homéomorphisme et image

Gust · August 2014

Bonjour

Un homéomorphisme de $\R$ dans $\R^{2}$ a-t-il nécessairement son image fermée dans $\R^{2}$ ?

NoName · August 2014

Bonjour,
Un intervalle est il necessairement fermé dans R²?

h · August 2014

Si on parle bien d'un homéomorphisme de $\R$ sur une partie de $\R^2$.

NoName · August 2014

Oui, j'ai pris la question comme ca, mais c'est vrai que si on se tient rigoureusement a la formulation originale, alors la réponse est oui, mais l'ensemble des tels homeo est vide.

GaBuZoMeu · August 2014

Un homéomorphisme de $\R$ sur une partie de $\R^2$ n'a aucune raison d'avoir son image fermée dans $\R^2$ : $x\mapsto \left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}},0\right)$.

NoName(metro) · August 2014

Heu... je ne dis pas le contraire (mais peut etre la réponse ne m'etait pas destinée)

Fin de partie · August 2014

Il n'existe pas d'homéomorphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^2}$

http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_l'invariance_du_domaine

Seirios · August 2014

Il est probable que la question sous-entendait qu'il s'agissait d'un homéomorphisme sur son image. Et c'est d'ailleurs ainsi que la question a été interprétée ci-dessus.

Professeur Rectangle · August 2014

Fin de partie écrivait: a écrit:

Il n'existe pas d'homéomorphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^2}$

Toute bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^2$ est un homéomorphisme pour les topologies discrètes.

Gust · August 2014

c'est un argument utilisé pour montrer qu'une immersion injective n'est pas nécessairement un plongement (sous entendu un homéomorphisme sur son image).
La fonction prend ses valeurs sur $\mathbb{R}$ et elle s'envoie sur le cercle privé d'un point. Il est dit que ce cercle n'est pas une partie fermée de $\mathbb{R}^2$ : ok (on munit $f(\mathbb{R})$ de la topologie induite de $\mathbb{R}^3$) et fin du contre exemple.
Ca sous entend que l'image par un homéomorphisme doit etre fermée ... bon c'est faux, merci GaBuZoMeu

Seirios · August 2014

Par contre, on sait que $f(\mathbb{R})$ ne peut pas être compact, donc si $f(\mathbb{R})$ est borné, cela revient à dire que $f(\mathbb{R})$ ne peut pas être fermé.

GaBuZoMeu · August 2014

Une immersion injective qui n'est pas un plongement (son image est compacte) : $$x=\dfrac{t+t^3}{1+t^4},\ y=\dfrac{t-t^3}{1+t^4}\;.$$

christophe c · August 2014

J'aime beaucoup la réponse de PR à FdP (il est coutumier de ce genre de post), mais il n'y a plus le smiley "beer" snif

Bon évidemment GBMZ relâche un peu les exigences (un homéomorphisme conserve les propriété topologiques, donc seiros ne dit pas une bêtise (je dis ça pour les visiteurs futurs)) et le précise, mais, snif moi qui comprends rien aux calculs, j'aimerais bien voir une image de ton immersion :-)

edit: enfin ne te fatigue pas, un genre de coeur où les deux embouts sans fins se rejoignent "bas" sur un point de l'image, ça marche aussi (c'est peut-être la même chose d'ailleurs)