Bonjour,
Soit $ f(z)= \dfrac{e^{iz}}{e^{z}+e^{-z}} $
On me demande de déterminer les zéros de de $ e^{z}+e^{-z} $
Faut-il :
calculer le développement limité de l'exponentielle,
ou partir du fait que $ e^{z}+e^{-z} = 2\cosh(z) $
Merci à l'avance de votre aide.
Réponses
Un développement limité ne te donne qu'une information locale, donc tu n'iras pas loin. En revanche en posant $w=e^z$, tu peux réécrire l'équation $e^z+e^{-z}=0$ sous une forme plus simple, résoudre en $w$ puis trouver les $z$ correspondants.
$e^{2z}=-1$
Par ailleurs
$e^{2z}=e^{2x+2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,e^{2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,(\cos(2y)+\mathrm{i}\sin(2y))$
etc
Je reformule la question d'Archimède : quelle est cette mystérieuse fonction "log" que tu évalues en $i$ et $-i$ ?
$\ln$ est définie sur $\mathbb R$, donc à priori, $\ln(i)$ n'a pas de signification ...
Cordialement.
NB : Tu pourrais donner le détail de tes calculs, ou au moins ce que tu as avant d'utiliser induement $\ln$.
1/w = exp(-z)
w + (1/w) = 0 si et seulement si w² + 1 = 0 si et seulement si (w-i)(w+i) = 0
w = -i ou w = i
exp(z) = -i ou exp(z) = i
exp(z) = exp(log (-i)) ou exp(z) = exp(log(i))
z = log(-i) ou z = log (i)