Cela ne va pas de soit, mais cela va à peu près de soi quand on réalise que $-1$ est un carré dans $\Z/p\Z$ ($p$ premier impair) si et seulement si $4$ divise $p-1$.
Pour donner plus d'intérêt à l'énoncé 26, je vous informe que c'est bien un nouveau critère d'irréductibilité, en tous les cas s'ils existaient je ne le connaissais pas.
J'ai oublié un $2$. En posant $u_n=2\cos(v_n)$, on arrive à $v_{n+1}=2v_n$ donc $v_n=v_0 2^n$.
Après, peut-être faut il bricoler avec les déterminations complexes.
énoncé 31 : (avertissement plus difficile que le 30)
$v_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n^2+u_n^2)$
$u_{n+1}=u_n(v_n-u_n)$
Déterminer l'expression générale de $u_n$ et $v_n$ en fonction des valeurs initiales.
Intérêt et indice : il y a derrière ce problème une méthode générale.
Énoncé 31.
En posant : $x_{n}=\frac{1}{2}v_{n},y_{n}=\frac{1}{2}u_{n}$, il vient : $x_{n+1}=x_{n}^{2}+y_{n}^{2},y_{n+1}=2y_{n}(x_{n}-y_{n})$.
Et il me vient l'idée de chercher un irrationnel $\theta$ tel que : $x_{n+1}+y_{n+1}\theta =(x_{n}+y_{n}\theta )^{2}$.
Et il me semble que ça marche avec $\theta =-1+\sqrt{2}$.
Etc.
Bonsoir.
F. Ch.
Pour l'énoncé 30, l'idée de Rescassol me semble la bonne et pour régler la question pour toute valeur initiale, utiliser les polynômes de Tchebychev de première espèce.
Soit $m=\varphi(5^{19})=4\times 5^{18} = 15258789062500$.
On pose $a_0=3$ et $a_{k+1}=a_k^2\pmod{5^{20}}=a_k^2\pmod{95367431640625}$.
On a donc $a_k=3^{2^k}\pmod{5^{20}}$, et on veut calculer $S=a_0+a_1+\cdots+a_{2^{100}-1}$.
On fait la division Euclidienne de $2^{100}-1$ par $m$. Elle s'écrit $2^{100}-1=qm+r$ où $q=83076749736557242$ et $r=861937580375$.
Notons que $a_k=a_{k+m}$ pour tout $k\geqslant 2$. En effet, $2^{k+m}-2^k=2^k(2^m-1)$ avec $2^k$ divisible par $4$ et $2^m-1$ divisible par $5^{19}$, donc $2^{k+m}\equiv 2^k\pmod{\varphi(5^{20})}$.
On a donc $S=(a_0+\cdots+a_r)+(a_{r+1}+\cdots+a_{r+m})q$. Ceci nécessite d'effectuer $2(r+m)+1=32241453285751$ opérations dans $\Z/5^{20}\Z$ (voire un peu moins si on s'y prend bien). C'est long mais praticable par ordinateur en quelques jours au maximum suivant le programme utilisé et la puissance de l'ordinateur.
énoncé 32 :
$f$ fonction continue de $\R^2$ dans lui même tel que $\{(2,-2),(3,-1)\}\subset f(\R^2)$.
Montrer qu'alors il existe $a$ tel que $\{(a^2,a)\}\subset f(\R^2)$.
La forme générale de la solution est : $a^{2^n}+a^{-2^n}$ ce n'est pas tout à fait ce que tu proposais, par contre avec la solution de Rescassole on retombe sur celle là.
Le "Last modified February 12 05:01 EST 2016. Contains 268204 sequences" concerne toute la base. Cette phrase se retrouve sur toutes les pages des 268204 suites.
Je vous propose un résultat (que je trouve joli) que j'avais mis dans le post à Christophe (comme j'en ai trouvé une solution courte, je vous le propose).
énoncé 33 :
$f$ fonction continue de $\R^n$ dans $f(\R^n)=\R$. Montrer que pour tout $c\in\R$, $E_c=\{x\in\R^n|f(x)=c\}$ n'est jamais un singleton.
Exercice 33 :
On suppose que $n\geqslant 2$, sinon le résultat est faux.
Soit $c$ un nombre réel. Si $E_c$ était un singleton, alors $\R^n\setminus E_c$ serait connexe mais son image par l'application continue $f$ serait $\R\setminus\{c\}$ qui ne l'est pas. Par conséquent $E_c$ n'est pas un singleton.
Réponses
En effet cela revient à dire que pour tout entier premier somme de carré alors p=1 mod 4, ce qui est une propriété qui ne va absolument pas de soit.
Mais pourquoi $p=a^2+b^2$ premier alors $p=1 \mod 4$ ? ok, c'est facile
Le nombre de polynôme $P\in \N[X]$ de degré $k>2000$ tel que pour tout $n\in \N$ si $k^4\leq P(n)$ alors $k^3\leq n$ est-il fini ?
$u_{n+1}=2u_n^2-2u_n +1 \mod (2^{607}-1)$, $u_0=3$, calculer $u_{2^{607}}$.
$u_{n+1}=u_n^2-2$ trouver l'expression générale de $u_n$ en fonction de $u_0$ ?
Pour le 30: Poser $u_n=\cos(v_n)$ formellement sans se poser de question d'existence et faire de la multiplication télescopique ?
Cordialement,
Rescassol
Et si je prend $|u_0|>1$ ?
Cordialement.
Tu as zappé le mot "formellement" ?
D'autre part, je n'ai pas prétendu que $v_n$ était réel.
Cordialement,
Rescassol
J'ai oublié un $2$. En posant $u_n=2\cos(v_n)$, on arrive à $v_{n+1}=2v_n$ donc $v_n=v_0 2^n$.
Après, peut-être faut il bricoler avec les déterminations complexes.
Cordialement,
Rescassol
C'est possible, mais la solution que j'ai, n'a pas cette forme.
Donc il faudrait creuser d'avantage la question.
Ta solution (presque le 2 que tu as ajouté est en trop) marche, voilà la mienne plus proche de celle proposé par Cidrolin :
$u_n=a^{2^n}+a^{-2^n}$
$v_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n^2+u_n^2)$
$u_{n+1}=u_n(v_n-u_n)$
Déterminer l'expression générale de $u_n$ et $v_n$ en fonction des valeurs initiales.
Intérêt et indice : il y a derrière ce problème une méthode générale.
Merci.
En posant : $x_{n}=\frac{1}{2}v_{n},y_{n}=\frac{1}{2}u_{n}$, il vient : $x_{n+1}=x_{n}^{2}+y_{n}^{2},y_{n+1}=2y_{n}(x_{n}-y_{n})$.
Et il me vient l'idée de chercher un irrationnel $\theta$ tel que : $x_{n+1}+y_{n+1}\theta =(x_{n}+y_{n}\theta )^{2}$.
Et il me semble que ça marche avec $\theta =-1+\sqrt{2}$.
Etc.
Bonsoir.
F. Ch.
@Chaurien : tu y es presque.
Sur l'idée de Rescassol elle marche (j'avais dit le contraire mais j'ai rectifié mon erreur).
@Joaopa : $\pm 1$ je ne comprends pas ce que tu en faits ?
On pose $a_0=3$ et $a_{k+1}=a_k^2\pmod{5^{20}}=a_k^2\pmod{95367431640625}$.
On a donc $a_k=3^{2^k}\pmod{5^{20}}$, et on veut calculer $S=a_0+a_1+\cdots+a_{2^{100}-1}$.
On fait la division Euclidienne de $2^{100}-1$ par $m$. Elle s'écrit $2^{100}-1=qm+r$ où $q=83076749736557242$ et $r=861937580375$.
Notons que $a_k=a_{k+m}$ pour tout $k\geqslant 2$. En effet, $2^{k+m}-2^k=2^k(2^m-1)$ avec $2^k$ divisible par $4$ et $2^m-1$ divisible par $5^{19}$, donc $2^{k+m}\equiv 2^k\pmod{\varphi(5^{20})}$.
On a donc $S=(a_0+\cdots+a_r)+(a_{r+1}+\cdots+a_{r+m})q$. Ceci nécessite d'effectuer $2(r+m)+1=32241453285751$ opérations dans $\Z/5^{20}\Z$ (voire un peu moins si on s'y prend bien). C'est long mais praticable par ordinateur en quelques jours au maximum suivant le programme utilisé et la puissance de l'ordinateur.
$f$ fonction continue de $\R^2$ dans lui même tel que $\{(2,-2),(3,-1)\}\subset f(\R^2)$.
Montrer qu'alors il existe $a$ tel que $\{(a^2,a)\}\subset f(\R^2)$.
C'est ce que j'ai proposé ci-dessus :-D.
PS : ton lien bug.
Last modified February 12 03:46 EST 2016. Contains 268204 sequences.
Il traite le cas générale ? (je suis une bille en anglais)
[ Le cas général y est-il traité ? ]
énoncé 33 :
$f$ fonction continue de $\R^n$ dans $f(\R^n)=\R$. Montrer que pour tout $c\in\R$, $E_c=\{x\in\R^n|f(x)=c\}$ n'est jamais un singleton.
On suppose que $n\geqslant 2$, sinon le résultat est faux.
Soit $c$ un nombre réel. Si $E_c$ était un singleton, alors $\R^n\setminus E_c$ serait connexe mais son image par l'application continue $f$ serait $\R\setminus\{c\}$ qui ne l'est pas. Par conséquent $E_c$ n'est pas un singleton.
énoncé 34 :
Montrer que pour tout $c\in\R$, $card(E_c)=card(\R)$.
Soit $A\subset \R^n$, $n>1$ avec $A$ au plus dénombrable, montrer que $\R^n-A$ est connexe par arc.