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"il est facile de" la preuve :
On ne supposera rien sur l'hypothèse du continu.
Pour l'énoncé 20, on peut écrire $A=\sum_{i=0}^{2^{100}-1} 3^{2^i}=3+9+\sum_{i=2}^{2^{100}-1} 3^{2^i}=3+9+\sum_{i=0}^{2^{100}-3} 81^{2^i}$.
$81^{2^i}\equiv (1+80)^{2^i}\equiv \sum_{j=0}^{\min(19,2^i)} C_{2^i}^j 80^j \mod 5^{20}$,
car $80^j \equiv 0 \mod 5^{20}$ si $j \geq 20$.
Soit $S_j=\sum_{i=0}^{2^{100}-3} C_{2^i}^j$ avec la convention $C_{2^i}^j=0$ si $2^i<j$.
On a alors $A \equiv 3+9+\sum_{j=0}^{19} S_j 80^j \mod 5^{20}$.
Pour calculer $S_j$, on écrit $C_x^j$ comme un polynôme $a_j x^j+\dots+ a_0$.
Comme on sait calculer $T_j=\sum_{i=0}^{2^{100}-3} (2^j)^i$, on sait calculer $S_j$.
En effet, $S_j=a_jT_j+a_{j-1}T_{j-1}+ \dots+a_1T_1+ a_0 T_0$
Il faut quand même faire attention vu que les $a_j,\dots, a_0$ appartiennent à $\Q$.
Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par marco.
Pour calculer $\sum_{i=0}^{2^{100}-3} u^i \mod 5^{20}$, on utilise le fait que $u^{a\phi(5^{20})+r} \equiv u^r \mod 5^{20}$ si $a,r \in \N$, et si $u$ est premier avec $5$.
Ici, $u=2^j$.
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par marco.
Bravo, c'est très bien.
Voilà ma solution : On travaille dans $A=\Z_{5^{20}}$
$Q(X)=(X^5-X)^{20}$ alors pour tout $x\in A$, $Q(x)=0$
On pose $P_0(X)=X$, $F_0(X)=X^2$
$F_{i+1}(X)=F_{i}(F_{i}(X)) \mod Q(X)$
$P_{i+1}(X)=P_i(F_i(X))+P_i(X) \mod Q(X)$
Alors on calcule : $P_{99}(3)$ qui donne le résultat.
Je vous invite à regarder l' énoncé 32.
Il est porteur d'une astuce qui peut être très utile.
Énoncé 35.
Soient $a$ et $b$ deux points distincts éléments de $\R^{n}\backslash A$. Soit $D$ la médiatrice de $[a,b]$ dans un plan $P$ contenant $a$ et $b$. Pour chaque point $x \in D$ (sauf le miieu de $[a,b]$), soit $\Gamma _{x}$ l'arc de cercle ouvert d'extrémités $a$ et $b$ passant par $x$ et situé dans le plan $P$. Ces arcs sont deux à deux disjoints et leur ensemble est infini non dénombrable. Il y en a donc au moins un qui ne contient pas de point de $A$. Ainsi, $\R^{n}\backslash A$ est connexe par arcs $C^{\infty }$.
En remplaçant les arcs de cercle par des triangles isocèles, on voit que $\R^{n}\backslash A$ est connexe par lignes polygonales.
Bonne soirée.
F. Ch.
PS : si certains énoncés sont des classiques, n'hésite z surtout pas à me le dire.
Je vous invite à essayer de démontrer un nouveau critère d'irréductibilité : énoncé 26
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
J'ai donné deux preuves pour le 26. C'est à partir de combien que la question est résolue. En plus ce n'est pas un nouveau critère. On le trouve au cours d'une démo de Gilmer..
Ok, tu aurais un lien vers la démo, merci.
Citation :
Le 26 prendre P réductible de degré minimal.
Je n'appelle pas cela une preuve, sauf à la détailler d'avantage.
énoncé 36 :
Soit $P$ un polynôme de $\Z[X,Y]$ tel que $P(4,3)=P(2,6)=P(4,4)=P(2,1)=c$ et $P(1,3)=3+c$.
Montrer que pour tout $R,Q\in \Z[X]$ $P(X,Y)\neq R(X)+Q(Y)$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Bonjour,
énoncé 37 :
Si $F\subset \R^n$ fermée tel que $D$ est dense dans $\R^n$ et $F\cap D=\{\}$ alors $card(F) \leq card(\N)$.
Montrer que ce n'est vrai que pour $n=1$.
énoncé 38: (je le trouve joli)
Soit $f$ fonction de $\R^2$ dans $\R$ tel que $f(x,y)=f(y,x)$. Montrer qu'il existe une fonction $g$ tel que $f(x,y)=g(x+y,x\times y)$.
La démo que j'ai ne marche pas.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
énoncé 38 : (astucieux)
Montrer qu'il existe une fonction $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ tel que : $2\times f(\frac{x+3}{4})+\frac{x^2+3}{4}=f(x)$.
Bonjour,
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x-12}{7}$ ?
Cordialement,
Rescassol
Bonjour,
Bien joué, je n'avais pas anticipé ce genre de réponses.
énoncé 39 : (astucieux)
même énoncé que 38 mais avec $f(\frac{x^2+3}{4})+ f(\frac{x+3}{4})+\frac{x+7}{4}=f(x)$
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
énoncé 40 :
Déterminer toutes les fonctions de $[-1,1]$ dans $\R$ tel que pour tout $x,y\in [-1,1]$
$2f(\frac{x+y}{2})-(y+2)f(\frac{x}{2})=0$
Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Bonne nuit,
40: $x$ et $y$ sont à priori indépendants et la question porte sur $f$.
D'autre part $f(x)=-x$ n'est pas une solution du problème.
Cordialement,
Rescassol
@Rescassol. Je n'ai jamais dit que $f(x)=-x$. J'ai dit de poser $y=-x$ dans l'équation. On en déduit $f(x)$.
37: $F=[0,1]\times\{0,1\}$ et $D=\R^2\setminus F$
Bonne nuit,
40: Ok Joaopa.
$y=-x$ mène à $f(x)=\dfrac{f(0)}{1-x}$ et $x=0$ mène à $f(y)=f(0)(y+1)$, donc il ne reste que la fonction nulle, à moins qu'à cette heure tardive, je n'écrive n'importe quoi, ce qui est possible.
Cordialement,
Rescassol
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Rescassol.
Bonjour,
@Rescassol : Bravo j'ai la même réponse, l'indication de Joaopa rapproche du résultat, mais effectivement est insuffisante pour conclure.
En fait, tu as déterminé $f$ sur $[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$ pour la déterminer sur le reste il suffit de prendre y=1 et y=-1.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
> "Joaopa rapproche du résultat, mais effectivement est insuffisante pour conclure" 
énoncé 41 :
Trouver tous les points $x,y \in \Z$ tel que $x^2+y^2=2+2x^2y^2$
@Joaopa : pourrais tu expliciter d'avantage la solution à 26...
Citation
Joaopa
26-> Autre méthode: partager $2n+1$ $\pm 1$ en deux polynômes de degré $<n$ avec sommes des degrés $=n$.
J'avoue ne pas comprendre.
Pour tout $(u,v)\in\mathbb N^2$ npn nuls $2(1+uv)>u+v$
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Joaopa.
$(2x^{2}-1)(2y^{2}-1)=-3$, etc.
Dans $\Z|i]$ $x^2+y^2=2+2x^2y^2 \Longleftrightarrow (x+iy)(x-iy)=2(1+ixy)(1-ixy)$
@Chaurien : Bravo.
@Joaopa : Je ne vois pas comment tu peux, alors, arriver à conclure.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Ben en écrivant $(2x^{2}-1)(2y^{2}-1)=-3$, sachant que $3$ est premier, il n'est pas trop difficile de continuer. Sauf erreur, pas de solution dans $ \mathbb{Z}$. On peut chercher les solutions dans $ \mathbb{G} $ (entiers de Gauss).
36: $P_i(X)=\prod_{j=0}^{i-1} (X-i)$ est une base de $\Z[X]$
Tout le monde sait résoudre un système linéaire
Je n'ai pas précis é le degré du polynôme (il est donc quelconque).
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Ok je vois , mais il y a plus d'inconnu es que d'équation s.
De plus , il te reste à prouver que le système linéaire que tu as, n'a pas de solution totalement entière.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Il y a une erreur dans les données de l'énoncé 32.
Une solution: si f est continue de $\R^2$ dans $\R^2$ et si la droite $(D)$ coupe le segment $[f(A),f(B)]$ alors il existe $M\in\R^2$ tel que $f(M)\in(D)$.
Tu as raison j'ai changé l'énoncé en conséquence, de plus je ne connais pas le résultat que tu utilises.
Pour ce nouvel énoncé 32 il faut remplacer "droite (D)" par (parabole d'équation $x=y^2$) dans ma proposition de solution.
Mais dans le cas de la parabole il faut supposer de plus que $f(A)$ est à l'extérieur de la parabole et que $f(B)$ est à l'intérieur (ou l'inverse).
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jandri.
Peux tu énoncer clairement le résultat que tu utilises ?
Merci.
Dans le cas de la parabole d'équation $x=y^2$, $f(A)$ est à l'extérieur de la parabole et $f(B)$ à l'intérieur.
On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur [0,1] à la fonction continue définie par $h(t)=f_1((1-t)A+tB)-f_2((1-t)A+tB)^2$ (en posant $f=(f_1,f_2)$).
39: Sans astuce:
Soit $F=\{f\in\mathcal C([-1,1],\mathbb R) \mid \max\limits_{x\in [\frac 34,1]}|f(x)|\le \frac14 \max\limits_{x\in [-1,1]}|f(x)|\}$ est fermé (pour la norme infinie) de $\mathcal C([-1,1],\mathbb R)$. L'application $g: F\to \mathcal C([-1,1],\mathbb R)$, $f\mapsto f\left(\frac{x^2+3}4\right)+ f\left(\frac{x+3}4\right)+\frac{x+7}4$ est contractante. Application du point fixe.
PS: limits ne marche pas avec $\max$ sur le site ?
[Pourtant ... AD]
Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Il reste à prouver que $g(F) \subset F$.
De plus ce n'est pas évident que $g$ soit contractante.
Sinon ce que tu utilises relève bien de l'astuce.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Algèbre : 26,28,29,31,36
Analyse : 19,34,37,39
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©Emmanuel
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