Calcul de série

Saladin
Saladin
dans Analyse
Bonjour
Je ne sais pas comment étudier et calculer la série :
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1{1+\left(\frac na\right)^2}$ ; $a$ réel non nul ?
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu peux déjà étudier sa convergence. Quant à connaître la valeur de la somme, je doute qu'on te le demande.

    Quel est ton énoncé exact ?

    Cordialement.
  • Saladin
    Saladin
    Re


    Etudier et calculer la série .


    Merci
  • JLT
    JLT
    Le calcul de la série est difficile. Etudie déjà sa convergence en utilisant les critères usuels.34231
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,

    À la suite de quel cours ou dans quel livre as-tu trouvé cet exercice ?
    La somme n'est effectivement pas simple à trouver si l'on part de rien.
  • Saladin
    Saladin
    Re

    Le terme de la série est équivalent à 1/n2, série convergente mais pour la calcul aucune idée


    Merci
  • Saladin
    Saladin
    Rie


    Je suis en deuxième année,c'est un étudiant de troisième année qui m'a posé le problème.


    Merci
  • Fin de partie
    Fin de partie
    mais pour la calcul aucune idée a écrit:

    Voir la formule donnée par JLT.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Il existe plusieurs façons de calculer cette somme.
    J'en connais une qui utilise les séries de Fourier mais qui est sortie du chapeau, j'en connais une autre qui utilise le théorème des résidus (et qui peut s'appliquer à d'autres séries).
  • JLT
    JLT
    Il y a une méthode avec des sériés de Fourier. Est-ce que tu as appris ?
  • Saladin
    Saladin
    Non pas encore.
  • King
    King
    Je pense avoir une méthode (sortie du chapeau aussi..) en utilisant ce résultat :

    $$\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right).$$
    Est-ce que tu connais cette dernière ?
  • Saladin
    Saladin
    Non
  • Fin de partie
    Fin de partie
    King:
    Elle me trottait dans la tête cette méthode sans que je ne parvienne à la saisir. B-)-
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    pour le calcul via série de Fourier, il faut partir comment ?

    Je vous remercie par avance.

    Cordialement,
    Mister Da
  • JLT
    JLT
    Développe en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique qui vaut $x\mapsto e^{ax}$ sur $[0,2\pi\![$.
  • Mister Da
    Mister Da
    Merci,

    j'ai bien fait de demander car je n'étais pas du tout parti dans cette direction. Néanmoins, je n'avance pas des masses. A-t-on $c_n = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{2\pi a-1}}{a-\jmath n}$ ?

    Pour faire apparaitre du $a^2+n^2$ au dénominateur j'ai fait un petit coup de Parseval mais je tourne en rond.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Mister Da
    Mister Da
    Oups, c'est bon, j'avais oublié d'élever un terme au carré dans l'égalité de Parseval. Je tombe sur le résultat voulu.

    Désolé pour la gène.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Salut Mister Da,

    On a aussi :

    $$\frac 1{a-in}+\frac 1{a+in}=\frac{2a}{a^2+n^2}$$
  • JLT
    JLT
    En ce qui me concerne, je n'utilise pas Parseval mais Dirichlet, qui donne
    $$\frac{1+e^{2\pi a}}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n$$
    où $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} e^{ax}\cos nx\,dx=\frac{1}{\pi}\mbox{Re}\,\int_0^{2\pi}e^{(a+in)x}\,dx=\frac{a(e^{2\pi a}-1)}{\pi (a^2+n^2)}$.
  • Mister Da
    Mister Da
    Ah oui effectivement merci a vous deux ! Une fois de plus j'ai sorti le canon de 12 pour écraser un moucheron.

    @JLT : quand tu dis Dirichlet, tu parles des séries de Dirichlet ? (En fait je ne connais que le théorème de Dirichlet pour la convergence simple pour le cas des fonctions discontinues).


    J'en profite pour poser une nouvelle question. Au niveau de la rédaction, pour justifier la convergence en utilisant les comparaisons asymptotiques.

    On peut dire, comme l'a écrit Saladin, que $c_n \sim \frac{1}{n^2}$ (équivalent) en l'infini (c-à-d que $c_n - \frac{1}{n^2} \in o\left(\frac{1}{n^2}\right)$).

    Aurait-il été tout aussi propre de dire que les $c_n\in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ (c-à-d. dominé par $\frac{1}{n^2}$).

    En revanche remarquer que $c_n\in o\left(\frac{1}{n}\right)$ (c-à-d. négligeable devant $\frac{1}{n}$) n'aurait pas permis de conclure ?

    Je vous remercie par avance de vos lumières.

    Cordialement,
    Mister Da
  • JLT
    JLT
    Quand je dis Dirichlet, c'est le fait que si $f$ est une fonction $C^1$ par morceaux (non nécessairement continue) et $2\pi$-périodique, alors la somme de sa série de Fourier est égale à $\dfrac{f(x,+)+f(x,-)}{2}$.
  • Mister Da
    Mister Da
    Ah oui c'était pourtant donc bien le théorème que je connaissais (la convergence simple vers la fonction régularisée) je n'avais pas vu le lien... Je tourne au ralenti, désolé.

    C'est élégant, merci beaucoup.

    Cordialement,
    Mister Da
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

Foysamafhh +5 Invités