calcul intégrale généralisée
Bonjour !
J'ai l'intégrale suivante définie pour $a \in\, ]0;1[$ par : $\quad f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx$.
On me demande de montrer que $\quad a f '(a) + f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^a \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$.
(la dérivée $f '(a)$ s'obtient par dérivation sous l'intégrale).
D'après le résultat, je suppose qu'il faut passer par une intégration par parties, mais je n'y arrive pas ! :-(
J'ai essayé de calculer $f '(a) + f(a)$ en réduisant au même dénominateur $(1+x)^2$, mais ensuite je suis largué : je ne sais pas quoi faire.
J'ai essayé en mettant en facteur $x^{a-1}$, $x^{a-2}$, $x^a$. Cela donne des trucs trop compliqués à démêler.
Y aurait-il une bonne âme pour me dépanner ? Merci !
J'ai l'intégrale suivante définie pour $a \in\, ]0;1[$ par : $\quad f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx$.
On me demande de montrer que $\quad a f '(a) + f(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^a \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx$.
(la dérivée $f '(a)$ s'obtient par dérivation sous l'intégrale).
D'après le résultat, je suppose qu'il faut passer par une intégration par parties, mais je n'y arrive pas ! :-(
J'ai essayé de calculer $f '(a) + f(a)$ en réduisant au même dénominateur $(1+x)^2$, mais ensuite je suis largué : je ne sais pas quoi faire.
J'ai essayé en mettant en facteur $x^{a-1}$, $x^{a-2}$, $x^a$. Cela donne des trucs trop compliqués à démêler.
Y aurait-il une bonne âme pour me dépanner ? Merci !
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Réponses
Ce n'est pas vraiment le bon forum (LaTeX ??).
Sinon, que trouves-tu pour f'(a) ?
Cordialement.
Effectivement je viens de me rendre compte de mon erreur : je cherchais comment écrire du latex et je n'ai pas pensé à changer de forum !!
Pour $f '(a)$, je trouve : $$f '(a) = \int_0^{\infty}\frac{(a-1)x^{a-2}(1+x)-x^{a-1}}{(1+x)^2}dx$$
Ta dérivée est fausse : Tu sembles avoir dérivé par rapport à x, pas a.
Par contre, je ne vois pas comment obtenir le résultat annoncé.
Cordialement.
f(1/2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^(-1/2)/(1+x)+dx+from+x=0+to+infinity
f'(1/2):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log(x)*x^(-1/2)/(1+x)+dx+from+x=0+to+infinity
Et:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=approximation+integrate+x^(1/2)*log(x)/(1+x)^2+dx+from+x=0+to+infinity
(je suis obligé de passer par une valeur approchée)
Effectivement, je me suis planté dans ma dérivation : j'ai dérivé par rapport à x : merci, Gerard !
Je vais essayer de reprendre avec la bonne dérivée. Je vais peut-être m'en sortir plus facilement !
$$u'(x)=\frac{\frac{a}{x}(1+x)-a\log x-1}{(1+x)^2},$$
$$af'(a)+f(a)=\int_0^{\infty}u(x)v'(x)dx =\int_0^{\infty}\frac{\log x}{(1+x)^2}x^adx+R$$ avec
$$R=-f(a)+\frac{(1-a)}{a}\int_0^{\infty}\frac{x^a}{(1+x)^2}dx$$
Rappel $$B(p,q)=\int_0^{\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$$ et donc $R=-B(a,1-a)+\frac{(1-a)}{a}B(1+a,1-a)=-a\Gamma(a)\Gamma(1-a)\neq 0.$ Entre parenthèses, $f(a)=\pi/\sin(\pi a)$, pourquoi se casser à ce genre d'exo?
Mais je ne suis pas très bien ton calcul, P.
Lorsque je calcule a f '(a) + f(a), je trouve $\int_0^{\infty}\frac{(a ln x +1) x^{a-1}}{1+x}dx$, ce qui diffère un peu de ton calcul.
(A noter que les fonctions B sont hors programme du concours)
Moi aussi je trouve $v(x)=\frac{x^a}x$ et pas $v(x)=\frac{x^a}a$.
Cordialement.
on part de l'intégrale génératrice classique avec $x > 1$ déterminée avec les applications intégrales de la fonction Gamma : $$\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1 + t^x} = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi}{x}}$$
on pose $u = t^a$ avec $0 < a < 1$
et on opère ce changement de variable muette dans ton intégrale génératrice paramétrée
(la convergence de l'intégrale aux bornes $0$ et $+\infty$ est bien assurée) :
$\int_0^{+\infty}\frac{t^{a-1}}{1+t^x}dt = \frac{1}{a}\int_0^{+\infty}\frac{du}{1 + u^{\frac{x}{a}}}$ soit :
$$\int_0^{+\infty}\frac{t^{a-1}}{1+t^x}dt = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi.a}{x}}$$
je n'ai pas répondu aux questions préliminaires mais je t'ai donné le résultat attendu
et comme le dit P, la méthode exigée au concours n'est pas très pertinente
cordialement
Je suis d'accord avec Greg.
Par IPP, avec $u:x\mapsto x^a \ln x$ et $v':x\mapsto \dfrac 1{(1+x)^2}$, je trouve que :
$$\int_0^{+\infty} \dfrac{x^a\ln x}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \dfrac{(1+a\ln x)x^{a-1}}{1+x}\ \mathrm{d}x$$
De plus
$$f'(a)=\int_0^{+\infty} \dfrac{x^{a-1}\ln x}{1+x}\ \mathrm{d}x$$
Donc $$\int_0^{+\infty} \dfrac{x^a\ln x}{(1+x)^2}\ \mathrm{d}x = f(a)+af'(a)$$
$\displaystyle af(a)+f'(a)=\int_0^{\infty}\frac{(a\ln x +1) x^{a-1}}{1+x}dx$
Après on a envie de poser: $f'(x)=a\ln x +1$
PS:
Je ne suis pas allé au bout des calculs, cela peut être une impasse. :-D
Il y a d'autres questions?
J'imagine qu'il s'agit de calculer f(a)?
La méthode de Philippe me semble la plus simple. B-)-
Merci !!(tu)
- montrer que l'intégrale comportant le Ln est bornée lorsque a décrit un voisinage approprié autour de 0
- en déduire un équivalent de f '(a) en 0
PS:
Il ne faut pas être plus royaliste que le roi. B-)-
(c'était une phrase que répétait mon prof' de maths de troisième il y a bien longtemps maintenant).
> L'exercice n'a pas pour but de calculer f(a)?
Non, le but est un peu plus ambitieux : exprimer f(a) à l'aide de fonctions usuelles ... au bout de 10 questions !!
Er quelles sont ces questions? :-)
Je serais parti de la constatation que $a f '(a) + f(a)$ est la dérivée de $a f(a)$ et aurais alors cherché à dériver $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{a \space x^{a-1}}{1+x}dx$.
Cordialement,
Rescassol
Annales Concours Admin Insee
Effectivement ! ... sauf que la dérivation sous l'intégrale n'est pas autorisée dans ce concours (sauf autorisation explicite dans l'énoncé) :-(
Même en la justifiant ?
Cordialement,
Rescassol
Même ! (le théorème de dérivation sous l'intégrale est hors programme. Dans certaines parties de l'énoncé, il est dit "on admettra le résultat que la dérivée s'obtient en dérivant sous l'intégrale" mais, tant qu'on n'a pas cette assertion, interdiction d'utiliser ce théorème !!)