Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
147 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
"il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

Je prendrais des preuve simple (courte (moins de 10 lignes) compréhensible par un élève de maîtrise), que j'habille d'un énoncé. A vous de les déshabiller, trouvez une preuve.

énoncé 1 :
On travaille dans le plan euclidien :
soient $n,k$ deux entiers plus grand que 2, $E=\{A_1,...,A_n\}$ des points du plan, $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{k}$, $U$ un point du plan, on suppose $r(E)=E$, $d(A_i,U)=i^2$ et $d(A_i,O)=i$. Que vaut $d(O,U)$ ?

"il est facile de" la preuve

Les incontournables de ce fil, ici : [www.les-mathematiques.net]



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Habillage et Déshabillage
il y a trois années
avatar
énoncé 2 :
Existe-t-il une métrique sur $F([0,1])$ les fonctions réelles de $[0,1]$ dans $[0,1]$, où $C([0,1])$ est dense ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 3 :
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/101\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en $2$.
$f^{n}$ est la composée de $f$ $n$ fois.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
merci pour le plagiat grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi ...... Cliquez sur cet implicite, pour économiser
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Pourrais-tu évaluer la difficulté de ces énoncés ?
Merci.

énoncé 4 : (usage de la calculatrice fortement conseillé)
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/1031\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en 2.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 5 :
Existe-t-il $f$ continue de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux on a :
$f(x)+f(y)+f(x)\times f(y)\leq -3$.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
$f(12)+f(12)+f(12)\times f(12)=(f(12)+1)^2-1\geqslant -1 > -3$

Mais bon 12 est-il un nombre décimal ?
Je n'ai pas de preuve en moins de dix lignes.

S

La poésie n'est pas une solution.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par samok.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bravo.
énoncé 6 :
Déterminer toutes les $f$ continues de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux tel que $x \neq y$ on a : $f(x)+f(y)+f(x)×f(y)\leq -1$ ?



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
La fonction étant continue, l'inégalité se prolonge à $x$ et $y$ réels quelconques, distincts ou non. D'après l'argument de samok, la fonction est constante égale à $-1$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Énoncé 4 : J'utilise ma grosse calculatrice (maple) :
> f:=x^2+1:
> eval(diff(f^101,x$101),x=2) mod 1031;
                                      730
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Je trouve Guego généreux de réussir à définir la dérivée d'une fonction définie sur un corps fini !
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
et $^$ était la composition pour subjectivement moi.

d'où l'intérêt de se comprendre et de savoir se parler correctement.
S

La poésie n'est pas une solution.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
@Jer anonyme : bravo, (la dérivée sur les corps finis d'un polynôme est parfaitement définie : $(x^n)'=n \times x^{n-1}$

@Guego : tu as bien calculé la composition de $f$ et non la puissance ?
De toutes les façons, le calcul repose sur une astuce, il suffit de la donner pour résoudre le problème.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
ok j'ai rien compris, je peux avoir free quand même ?

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bis : dériver un polynôme, c'est facile ; dériver une fonction polynomiale sur un corps fini, ce n'est pas possible.

Dans l'exemple ci-dessus, parce que $f$ peut également être définie (sur $\Z/101\Z$) par $f(x)=x^2+1+x^{101}-x$ et que la dérivée des polynômes $X^2+1$ et $X^2+1+X^{101}-X$ ne sont pas les mêmes.
Re: Habillage et Déshabillage
il y a trois années
avatar
@Jer, tu as raison, il s'agit bien de polynômes formels (la composition de polynômes formels est me semble-t-il canonique).

Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Habillage et Déshabillage
il y a trois années
avatar
énoncé 7 :
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans lui même, tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$
$f(\frac{1}{1+x^2})=2\times f(x)$



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Habillage et Déshabillage
il y a trois années
avatar
Fixons $x$, alors $f(x)=\frac12f(\frac1{1+x^2})$. Soient $c:x\mapsto1/(1+x^2)$ (qui contracte tout le monde vers son unique point fixe $r$) et $h:y\mapsto y/2$ (qui contracte tout vers $0$). Par applications répétées, on a : $f=h^nfg^n$. Pour $x$ fixé, $\bigl(g^n(x)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $r$ et $\bigl(h^n(f(r)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $0$. Seule la fonction nulle convient.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bravo (sauf que $f$ n'est pas forcément continue mais comme elle va de $[0,1]$ dans lui même ta preuve marche encore).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 8 :
Soit $f$ fonction de $\R^n$ dans lui même, continue tel que :
pour tout $x,y$ de $\R^n$ on suppose : $\frac{3}{2}||x-y||\leq ||f(x)-f(y)||$
Prouver que $f$ a un point fixe.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 9 :
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans $[0,1]$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$ on a :
$\sin(f(1-x))=2 \times f(x)$




Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
J'ai changé l'énoncé, car la preuve proposée par Jer marcherait encore.

énoncé 9 :
On prend $f(1-x^2)+f(1-x)=3 \times f(x)$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Citation
contrexemple
... la preuve proposer par Jer marcher encore. 

Voudrais-tu corriger aussi l'orthographe de cette phrase de sorte qu'elle soit intelligible ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 10 :
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+x=3*f(x)$ pour tout $x$ dans $[0,1]$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 11 :
Décrire une infinité (plus grande que $card(\R)$) de loi associative sur $\R$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 12 :
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même, tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+e^{x}=2 \times f(x)$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Concernant ton énoncé11, pour n'importe quelle bijection $f$ de $\R\to \R$, la loi $*_2 := f^{-1} (f(x)*f(y))$ a les mêmes propriétés que $*$. Tu devrais ajouter "non isomorphes" pour que la question soit intéressante.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi ...... Cliquez sur cet implicite, pour économiser
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bravo, je n'attendais pas d'autre réponse.

Pour non isomorphe, je ne sais pas répondre, et je rappelle que je ne mets que des questions auxquelles je sais répondre en quelques lignes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 13 :
Exprimer en fonction de $n$ un entier, la somme : $ \sum \limits_{ i \in\mathbb{[}0,n\mathbb{]} } {81}^{2^i} - 3^{2^i} $,

Merci à jacquot



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Ok, je répercute dans "il est facile de" pour "non isomorphes".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi ...... Cliquez sur cet implicite, pour économiser
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
On a $81^{2^i}=(3^4)^{2^i}=3^{2^{i+2}}$.

On a donc affaire à une somme téléscopique. (Chaque terme va en tuer un deux crans plus loin)

Sauf erreur il reste donc le terme en $n$ plus celui en $n-1$ moins celui en $1$ et en $0$.

Autrement dit la somme vaut : $3^{2^{n+2}}+3^{2^{n+1}} - 9 - 3.$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bravo.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
contrexemple écrivait :"Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés."

énoncé 14 :

Le nombre $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times 3^n}$ est-il toujours entier ?

On suppose $n \in \mathbb N$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bienvenue.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
@Cidrolin, et tu en as une preuve de quelques lignes ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Oui, il me semble.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
D'après mon programme sur Maple, il ne l'est pas entre [0,100].
Attends je revérifie.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Maple refuse de faire le calcul, mais pour le calcul que j'ai pu faire, n=0,1,2. Cela semble marcher.
Nous conseilles-tu l'usage de la calculette ou cela est-il inutile ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
C'est vous qui voyez ! Il y en a qui ont essayé. Ils ont eu des problèmes.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Est-ce, bien un problème de ton cru ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Oui, le tout est de mon cru.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Ok, je reconnais que l'astuce que tu utilises pour résoudre ce problème je ne la connais pas, je te propose un échange de bon procédé choisis le problème que tu veux parmi ceux que je propose et je t'en donnerais la solution contre ta solution.

Cela te va-t-il ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Laissons les gens chercher. Et dans deux jours (en l'absence de réponses, ce que je ne crois pas) j'écris ma solution.

Dans environ [www.timeanddate.com]

Amicalement.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Il me semble pouvoir montrer que $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{n}\rfloor}{3^n}$ et que $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times3^{2n+1}}$ est entier, me trompé-je ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
$29$ minutes pour trouver et proposer mieux.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Question :
cette expression "il me semble avoir la preuve que ..." renvoie-t-elle à un concept mathématique particulier ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Je pense que tu utilises les fractions continues, mais je n'ai pas trop l'habitude de les manipuler, donc j'attends ta solution ou celle d'un autre si elle est trouvée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Cidrolin est un petit sioux, très cultivé, très porté sur l'American Monthly du 20ème siècle, je l'aime et lui souhaite une très bonne année.

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Citation

Je pense que tu utilises les fractions continues
La quantité conjuguée est une meilleure piste.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
@samok bonne année à toi.

@GaBuZoMeu en effet.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 134 249, Messages: 1 292 844, Utilisateurs: 23 275.
Notre dernier utilisateur inscrit H.S. Bastoini.


Ce forum
Discussions: 375, Messages: 9 648.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page