"il est facile de" la preuve :

Merci contrexemple,
Il va falloir que je fasse des révisions en arithmétique pour comprendre entièrement la solution de samok.

Ton indication $x^{p-1} \mod p =1 $ m'avait permis entre temps de montrer que au delà de $2^{607}-2$ ta somme reste toujours congrue à 1 modulo $2^{607}-1$ sauf pour les multiples de $2^{607}-2$ où elle est nulle. (périodicité de période $p-1$)

Amicalement. jacquot

Bonjour contrexemple,

narration de recherche :
- je me suis dit que la puissance induirait une bijection (dans le groupe multiplicatif), mais en prenant comme exemple 13, j'ai été fort désappointé;
- j'ai repensé à une preuve du petit théorème de Fermat, où une bijection utilisée est $x\mapsto ax$.

voili voilou,

S

21: groupe multiplicatif fini d'un corps->cyclique.
12:x=1
16: On peut aussi remarquer que $\frac1{x^{p-1}-1}=\sum_{i\ne0}\frac1{x-i}$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$.

Un anneau intègre EST commutatif par définition. Je suppose que tu voulais dire anneau sans diviseurs de zéro.

un peu border-line, voici le problème : (quel genre de psychopathe de la pensée l'a formulé en premier ?)

Le déplacement des pièces dans le plan est suffisant.

S

oui

S

Il n'existe pas de configuration telle que dans l'énoncé 1 car $d(r(A_i),O)=d(A_i,O)=i$ et le fait que $r(A_i)\in E$ entraîne que $r(A_i)=A_i$ pour tout $i$, donc que $A_i=O$ pour tout $i$.

Pour l'énoncé 4, je ne sais pas ce qu'est cette fameuse propriété C.E.T. mais je trouve 941 avec une grosse calculatrice :

p=101
q=1031
f=[0]*(p+1)
f[1]=1
k=0
while k<p:
	i=p
	while i>=0:
		s=4*f[ i]
		j=0
		while j<=i:
			s=s+f[j]*f[i-j]
			j += 1
		f[ i]=s%q
		i -= 1
	f[0]=(f[0]+3) % q
	k +=1
a=f[p]
k=p
while k>0:
	a=(a*k) %q
	k -=1
print(a)

L'idée est de faire le changement de variables $x=2+y$. On est amenés à poser $g(y)=f(2+y)-2=y^2+4y+3$ et à calculer la dérivée $101^e$ de $g^{\circ 101}$ en $0$. Il suffit donc de calculer le coefficient de $y^{101}$ de $g^{\circ 101}$, ce qui se fait aisément par ordinateur car on n'a pas besoin dans les calculs intermédiaires de garder en mémoire les termes en $y^k$ pour $k>101$.

Bonjour,

voici une caricature de type d'énoncés que vous demandez :
- je l'ai fait avec mes petites mains et ma petite tête;
- il est essentiellement trivial;
- il est maquillé outrageusement pour masquer sa trivialité.

Avant de me dire qu'il n'a pas de sens, je rappelle que quand j'étais petit, on m'a défini un espace vectoriel comme un triplet d'ensembles $(E,+,.)$, donc comme un ensemble. Ainsi un ensemble comme "la reine d'Angleterre" peut-être qualifié de vectoriel si on exhibe $E$, $+$ et $.$ .

Tes désirs font désordre

L'ensemble ci-dessous est-il un espace vectoriel ?\\
\begin{tabular}{l}
$\{\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};$
\\
$\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\emptyset\}\}\}\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};$
\\
$\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};$
\\
$\emptyset\}\}\}\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};$
\\
$\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\emptyset\}\}\}\}\}\}$
\end{tabular}

Contrexemple,

$(a,b)=\{a;\{a;b\}\}$
puis $(a,b,c)=((a,b),c)$
$\emptyset=0$ et $\{\emptyset\}=1$
$a=\{0;1\}$ puis les opérations $b$ et $c$ sont celles de $(\mathbb{Z}_2,+,.)$, par exemple $0+1=1$ s'écrit avec l'élément de $b$ : $\{\{0;\{0;1\}\};\{\{0;\{0;1\}\};1\}\}=((0,1),1)$

C'est aussi une caricature du formalisme que je visais.
Je ne sais pas ce que je suis mais tu sembles savoir ce que je ne suis pas, cela m'invite à ne plus intervenir dans ce fil.
Bonne continuation.

S

Montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(|\sin(nx)|\right)^{\tfrac{1}{n}}=1$, pour presque tout $x$ réel.

On peut d'ailleurs enlever la condition « $p$ premier » vu que $n(n+1)$ est pair.

25: Supposons que $p\equiv 3 \ [4].$ Alors $p$ est irréductible dans $\Z[ i ]$, qui est factoriel, et $p\mid (1+in)(1-in).$ Par le lemme d'Euclide $p\mid 1\pm i n$.

Autrement dit, $\dfrac{1\pm in}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid 1$ dans $\Z$, contradiction.

Comme précédemment, si $p\equiv 3 \ [4]$, il divise $n\pm i(n+1)$ dans $\Z[ i ]$. Alors $\dfrac{n+i(n+1)}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid n$ et $p\mid n+1$ dans $\Z$, et ainsi $p\mid 1$ par différence, contradiction.