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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
"il est facile de" la preuve :
09 janvier 2016, 19:31
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Bonsoir,

Je prendrais des preuve simple (courte (moins de 10 lignes) compréhensible par un élève de maîtrise), que j'habille d'un énoncé. A vous de les déshabiller, trouvez une preuve.

énoncé 1 :
On travaille dans le plan euclidien :
soient $n,k$ deux entiers plus grand que 2, $E=\{A_1,...,A_n\}$ des points du plan, $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{k}$, $U$ un point du plan, on suppose $r(E)=E$, $d(A_i,U)=i^2$ et $d(A_i,O)=i$. Que vaut $d(O,U)$ ?

"il est facile de" la preuve

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Modifié 7 fois. Dernière modification le 29/04/2017 06:32 par pourexemple.
Re: Habillage et Déshabillage
09 janvier 2016, 20:43
avatar
énoncé 2 :
Existe-t-il une métrique sur $F([0,1])$ les fonctions réelles de $[0,1]$ dans $[0,1]$, où $C([0,1])$ est dense ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 18/04/2017 14:51 par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
09 janvier 2016, 22:08
avatar
énoncé 3 :
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/101\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en $2$.
$f^{n}$ est la composée de $f$ $n$ fois.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 11/01/2016 05:22 par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 00:37
merci pour le plagiat grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 08:18
avatar
Pourrais-tu évaluer la difficulté de ces énoncés ?
Merci.

énoncé 4 : (usage de la calculatrice fortement conseillé)
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/1031\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en 2.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 11/01/2016 14:14 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 09:00
avatar
énoncé 5 :
Existe-t-il $f$ continue de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux on a :
$f(x)+f(y)+f(x)\times f(y)\leq -3$.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 10/01/2016 09:07 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 09:24
avatar
$f(12)+f(12)+f(12)\times f(12)=(f(12)+1)^2-1\geqslant -1 > -3$

Mais bon 12 est-il un nombre décimal ?
Je n'ai pas de preuve en moins de dix lignes.

S

La poésie n'est pas une solution.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/01/2016 09:25 par samok.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 10:23
avatar
Bravo.
énoncé 6 :
Déterminer toutes les $f$ continues de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux tel que $x \neq y$ on a : $f(x)+f(y)+f(x)×f(y)\leq -1$ ?



Modifié 4 fois. Dernière modification le 10/01/2016 10:27 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 10:55
avatar
La fonction étant continue, l'inégalité se prolonge à $x$ et $y$ réels quelconques, distincts ou non. D'après l'argument de samok, la fonction est constante égale à $-1$.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 10:55
Énoncé 4 : J'utilise ma grosse calculatrice (maple) :
> f:=x^2+1:
> eval(diff(f^101,x$101),x=2) mod 1031;
                                      730
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 10:58
avatar
Je trouve Guego généreux de réussir à définir la dérivée d'une fonction définie sur un corps fini !
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 11:08
avatar
et $^$ était la composition pour subjectivement moi.

d'où l'intérêt de se comprendre et de savoir se parler correctement.
S

La poésie n'est pas une solution.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 11:14
avatar
@Jer anonyme : bravo, (la dérivée sur les corps finis d'un polynôme est parfaitement définie : $(x^n)'=n \times x^{n-1}$

@Guego : tu as bien calculé la composition de $f$ et non la puissance ?
De toutes les façons, le calcul repose sur une astuce, il suffit de la donner pour résoudre le problème.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 11/01/2016 14:16 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 11:17
avatar
ok j'ai rien compris, je peux avoir free quand même ?

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 11:35
avatar
Bis : dériver un polynôme, c'est facile ; dériver une fonction polynomiale sur un corps fini, ce n'est pas possible.

Dans l'exemple ci-dessus, parce que $f$ peut également être définie (sur $\Z/101\Z$) par $f(x)=x^2+1+x^{101}-x$ et que la dérivée des polynômes $X^2+1$ et $X^2+1+X^{101}-X$ ne sont pas les mêmes.
Re: Habillage et Déshabillage
10 janvier 2016, 11:38
avatar
@Jer, tu as raison, il s'agit bien de polynômes formels (la composition de polynômes formels est me semble-t-il canonique).

Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 18/04/2017 14:56 par AD.
Re: Habillage et Déshabillage
10 janvier 2016, 11:55
avatar
énoncé 7 :
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans lui même, tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$
$f(\frac{1}{1+x^2})=2\times f(x)$



Modifié 4 fois. Dernière modification le 10/01/2016 13:44 par contrexemple.
Re: Habillage et Déshabillage
10 janvier 2016, 14:09
avatar
Fixons $x$, alors $f(x)=\frac12f(\frac1{1+x^2})$. Soient $c:x\mapsto1/(1+x^2)$ (qui contracte tout le monde vers son unique point fixe $r$) et $h:y\mapsto y/2$ (qui contracte tout vers $0$). Par applications répétées, on a : $f=h^nfg^n$. Pour $x$ fixé, $\bigl(g^n(x)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $r$ et $\bigl(h^n(f(r)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $0$. Seule la fonction nulle convient.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 14:49
avatar
Bravo (sauf que $f$ n'est pas forcément continue mais comme elle va de $[0,1]$ dans lui même ta preuve marche encore).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/01/2016 23:02 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 17:11
avatar
énoncé 8 :
Soit $f$ fonction de $\R^n$ dans lui même, continue tel que :
pour tout $x,y$ de $\R^n$ on suppose : $\frac{3}{2}||x-y||\leq ||f(x)-f(y)||$
Prouver que $f$ a un point fixe.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 10/01/2016 17:42 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 18:45
avatar
énoncé 9 :
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans $[0,1]$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$ on a :
$\sin(f(1-x))=2 \times f(x)$




Modifié 4 fois. Dernière modification le 10/01/2016 19:04 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 19:10
avatar
J'ai changé l'énoncé, car la preuve proposée par Jer marcherait encore.

énoncé 9 :
On prend $f(1-x^2)+f(1-x)=3 \times f(x)$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/01/2016 19:17 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 19:15
avatar
Citation
contrexemple
... la preuve proposer par Jer marcher encore. 

Voudrais-tu corriger aussi l'orthographe de cette phrase de sorte qu'elle soit intelligible ?
Re: "il est facile de" la preuve :
10 janvier 2016, 22:47
avatar
énoncé 10 :
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+x=3*f(x)$ pour tout $x$ dans $[0,1]$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 08:29
avatar
énoncé 11 :
Décrire une infinité (plus grande que $card(\R)$) de loi associative sur $\R$.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 08:42
avatar
énoncé 12 :
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même, tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+e^{x}=2 \times f(x)$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 10:58
Concernant ton énoncé11, pour n'importe quelle bijection $f$ de $\R\to \R$, la loi $*_2 := f^{-1} (f(x)*f(y))$ a les mêmes propriétés que $*$. Tu devrais ajouter "non isomorphes" pour que la question soit intéressante.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 11:31
avatar
Bravo, je n'attendais pas d'autre réponse.

Pour non isomorphe, je ne sais pas répondre, et je rappelle que je ne mets que des questions auxquelles je sais répondre en quelques lignes.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/01/2016 13:22 par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 12:16
avatar
énoncé 13 :
Exprimer en fonction de $n$ un entier, la somme : $ \sum \limits_{ i \in\mathbb{[}0,n\mathbb{]} } {81}^{2^i} - 3^{2^i} $,

Merci à jacquot



Modifié 3 fois. Dernière modification le 12/01/2016 15:46 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 13:55
Ok, je répercute dans "il est facile de" pour "non isomorphes".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:07
avatar
On a $81^{2^i}=(3^4)^{2^i}=3^{2^{i+2}}$.

On a donc affaire à une somme téléscopique. (Chaque terme va en tuer un deux crans plus loin)

Sauf erreur il reste donc le terme en $n$ plus celui en $n-1$ moins celui en $1$ et en $0$.

Autrement dit la somme vaut : $3^{2^{n+2}}+3^{2^{n+1}} - 9 - 3.$
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:08
avatar
Bravo.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:31
avatar
contrexemple écrivait :"Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés."

énoncé 14 :

Le nombre $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times 3^n}$ est-il toujours entier ?

On suppose $n \in \mathbb N$
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:41
avatar
Bienvenue.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:43
avatar
@Cidrolin, et tu en as une preuve de quelques lignes ?
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:45
avatar
Oui, il me semble.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 14:47
avatar
D'après mon programme sur Maple, il ne l'est pas entre [0,100].
Attends je revérifie.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 12/01/2016 14:53 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 15:02
avatar
Maple refuse de faire le calcul, mais pour le calcul que j'ai pu faire, n=0,1,2. Cela semble marcher.
Nous conseilles-tu l'usage de la calculette ou cela est-il inutile ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 12/01/2016 15:06 par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 15:09
avatar
C'est vous qui voyez ! Il y en a qui ont essayé. Ils ont eu des problèmes.
Re: "il est facile de" la preuve :
12 janvier 2016, 15:13
avatar
Est-ce, bien un problème de ton cru ?
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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