calcul intégrale généralisée
Bonjour !
J'ai l'intégrale suivante définie pour $a \in\, ]0;1[$ par : $\quad f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx$.
On me demande de montrer que $\quad a f '(a) + f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^a \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$.
(la dérivée $f '(a)$ s'obtient par dérivation sous l'intégrale).
D'après le résultat, je suppose qu'il faut passer par une intégration par parties, mais je n'y arrive pas ! :-(
J'ai essayé de calculer $f '(a) + f(a)$ en réduisant au même dénominateur $(1+x)^2$, mais ensuite je suis largué : je ne sais pas quoi faire.
J'ai essayé en mettant en facteur $x^{a-1}$, $x^{a-2}$, $x^a$. Cela donne des trucs trop compliqués à démêler.
Y aurait-il une bonne âme pour me dépanner ? Merci !
J'ai l'intégrale suivante définie pour $a \in\, ]0;1[$ par : $\quad f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx$.
On me demande de montrer que $\quad a f '(a) + f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^a \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$.
(la dérivée $f '(a)$ s'obtient par dérivation sous l'intégrale).
D'après le résultat, je suppose qu'il faut passer par une intégration par parties, mais je n'y arrive pas ! :-(
J'ai essayé de calculer $f '(a) + f(a)$ en réduisant au même dénominateur $(1+x)^2$, mais ensuite je suis largué : je ne sais pas quoi faire.
J'ai essayé en mettant en facteur $x^{a-1}$, $x^{a-2}$, $x^a$. Cela donne des trucs trop compliqués à démêler.
Y aurait-il une bonne âme pour me dépanner ? Merci !
Réponses
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Bonjour.
Ce n'est pas vraiment le bon forum (LaTeX ??).
Sinon, que trouves-tu pour f'(a) ?
Cordialement. -
Bonjour Gérard !
Effectivement je viens de me rendre compte de mon erreur : je cherchais comment écrire du latex et je n'ai pas pensé à changer de forum !!
Pour $f '(a)$, je trouve : $$f '(a) = \int_0^{\infty}\frac{(a-1)x^{a-2}(1+x)-x^{a-1}}{(1+x)^2}dx$$ -
Ou encore : $\quad\displaystyle f '(a) + f(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{a(a-1)x^{a-2}+(a-1)^2 x^{a-1}+x^a}{(1+x)^2}dx$
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C'est ce qui me semblait !
Ta dérivée est fausse : Tu sembles avoir dérivé par rapport à x, pas a.
Par contre, je ne vois pas comment obtenir le résultat annoncé.
Cordialement. -
Je pensais prendre en défaut cette formule avec a=1/2, il semble que j'avais tort car:
f(1/2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^(-1/2)/(1+x)+dx+from+x=0+to+infinity
f'(1/2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log(x)*x^(-1/2)/(1+x)+dx+from+x=0+to+infinity
Et:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=approximation+integrate+x^(1/2)*log(x)/(1+x)^2+dx+from+x=0+to+infinity
(je suis obligé de passer par une valeur approchée) -
Je n'ai rien calculé mais il y a peut-être bien une IPP dans l'air (pour transformer un $1/x$ en un $\ln(x)$). Bon c'est sans doute pas un scoop.
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N'est-ce pas $af'(a)+f(a)$ qu'il faut calculer ? le message initial n'est pas clair à ce sujet : "On me demande de montrer que a f '(a) + f(a) =" et plus loin "J'ai essayé de calculer f '(a) + f(a)".
-
Oui, c'est bien a f '(a) + f(a) qu'il faut calculer ... en montrant que c'est égal à l'intégrale donnée.
Effectivement, je me suis planté dans ma dérivation : j'ai dérivé par rapport à x : merci, Gerard !
Je vais essayer de reprendre avec la bonne dérivée. Je vais peut-être m'en sortir plus facilement ! -
La formule à démontrer me paraît fausse, sauf erreur de calcul de ma part. Si $u(x)=\frac{a\log x+1}{1+x}$ et $v(x)=x^a/a$ alors
$$u'(x)=\frac{\frac{a}{x}(1+x)-a\log x-1}{(1+x)^2},$$
$$af'(a)+f(a)=\int_0^{\infty}u(x)v'(x)dx =\int_0^{\infty}\frac{\log x}{(1+x)^2}x^adx+R$$ avec
$$R=-f(a)+\frac{(1-a)}{a}\int_0^{\infty}\frac{x^a}{(1+x)^2}dx$$
Rappel $$B(p,q)=\int_0^{\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$$ et donc $R=-B(a,1-a)+\frac{(1-a)}{a}B(1+a,1-a)=-a\Gamma(a)\Gamma(1-a)\neq 0.$ Entre parenthèses, $f(a)=\pi/\sin(\pi a)$, pourquoi se casser à ce genre d'exo? -
Je ne pense pas que la formule soit erronée : elle a été posée en concours ! ... même si l'énoncé que j'ai trouvé n'est pas de très bonne qualité, question lisibilité.
Mais je ne suis pas très bien ton calcul, P.
Lorsque je calcule a f '(a) + f(a), je trouve $\int_0^{\infty}\frac{(a ln x +1) x^{a-1}}{1+x}dx$, ce qui diffère un peu de ton calcul.
(A noter que les fonctions B sont hors programme du concours) -
D'autre part, comment déduis-tu le résultat de f(a) ?
-
Bonsoir P.
Moi aussi je trouve $v(x)=\frac{x^a}x$ et pas $v(x)=\frac{x^a}a$.
Cordialement. -
bonjour
on part de l'intégrale génératrice classique avec $x > 1$ déterminée avec les applications intégrales de la fonction Gamma : $$\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1 + t^x} = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi}{x}}$$
on pose $u = t^a$ avec $0 < a < 1$
et on opère ce changement de variable muette dans ton intégrale génératrice paramétrée
(la convergence de l'intégrale aux bornes $0$ et $+\infty$ est bien assurée) :
$\int_0^{+\infty}\frac{t^{a-1}}{1+t^x}dt = \frac{1}{a}\int_0^{+\infty}\frac{du}{1 + u^{\frac{x}{a}}}$ soit :
$$\int_0^{+\infty}\frac{t^{a-1}}{1+t^x}dt = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi.a}{x}}$$
je n'ai pas répondu aux questions préliminaires mais je t'ai donné le résultat attendu
et comme le dit P, la méthode exigée au concours n'est pas très pertinente
cordialement -
Bonsoir,
Je suis d'accord avec Greg.
Par IPP, avec $u:x\mapsto x^a \ln x$ et $v':x\mapsto \dfrac 1{(1+x)^2}$, je trouve que :
$$\int_0^{+\infty} \dfrac{x^a\ln x}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \dfrac{(1+a\ln x)x^{a-1}}{1+x}\ \mathrm{d}x$$
De plus
$$f'(a)=\int_0^{+\infty} \dfrac{x^{a-1}\ln x}{1+x}\ \mathrm{d}x$$
Donc $$\int_0^{+\infty} \dfrac{x^a\ln x}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x = f(a)+af'(a)$$ -
Merci Jean Lismonde pour ces précisions ! Mes études mathématiques remontent à quelques années : je vais me replonger dans les fonctions Beta et Gamma, leurs fonctions génératrices. Même si ce n'est pas au programme du concours, vu que c'est un thème classique, ça peut être intéressant de connaître un peu tout ça
-
Moi aussi, je trouve:
$\displaystyle af(a)+f'(a)=\int_0^{\infty}\frac{(a\ln x +1) x^{a-1}}{1+x}dx$
Après on a envie de poser: $f'(x)=a\ln x +1$
PS:
Je ne suis pas allé au bout des calculs, cela peut être une impasse. :-D -
Philippe Malot m'a convaincu, même si je cherche encore mon erreur. Amicalement.
-
Et la suite du calcul?
Il y a d'autres questions?
J'imagine qu'il s'agit de calculer f(a)?
La méthode de Philippe me semble la plus simple. B-)- -
Ah oui ! Merci Philippe Malot ! Mais c'est un peu vicieux, ça (de la part du concepteur de l'énoncé): partir du 2e membre de l'égalité pour retomber sur ses pattes. Mais, peut-être y a-t-il moyen de faire le calcul dans le sens direct, comme le suggère Fin de partie. Je regarderai ça un peu demain.
Merci !!(tu) -
Les 2 questions suivantes sont :
- montrer que l'intégrale comportant le Ln est bornée lorsque a décrit un voisinage approprié autour de 0
- en déduire un équivalent de f '(a) en 0 -
L'exercice n'a pas pour but de calculer f(a)?
PS:
Il ne faut pas être plus royaliste que le roi. B-)-
(c'était une phrase que répétait mon prof' de maths de troisième il y a bien longtemps maintenant). -
Fin de partie écrivait:
> L'exercice n'a pas pour but de calculer f(a)?
Non, le but est un peu plus ambitieux : exprimer f(a) à l'aide de fonctions usuelles ... au bout de 10 questions !! -
Er quelles sont ces questions? :-) -
Bonjour,
Je serais parti de la constatation que $a f '(a) + f(a)$ est la dérivée de $a f(a)$ et aurais alors cherché à dériver $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{a \space x^{a-1}}{1+x}dx$.
Cordialement,
Rescassol -
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Merci pour ce sujet.
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Bien vu, Rescassol !
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Bien vu, Rescassol !
Effectivement ! ... sauf que la dérivation sous l'intégrale n'est pas autorisée dans ce concours (sauf autorisation explicite dans l'énoncé) :-( -
Bonjour,
Même en la justifiant ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Même ! (le théorème de dérivation sous l'intégrale est hors programme. Dans certaines parties de l'énoncé, il est dit "on admettra le résultat que la dérivée s'obtient en dérivant sous l'intégrale" mais, tant qu'on n'a pas cette assertion, interdiction d'utiliser ce théorème !!)
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Bonjour!
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