résidus et zéros

zinaudore
zinaudore
dans Analyse
Bonjour,

Soit $ f(z)= \dfrac{e^{iz}}{e^{z}+e^{-z}} $

On me demande de déterminer les zéros de de $ e^{z}+e^{-z} $

Faut-il :
calculer le développement limité de l'exponentielle,
ou partir du fait que $ e^{z}+e^{-z} = 2\cosh(z) $

Merci à l'avance de votre aide.

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Bonjour,

    Un développement limité ne te donne qu'une information locale, donc tu n'iras pas loin. En revanche en posant $w=e^z$, tu peux réécrire l'équation $e^z+e^{-z}=0$ sous une forme plus simple, résoudre en $w$ puis trouver les $z$ correspondants.
  • Archimède
    Archimède
    $e^z=-e^{-z}$
    $e^{2z}=-1$
    Par ailleurs
    $e^{2z}=e^{2x+2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,e^{2\mathrm{i}y}=e^{2x}\,(\cos(2y)+\mathrm{i}\sin(2y))$
    etc
  • zinaudore
    zinaudore
    j'obtiets z=log(i) ou z=log(-i)
  • Archimède
    Archimède
    A quoi sont égaux log(i) et log(-i) ?
  • zinaudore
    zinaudore
    à z
  • egoroffski
    egoroffski
    lol :)

    Je reformule la question d'Archimède : quelle est cette mystérieuse fonction "log" que tu évalues en $i$ et $-i$ ?
  • Rouletabille
    Rouletabille
    Reviens dans $\mathbb{R}$, on y est bien mieux !
  • zinaudore
    zinaudore
    ln
  • gerard0
    gerard0
    Heu ...

    $\ln$ est définie sur $\mathbb R$, donc à priori, $\ln(i)$ n'a pas de signification ...

    Cordialement.

    NB : Tu pourrais donner le détail de tes calculs, ou au moins ce que tu as avant d'utiliser induement $\ln$.
  • r314
    r314
    Zinodaure, si tu ne maitrises pas le logarithme complexe (fonction non univoque, donc à manipuler avec précaution), tu peux repartir de $ e^{2z} = -1 $ : en remarquant que le premier terme vaut $(e^z)^2$ et que le second est en fait l'une des plus belles formules mathématiques $-1 = e^{i\pi} \quad (= (e^{i\frac{\pi}{2}})^2 )$, il ne reste presque plus qu'à identifier terme à terme, non ?
  • zinaudore
    zinaudore
    w = exp(z)
    1/w = exp(-z)

    w + (1/w) = 0 si et seulement si w² + 1 = 0 si et seulement si (w-i)(w+i) = 0
    w = -i ou w = i

    exp(z) = -i ou exp(z) = i
    exp(z) = exp(log (-i)) ou exp(z) = exp(log(i))
    z = log(-i) ou z = log (i)
  • egoroffski
    egoroffski
    Encore une fois tu écris des choses qui n'ont pas de sens ; as-tu dans ton cours une définition de $\log z$ pour $z$ complexe hors de $\R_+^*$ ? As-tu essayé de résoudre l'équation plus simple $e^z = 1$ avec ta "méthode" ?
  • Archimède
    Archimède
    J'avais pratiquement donné la réponse dans mon premier message que zinaudore semble ignorer ... Méthode justement qui n'utilisait pas le logarithme complexe !
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