Théorème des accroissements finis

besoin_d'aide
besoin_d'aide
dans Analyse
Bonjour,

S'il vous plait comment appliquer le théorème des accroissements finis (pour les intégrales) sur cette intégrale : $$\int_{u(t_j)}^{u(t_j)+t v(t_j)} I_j(s) ds.$$
Merci.

Réponses

  • h
    h
    Tu veux l'appliquer à quoi exactement !?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    je veux l'appliquer a l'integrale que j'ai donné, je veux en quelque sorte enlever le $t$ du bord de l'integrale faire une sorte de changement de variable
  • h
    h
    C'est pas assez clair pour moi. Tu fais un exo ?
  • egoroffski
    egoroffski
    Pas clair du tout en effet, appliquer le TAF à un réel ça n'a pas de sens. Mais j'imagine que tu as en tête le changement de variable $s=u(t_j)+tv(t_j) z$, $z$ parcourant $[0,1]$ ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Oui @egoroffski, c'est un peu ça, mais on ma proposé d'appliquer le Théorème des accroissements finis.
  • h
    h
    Si tu nous donnes l'exo complet on pourra déchiffrer, mais l'indication sans la question ça va être ardu !
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    c'est une étape d'une démonstration , je dois calculer $$\lim_{t\rightarrow0} \displaystyle\frac{\int_{u(t_j)}^{u(t_j)+t v(t_j)} I_j(s) ds}{t}$$
  • Archimède
    Archimède
    On pose $\qquad \displaystyle F(x)=\int_{0}^x I_j(s)\,ds$
    Par le TAF $\quad \displaystyle F(u(t_j)+t\,v(t_j))-F(u(j))=t\,v(t_j)\,F'(c)$, où $c\in$ etc
    De plus $\qquad \displaystyle F'(x)=I_j(x)$
    etc
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Est-ce que $c$ peut être egal à $u(t_j)$ ?
    Merci.

    [Merci d'écrire tous les mots, de façon à ce qu'on puisse te comprendre ! AD]
  • egoroffski
    egoroffski
    Ben, ça ne doit pas être compliqué de trouver l'énoncé du TAF sur internet. Tu as essayé ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    oui $c\in (u(t_j),u(t_j)+tv(t_j))$ ouvert, mais je dois trouver que $\lim_{t\rightarrow0} \displaystyle\frac{\int_{u(t_j)}^{u(t_j)+t v(t_j)} I_j(s) ds}{t}= I_j(u(t_j)) v(t_j)$
    que faire ?
  • h
    h
    Tu n'a jamais croisé le résultat suivant ?

    Si $f$ est une fonction continue (sur un intervalle convenable etc.) alors $x \mapsto \int_{x_0}^x f$ est une primitive de $f$ ?
  • h
    h
    Bon apparement ça a déjà été évoqué plus haut, je poursuis donc un peu.

    Quelle est la dérivée de la fonction définie par $t \mapsto \int_{x_0}^{x_0+at} f$ en $0$ ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    $f(x_0)$
  • h
    h
    Il y a un $a$ dans cette histoire, tu es apparement passé à côté. Es-tu capable de corriger ta réponse et de donner une preuve ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    mais vous avez dit en t=0 ?
  • gerard0
    gerard0
    Donc pour toi, $x_0+a t$ se comporte comme $x_0+t$ ?

    Cordialement.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si F est une primitive de f , comment peut-on exprimer $\displaystyle \int_{x_0}^{x_0+at} f(x)dx$ à l'aide de F?
  • egoroffski
    egoroffski
    S'agit-il du même "besoin_d'aide" qui posait il y a peu des questions sur l'homologie singulière et l'indice de Morse ?? :-S:-S
  • h
    h
    @Egoroff : je ne sais pas, il faudrait demander à un modérateur, ils ont accès aux IP :-).
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    oui c'est le même besoin_d'aide , vous n'avais jamais rencontré quelqu'un qui ne maitrise rien du tout ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    @Fin de Partie $F(x_0+at)=\int_{x_0}^{x_0+ a t} f(x) dx$
  • gerard0
    gerard0
    Non, c'est faux !

    Revois la définition de F

    Cordialement.
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Ce n'est pas le même $F$ je répond a @Fin de partie !
    et meme dans le message d’Archimède $F$ est la primitive De $I_j$
  • gerard0
    gerard0
    F est la primitive Dde Ij

    Tiens, tu fais ce genre d'exercice en ignorant qu'une fonction qui a des primitives en a une infinité, pas une seule ?

    Et n'importe comment, même avec la définition de Fin de partie ("Si F est une primitive de f") ta réponse est fausse (voir un cours de terminale sur le lien primitives/intégrales).
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    ok.
  • egoroffski
    egoroffski
    H : C'était une question rhétorique :-P
  • h
    h
    Ah moi, la littérature :-).
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pablo:
    Ta réponse n'est pas la bonne.
    Avant de t'intéresser au théorème des accroissements finis tu devrais sans doute apprendre le théorème fondamental du calcul intégral, le lien entre primitive et intégrale.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,

    besoin_d'aide n'est pas Pablo, même si la façon de procéder semble la même.
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