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$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
ev
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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71: $n=2$, $K$ cercle unité. $f(x) = -x$.

e.v.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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@Cyrano et ev : bravo.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

énoncé 72 : moins difficile qu'il en a l'air
Soit $u_0 \in \R$ on note $u_{n+1}=u_n^2-2$.
Calculer le terme général de la suite $v_n=\prod \limits_{i\in [0,n]} u_i$.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
64: Pas compris: $P(X)=\frac1{n!}\prod_{j=0}^{n-1}(X-j)$ est de degré $n$. On a $n>\frac{2n-1}3$, $P(j)=0$ pour $j=0,\cdots,n-1$ et $P(n)=1$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bien joué
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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énoncé 73 :
On note $A_{n}=[0,n]\cup \N$, $\R_n[x]$ l'ensemble des polynômes réels de degrés au plus $n$, $B_{n}=\{P\in \R_n[x]\mid \forall a \in A_{n}, P(a)\in A_2\}$.
Montrer que pour tout $n>3$ dans $\N$, $\dim(Vect(B_n))>\frac{2(n+1)}{3}$.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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edit



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
73: $P_i(X)=\prod_{\substack{0\le j\le n\\j\ne i}}\frac{X-j}{i-j}$ ($0\le i\le n$) sont libres et bien à valeurs dans $A_2$. Donc $\mathrm{Vect}(B_n)\ge n+1$.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Joaopa.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bravo.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
affirmation péremptoire 1
affirmation péremptoire 2

Ta solution de l'exo 30 est correcte si on suppose que ton $a$ est solution de l'équation $x+1/x=u_0$. Dans ce cas, on retrouve bien les solutions de Rescassol et Cidrolin



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

oui.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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De plus effectivement après vérification approfondie tu as raison la solution de Cidrolin est correcte.

Donc désolé Cidrolin tu avais raison.

Merci, de m'avoir montré mes erreurs, si tu en trouves d'autres n'hésite pas.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Remarque corollaire de l'inégalité de Shah d'Ock-JLT :
Soit E un $\R$-e.v normé, soit $A$ un ensemble de cardinal $m$, avec les distances entre les points compris entre $[a,b]$, alors si on note $d=\dim(Vect(A))$ alors $$\frac{\ln(m)}{\ln(1+\frac{2b}{a})} \leq d$$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Pas de mal. Pas de haine. Comme dirait ev je n'ai pas le sang qui bout.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Content de le savoir.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

énoncé 74 : en attente.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour. Est ce qu'on peut énoncer un truc moins formelle? bon il y a de maths dedans mais camouflé...
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Ca va etre hors normes mais (simple):

Enonce: Une famille de coureurs (professionnelles!): Le père , la mère et leurs trois enfants participent à un jeu de course dont les lois sont:

Le terrain est fermé donc répetitif (il peut etre un cercle, un rectangle) disons à 2 km de longueur.


Chacun dans la famille doit maintenir une vitesse constante différentes de tous les autres tout le long du jeu.


On suppose que les vitesses sont tous rationels (quelconque).



Cette famille pour continuer à courir faudra que tout ses membres se saluent en meme temps au cours de la course (là ou c'est possible) sachant que la salutation ne se fait que si il y a au plus 50 cm entre deux de ces membres.

Une salutation durera jusqu'au moins on a une distance de séparation plus que $50$ cm.

Au départ tous sont en un meme point donc ils se saluent mais le probleme est que le père oublie beaucoup -en particulier apès la salutation du départ- donc si on est dans les conditions de salutation prochainnement et le père oublie (c'est guarantie sans son médicament) de saluer la mère les membres de la famille s'évanouissent.

La course ne se termine que sauf si tous ces membres s'evanouissent.

Demontrez que la famille continuira à courir infiniement si et seulement si le père a pris le medicament contre l' oublie a 100%.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

Merci, de l’intérêt que tu portes à ce post, mais j'avoue ne pas avoir compris ton problème.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Salut, il me semble clair, je pourrais écrire une version stricte mais si tu peux préciser où tu n'a pas compris ça serait mieux. Cordialement
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

De ce que j'ai compris la famille peut continuer à courir indéfiniment même dans la cas ou le père n'oublie pas ses médicaments, il suffit que chacun court sur une portion de terrain différente et distante de plus de 50 cm.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Rebonjour, ben c'est la le truc tu peux exhiber ce fait? De l' énoncé (les lois du jeu) sont importantes.


Merci a vous.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Je ne comprend pas la phrase "La course ne se termine que sauf si tous ces membres s'evanouissent. "
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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La course ne se termine c'est à dire les membres continuent à courir infiniement sauf si...
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonsoir, tout revient à: Comment vous demontrez que les conditions de salutations se réalisent des fois? (sous les hypothese du jeu).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour,

Contrexemple :


Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Les vitesses sont rationnelles (oublié de dire) et constantes. Si on permet qu'on y ait des vitesses irrationnelles ça sera un problème ouvert. Oulala.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonne journé à vous mais c'est quoi ça (ton arc en ciel).
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
La figure? Cordialement
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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On ne compte pas les salutations du départ (au départ ils sont tous proches) notre homme le père oublie dès la prochaine salutation sans médicament. Je pense que pas d'autre faultés.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bonjour.

L' Enoncé est maientenant complet. Les conditions sont importantes. Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Les traits de couleurs représentent les trajectoires de chacun des membres de la famille.

Je pense maintenant que tu as oublié de préciser qu'il se déplace sur le périmètre... c'est ça ?

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
C'est ça. Merci
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bonjour Vrai Énoncé. $k$ coureurs $(a_1,\cdots,a_k)$ sont sur le périmètre du terrain clos de $1$ km avec $\text{vitesse}(a_i)<\text{vitesse}(a_j)$ si et seulement si $i<j$. Ils partent du même point et chacun de vitesse rationnel constante différente des autres.
$1)$ Montrez qu'il y a une infinité de moments tels que tous ces coureurs sont dans une section quelconque (aussi petit que vous voulez) du terrain.
$2)$ Montrez qu'il y a une infinité de moments tels que tous ces coureurs sont dans une section quelconque (aussi petit que vous voulez) du terrain et tel que pour un coureur $a_i$ il y a précisement $a_1,\cdots,a_{k-1}$ courreurs derrière lui et $a_{i+1},\cdots a_k$ devant lui, (dans la dite section).



P.S Les vitesses peuvent etre négatifs (un coureur marchant en arrière)smiling bouncing smiley

Que dire si on a au moins une vitesse irrationnel. (Hors sujet...)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Bonjour,

énoncé 74

Bonne journée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Salut je voudrais noter une chose dans l'énoncé 60 de contrexemple:
Ne faut-il pas ajouter que la fonction est homogene de degré $1$ -lineaire- (pour qu'elle admette au moins une 'valeur propre')?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Salut,

Ce que j'ai appelé valeur propre de f, est un réel k, tel qu'il existe x non nul vérifiant, f(x)=kx.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Je donne un indice pour le 60 : cela marche même pour f juste continue, mais pas avec la même démonstration.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Et ceci existe pour n'importe tel $f$? Aussi si ${\mathbb{R}}^n$ est remplacé par un e.v de dimension finie? Cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Oui, on peut remplacer $\R^n$ par un e.v normé de dimension n.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
énoncé 75 :
Soit $K$ compact connexe, tel que l'intérieur de $K$ connexe et l'adhérence de l'intérieur vaut $K$. Existe-t-il un homéomorphise $f$, et un convexe $C$ tel que $f(C)=K$ ?
Utilisateur anonyme
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
Je ne pense pas dans la mesure où on considère $S^1$, le cercle, compacte et connexe. Il n'y a pas d'homéomorphisme avec un convexe car le groupe d'homotopie $\pi_1 (S^1) = \Z$ et il est nul pour un convexe. C'est cependant peut-être intéressant si tous les groupes d'homotopie sont nuls et l'espace est métrique de dimension de Hausdorff $n$ (?).



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Satan.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Il existe une preuve qui ne nécessite pas de faire appelle au groupe d'homotopie.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Mais bravo, l’étude du groupe fondamental donne une réponse rapide à la question.

énoncé 76 :
On suppose en plus que $K$ est simplement connexe.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Salut si il n' y a pas de probleme:
énoncé 77 (c'est 'trivial' si on sait faire le 74): Le terrain est de $1km$ -j'ai corrigé dans 74 pour simplifier- voici des vitesse de $8$ coureurs leurs vitesses est en $km/h$ : $(y_1 , 2.5), (y_2 ,3), (y_3 ,4), (y_4 ,4.3), (y_5 ,7.56), (y_6 ,9), (y_7 ,10.7),
(y_8 ,11)$ demontrer que $y_5$ sera solitaire a un certain moment. Lequel?


pour Solitaire voir Coureur S.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Salut,

Il n'y a pas de problème, tu peux poster tes énoncés ici, la seule condition c'est que tu en connaisses une réponse d'une dizaine de lignes au maximum, faisant appelle aux programmes de maîtrise (Licence et M1).

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par contrexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Oui, merci
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
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Bonjour, le 74 est assez simple (c'est pas au niveau) vous prenez les vitesses comme des fractions et pour un certain temps $t$ tous reviennent alignés comme au départ apres vous ajoutez un epsilon a ce $t$ et on obtient le résultat ceci reste-t-il vrai pour les vitesses irrationnels on ne sais pas.(il y a une autre preuve)

Mais le truc pour 77 est different ( astuce dedans la preuve de 74) sinon vous pouvez essayer des temps $t=. heures$..

En principe il n' y a pas de chose stricte et prévu donc on ne crois pas qu' avec une données de vitesse rationnel je peux en donner un temps pour lequel un d'eux est solitaire. Ce que j'ai fais c'est prendre les $8$ coureurs dans $77$ remplacer $(y_5, 7.56)$ par $(y_5, 7)$ et demontrer pour les nouveaux coureurs qu'ils sont dans une section de longueur disons $h$ a l'instant $t$ puis remarquer qu'un coureur $7.56 km/h$ sera solitaire a ce meme moment $t$. Juste je veux un $t$ pareil (peut etre different de ce que j'ai trouvé).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tonm.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a trois années
avatar
Buf. Je vois que mes choses sont males élaborés (le $t=90.05$ h). Si vous trouvriez autres $t$ sera mieux mais il n'y a pas du boulot. Merci
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