CAPES 2014 - Analyse

Arturo
Arturo
dans Analyse
Bonjour,
Je suis nouveau sur le forum.
Je m'appelle Arturo, en licence de mathématiques, et j'aimerais être professeur de mathématiques.
Je prépare l'épreuve du capes pour dans quelques temps, et je fais des sujets qui sont déjà tombés pour m’entraîner.

Aujourd'hui, je traite du sujet suivant: http://capes-math.org/data/uploads/EP2_2014.pdf
mais je ne trouve pas de corrigé pour me débloquer.
alors je me retourne vers vous.

Sur le problème 1,
1)Partie A : Je bloque de manière générale, je ne suis pas super bon sur la notion de condition nécessaire, condition suffisante.

Partie B :
2) J'ai quasiment terminé la question 1), sauf la 3).
J'ai du mal à imaginer ce qu'on attend.
3) à la question 2), il faut montrer que si u_0 = Rac(a), alors (u_n) est stationnaire).
J'ai pensé à calculer u_1, qui est égal à Rac(a).
Mais faut-il nécessairement démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, u_n = u_(n+1) = Rac(a) ?
4) pour la deuxième partie d ela question 2) (si u_0 différent de Rac(a)), Je n'ai pas d'idée.

Pourriez-vous m'aider SVP?
Merci beaucoup,
Arturo.

Réponses

  • h
    h
    Quelle est ta question pour la partie A ? Est-ce simplement la définition de "condition nécessaire" et de "condition suffisante" ?
  • Arturo
    Arturo
    Les définitions, Je les connais.
    Pour une implication P => Q :
    Q est une condition nécessaire pour P, P est une condition suffisante pour Q, mais Je n'arrive jamais à les appliquer dans un exercice comme celui donner.
    Je n'arrive pas à faire le distinguo entre ce que l'on sait et ce qu'il faudrait montrer, et ce que cela représente.
  • h
    h
    Supposons que tu veuilles montrer P => Q.

    Tu peux t'y prendre de plusieurs manières.
    1) Supposer P et chercher à montrer Q.
    2) Supposer non Q et chercher à montrer non P (preuve par contraposition)
    3) Supposer P et non Q et chercher à obtenir une contradiction (preuve par l'absurde).

    Dans la partie A les questions sont ouvertes, donc c'est en plus à toi de voir s'il s'agit de montrer par exemple (f a un point fixe => f est continue) ou plutôt ( non (f a un point fixe => f est continue) ). Ce que je raconte est-il utile ou la question est-elle ailleurs ?
  • h
    h
    À la toute fin en reprenant l'exemple de l'épreuve j'ai oublié les quantificateurs. C'est très mal. On s'intéresse à l'assertion suivante : pour toute fonction de [a,b] dans R, si f admet un point fixe alors f est continue. Il s'agit donc de voir si on a :
    1) pour toute fonction de [a,b] dans R, si f admet un point fixe alors f est continue.
    ou
    2) non (pour toute fonction de [a,b] dans R, si f admet un point fixe alors f est continue).

    PS : la formulation de l'énoncé est un poil vague et laisse un peu d'interprétation au candidat.
  • Arturo
    Arturo
    Je sais que si f continue sur [a;b] à valeurs dans [a;b]. alors f a un point ?xe.
    Donc la continuité de f est une condition suffisante pour admettre un point fixe.
    Ce qui répond à la 1) (2), mais il faut que J'en fasse la démonstration.

    Je n'ai pas d'idée pour la 1) (1), mais comme il parle de contre exemple graphique, Je suppose que c'est faux (très intuitif comme démarche) ... faut-il encore que J'en trouve un.
    Ce qui revient à trouver une fonction qui est admet un point fixe et qui est continue.
    Est-cela ?
  • Arturo
    Arturo
    (Désolé, hier, Je voulais répondre, mais à chaque fois, un message d'erreur intervenait)
  • h
    h
    Comment écris-tu plus simplement ce qui suit ?
    non (pour toute fonction f de [a,b] dans R, si f admet un point fixe alors f est continue).

    Pour 1.2 fais attention, il ne s'agit pas d'une fonction de [a,b] dans [a,b].
  • bla1
    bla1
    Attention dans la question 1), tu ne supposes pas que ta fonction $f$ est à valeurs dans $[a,b]$, tu supposes juste qu'elle est définie sur $[a,b]$.

    Dans la 3) tu supposes que $f([a,b])=[a,b]$, il faut utiliser cette hypothèse (l'hypothèse $f([a,b])\subset [a,b]$ suffirait) et la continuité. Tu cherches à démontrer qu'il existe $x\in [a,b]$ tel que $f(x)=x$, ou dit autrement tel que $g(x)=0$ où $g(t)=f(t)-t$ (ce qui implique au passage que $g$ et continue donc par le théorème ...).

    Si tu cherches un contre exemple à 1)1), il faut trouver une fonction discontinue ayant un point fixe (ce qui implique si tu en trouves un que la continuité n'est pas nécessaire à l'existence d'un point fixe).
  • Arturo
    Arturo
    Ah oui, en fait, Je répondais à la question 3), avec le TVI.

    Tracer la fonction x² -> x sur [0; 0,250,25 ; 0,5], avec une discontinuité (un saut) entre 0,25.
    La fonction admet un point fixe en 0 et elle n'est pas continue sur [0; 0,5].
    Qu'en pensez-vous ?
  • bla1
    bla1
    La fonction qui à $x^2$ associe $x$????

    Tu n'es pas obligé de prendre une fonction définie par une formule. Au fond tout ce que tu as à faire c'est de prendre une fonction avec un point fixe (disons l'identité) et lui ajouter une discontinuité quelque part et le tour est joué.
  • Arturo
    Arturo
    Bla, J'y pensais à la fonction identité mais ça me paraissait trop simple.
    Et pour la 1) (2), Je n'ai aucune idée, tout comme les questions 3) (2) et (3), Je n'ai aucune idée surtout pour la 1) (2).
    Pour la 3) (2) et (3), J'aurais tendance à dire oui d'après le corollaire du TVI annonçant que la stricte monotonie donne l'unicité d'une solution, que la fonction soit croissante ou décroissante, mais sans aucune conviction, puisqu'ils posent la question dans le cas croissant et dans le cas décroissant.
    Cela a-t-il une importance ?
  • bla1
    bla1
    Pour la 1)2), penses-tu que toute fonction continue a au moins un point fixe?

    Pour la 3), fais des dessins dans les cas croissants et décroissants, ce sera tout de suite plus clair (pour le cas croissant tu peux penser à faire une fonction croissante qui oscille autour de l'identité).
  • Arturo
    Arturo
    D'accord, merci pour tes réponses Bla.

    Maintenant, J'ai deux-trois questions d'ordre .... pratiques.
    problème 1, Partie B,

    1) question 1) : Le x0 de départ, il doit appartenir à IR* + non ?
    car x0 point fixe de g <=> g(x0) = x0 <=> 1/2 (x_0 + alpha / x0) avec x0 au dénominateur...

    2) question 2) (1) pourquoi prend on n qui appartient à IN* et non à IN ?

    3) question 2) (3), si on prend n qui appartient à IN* (d'après ce qui était écrit en 2) (1)), il s'agit de la suite (Un) avec écrit en indice n appartient à IN*, non ?

    4) Problème 2, partie B, J'ai tout fait.
    J'ai réussi à prouver la question 2) avec x = - t /n qui donnant le minorant proposé et avec x = t / n qui donne la majorant proposé de e^(-t²).
    Mais le fait que ce soit des valeurs de x différentes, cela ne pose-t-il pas problème pour montrer une même égalité ?
    Je pense que non, puisque ca marche, par contre, Je ne comprends pas pourquoi ca ne pose pas de problème ?

    Merci pour ces points de détails.
  • Filnydar
    Filnydar
    Pour le 1) : d'abord, laissez tomber les équivalences logiques, et prouvez deux implications séparées.

    Pour la première implication, cela donne :
    si $x_0$ est un point fixe de $g$, alors il appartient à l'ensemble de définition de $g$, donc il est strictement positif, et...

    Pour la seconde, le fait d'être solution de l'équation de l'énoncé impose d'être non nul

    Pour le 2) : Représentez graphiquement la fonction de récurrence, placez $x_0$ entre $0$ et $\alpha$, et regardez.
  • Arturo
    Arturo
    Merci pour ta réponse Filnydar.
    La 1), c'est clair.
    En revanche, la 2), Je ne vois pas, tu pourrais me donner plus d'explication STP ?
    Et tu as une idée pour la 3) et la 4) ?

    Merci beaucoup
    Arturo.
  • Sisbai
    Sisbai
    Arturo écrivait:
    > 2) question 2) (1) pourquoi prend on n qui
    > appartient à IN* et non à IN ?

    pour n=0, le terme $u_0$ peut être plus petit que $\sqrt\alpha$. Mais dès le rang $n=1$ les termes $u_n$ deviennent supérieur.

    La relation $u_n>\sqrt\alpha$ n'est donc assurée qu'à partir du rang 1. $u_1$ est en fait le 1er terme calculé avec la formule de récurrence.

    > 3) question 2) (3), si on prend n qui appartient à IN* (d'après ce qui était écrit en 2) (1)),
    > il s'agit de la suite (Un) avec écrit en indice n
    > appartient à IN*, non ?

    Non, la suite démarre bien au rang $n=0$. Mais on a la décroissance qu'à partir du rang où $u_n>\sqrt\alpha$, c'est à dire $n=1$ qui est le deuxième rang.
    Voilà un exemple pour illustrer, du $u_0$ à $u_4$ : 1 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4,2 ; ....

    Attention : si on choisit $u_0>\sqrt\alpha$ la décroissante démarre dès le 1er rang. Mais comme rien ne le précise, on ne peut affirmer la décroissance qu'à partir du 2ème rang.
  • Sisbai
    Sisbai
    Je poursuis ma réponse (je viens de finir la partie B du problème 2) :

    >4) Problème 2, partie B, J'ai tout fait.
    >J'ai réussi à prouver la question 2) avec x = - t /n qui donnant le minorant proposé et avec x = t / n qui donne la majorant >proposé de e^(-t²).
    >Mais le fait que ce soit des valeurs de x différentes, cela ne pose-t-il pas problème pour montrer une même égalité ?
    >Je pense que non, puisque ca marche, par contre, Je ne comprends pas pourquoi ca ne pose pas de problème ?

    Le plus important est que le $t$ soit le même. Ensuite pour y voir plus claire tu peux poser $a=-\frac{t^2}{n}$ et $b=\frac{t^2}{n}$ et appliquer les relations $\ln(a+1)\le a$ et $\ln(b+1)\le b$

    Attention, il faut bien vérifier le domaine de définition : pour $t=\sqrt n$, $x=-\frac{t^2}{n}=-1$ et la relation $\ln(x+1)\le x$ n'est pas valable pour $x=-$. Il faut donc traiter ce cas à part.
  • Arturo
    Arturo
    Désolé de vous répondre aussi tardivement, mon PC m'avait planté..
    Je reviens sur le sujet du capes que j'avais laissé de côté.

    Bien vu Sisbai pour le cas du t=Rac(n), Je ne l'avais pas vu celui-ci,

    Puisque tu as terminé le problème 2, tu pourrais me dire si J'ai bon aux questions suivantes.
    Partie C, 2) (1) J'ai calculer l'intégrale entre -t et t de xPhi(x) dx et J'ai trouvé 0; J'en ai déduit que l'intégrale sur IR de xPhi(x) dx existe et donc que l'espérance de X existait et valait 0.
    (2) V(X) = E(X²) et après une IPP, J'en déduis que la variance de X existe (en ayant un raisonnement analogue à (1)) et valait 1.

    3) (1) E(Z) = mu
    V(Z) = Sigma²
    (2) pour tout réel z, f(z) = e^( - 1/2 * (z - mu / sigma) ² ) / Rac (2 * Pi )

    et pourrais-tu me guider poru la question 4) et le problème 3 où Je bloque :
    1) CNS ABC rectangle en A ?

    Merci pour votre aide, malgré le décalage avec ma réponse.
    Arturo.
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