonction non univoque, donc à manipuler avec précaution), tu peux repartir de $ e^{2z} = -1 $ : en remarquant que le premier terme vaut $(e^z)^2$ et que le second est en fait l'une des plus belles formules mathématiques $-1 = e^{i\pi} \quad (= (e^{i\frac{\pi}{2}})^2 )$, il ne reste presque plus qu'à identifier terme à terme, non ?
Re: résidus et zéros
il y a six années
w = exp(z)
1/w = exp(-z)

w + (1/w) = 0 si et seulement si w² + 1 = 0 si et seulement si (w-i)(w+i) = 0
w = -i ou w = i

exp(z) = -i ou exp(z) = i
exp(z) = exp(log (-i)) ou exp(z) = exp(log(i))
z = log(-i) ou z = log (i)
Re: residus et zeros
il y a six années
Encore une fois tu écris des choses qui n'ont pas de sens ; as-tu dans ton cours une définition de $\log z$ pour $z$ complexe hors de $\R_+^*$ ? As-tu essayé de résoudre l'équation plus simple $e^z = 1$ avec ta "méthode" ?
Re: residus et zeros
il y a six années
avatar
J'avais pratiquement donné la réponse dans mon premier message que zinaudore semble ignorer ... Méthode justement qui n'utilisait pas le logarithme complexe !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
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