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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 18:06
97 : $f$ est concave croissante, de limite $\ell$ en $+\infty$. Soit $\epsilon >0$. Soit $k\in \N$ tel que $\ell-f(k)< \dfrac{\epsilon}{2}$. Pour tout $n\geq 2k$
$$0\leq n(f(n+1)-f(n))\leq n\,\frac{f(n+1)-f(k)}{n+1-k}<\epsilon\;.$$
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 18:14
avatar
énoncé 99 : spéciale dédicace à Blueberry
Soient $n\in \N,n>1$, $P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX^n$, $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$, on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i=1..n, P_i(f)=0$
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 18:18
avatar
@GaBuZoMeu : comment obtiens-tu ces inégalités ? (en particulier celle du milieu).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/10/2016 18:23 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 18:38
C'est une conséquence immédiate de la concavité. Je détaille si tu ne vois pas : le point du graphe $A=(n,f(n))$ est au-dessus de la corde $BC$ (où $B=(k,f(k))$ et $C=(n+1,f(n+1))$), et donc la pente de $AC$ est inférieure ou égale à celle de $BC$.
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 18:53
avatar
Bravo.

Je suppose que tu utilises ce résultat : [fr.wikipedia.org]

Si $f$ est convexe sur $I$ pour tous points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ avec $x_1 < x_2 < x_3$
${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$

Il faut inverser les inégalités pour concaves, tu utiliserais alors la 2 inégalité, avec $x_3=n+1,x_2=n,x_1=k$
Et cela marche bien...

Je t'invite à essayer de faire le 94.
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 19:20
@pourexemple dans l'énoncé 99, tu as dû oublier je pense de supposer que $Q(f)=0$.
Cela-dit, ça me dépasse, j'y réfléchirai mais à première vue je n'ai pas d'idée, on verra si qulelqu-un trouve !
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 19:24
avatar
non $Q(f)$ me permet juste de définir ce que je mets derrière cette notation.
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 19:36
Ah oui pardon, ok j'ai pigé.
Re: "il est facile de" la preuve :
28 octobre 2016, 21:12
avatar
énoncé 100 :
$f$ de $[0,1]$ dans $\R^+$ décroissante concave.
Montrer que $\forall a,b \in [0,1], \sqrt{f(a)f(b)} \leq f(\sqrt{ab})$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/10/2016 07:51 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 01:48
avatar
énoncé 101 : arithmétique
Soit $k,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$E(\frac{(n-1)^2}{n})+...+E(\frac{(n-1)^k}{n})=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E(\frac{k+1}{2})-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 12:47
avatar
énoncé 102 : surprenant
Soit $f$ surjective de $\R^n$ normé, dans lui même, avec $n>1$ et tel qu'il existe $g$ fonction de $\R^+$ dans lui même tel que :
$\forall x,y\in \R^n, ||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Montrer que $f$ est une isométrie composé avec une homothétie.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 02/11/2016 11:52 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 18:42
avatar
Si vous me le permettez j'en propose un le n°8128 grinning smiley:
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions périodiques telle que leurs dérivées énième ne s'annulent pas et telle que $f_0(0) = 0$ et $f_1(1)=0 $ trouver alors toutes les fonctions vérifiant : $$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kf_k(1)$$
S' il y a des coquilles faites le moi vite savoir.
Cordialement.



Modifié 7 fois. Dernière modification le 30/10/2016 13:01 par max8128.
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 19:34
avatar
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 19:35
avatar
Bonsoir,

@Max :

Il y a des conditions :
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.

Ton énoncé remplie-t-il ces conditions ?

Bonne soirée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 29/10/2016 19:41 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
29 octobre 2016, 19:37
avatar
@Siméon : Veux-tu dire que l'énoncé 100 est un classique (ce qui est possible) ou peut-être y-a-t-il une erreur de ma part ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/10/2016 19:38 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 07:53
avatar
Bonjour,

@Siméon : voilà qui est corrigé.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 10:32
avatar
énoncé 103 : au-delà de la convexité
Si $f\in C^2([0,1],\R_+^*)$ tel que $f'+id \times f''\leq 0$ alors $\forall a,b\in[0,1] , \sqrt{f(a)f(b)}\leq f(\sqrt{ab})$.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 30/10/2016 16:33 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 13:03
avatar
Bonjour, je trouve comme résultat partiel,

$$f_n(x)=(-1)^n(-)\frac{sin(\frac{3\pi}{2} n x)}{\frac{3\pi}{2} x}$$

Cordialement.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 30/10/2016 17:22 par max8128.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 14:41
avatar
J'en déduis que c'est un problème ouvert.

Il me semble que sur ce fil on y accepte les questions ouvertes : [www.les-mathematiques.net]
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 15:44
avatar
énoncé 103 : et si $f(1) > f(0)$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:08
avatar
C'est sûrement que ces conditions impliquent la décroissance, mais cela resterait à montrer...

Ce dont, il me semble avoir une preuve c'est pour l'énoncé 103.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:10
@pourexemple
Pour le 103 est-ce qu'il faut prouver que f est décroissante concave à partir de f'-f" négative ou nulle ?
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:13
avatar
@pourexemple : que penses-tu de $f = \exp$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:25
avatar
@étanche : la preuve qui me semble avoir, n'utilise pas le résultat 100.

@Siméon : oui le 103 est à revoir.

Ps : si f=exp serait un contre-exemple, cela demanderait plus de détaille.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 30/10/2016 16:28 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:34
avatar
C'était une erreur de calcul de ma part, bon là j'espère que c'est bon.
J'ai corrigé l'énoncé.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/10/2016 16:36 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:36
Pour le 103 on est tenté de poser f"-f'=g avec g positive ou nulle continue
On resoud l ' équation différentielle , ça donne f sous forme fonction
définie par intégrale utilisant g(x), exp(x),exp(-x).
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:41
avatar
@pourexemple : Il me semble que oui.

Cette condition entraine la concavité de $x \mapsto \log f(e^x)$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/10/2016 16:41 par Siméon.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 16:47
avatar
@étanche : désolé, il y avait une coquille dans mon énoncé que Simèon m'a fait remarquer, j'ai alors corrigé l'énoncé.

@Siméon : Bravo
Tu veux bien essayer de faire le 94
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 19:16
avatar
énoncé 94 : On peut voir $\mathfrak S_n$ comme sous-groupe de $GL_n(\Z/p\Z)$ en le faisant agit sur $(\Z/p\Z)^n$ par permutation des composantes. On en déduit que $n!$ divise $|GL_n(\Z/p\Z)| = p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n (p^k-1) $. Or $(n!)_p$ est premier avec $p$ et divise $n!$, donc il divise $\prod_{k=1}^n (p^k-1)$.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 octobre 2016, 19:27
avatar
Bravo, tu as trouvé dés la première tentative ?
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 01:24
Pour le 94, on peut aussi remarquer que $\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\mathbb N)\subset\mathbb Z)\}\subset\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\{p^n\mid n\in\mathbb N\})\subset\mathbb Z)\}$



Modifié 5 fois. Dernière modification le 31/10/2016 01:26 par Joaopa.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 07:28
avatar
Bonjour,

@Jaopa : je ne vois pas quel résultat permet de conclure à partir de ta remarque, ni pourquoi ta remarque serait vrai.

Bonne journée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 31/10/2016 10:51 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 07:55
avatar
énoncé 104 : un peu de calcul
On note $A$ l'ensemble des entiers de Cantor, c'est à dire les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet aucun chiffre 1. Calculer $\sum \limits_{a\in\{a\in A|a<3^{104} \}} a^3$.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 31/10/2016 07:59 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 17:05
avatar
énoncé 105 : des polynômes et des permutations
Soient $p$ un entier premier impair, $P\in (\Z/p\Z)[x]$ tel que $\text{deg}(P)<p$ et $P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}$
Montrer que si $a_{p-1}\neq 0$ alors la fonction polynôme associé à $P$ n'est pas une permutation de $\Z/p\Z$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/10/2016 17:24 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 17:19
Exemple pour 105 : $p=2$, $P=x$.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 octobre 2016, 17:26
avatar
oui, c'est corrigé.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 novembre 2016, 11:26
avatar
Bonjour,

énoncé 106 : analyse générale
Existe-t-il une fonction $f$ continue sur $[0,1]$ dans $\R$ et qui ne soit pas Holdérienne ?

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/11/2016 11:30 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 novembre 2016, 12:54
avatar
énoncé 107 : un classique revisité
La série suivante, converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(2)}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+1/2)}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+1/n)}{\ln(n+1)}$$



Modifié 5 fois. Dernière modification le 01/11/2016 14:01 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 novembre 2016, 16:28
avatar
énoncé 104 : $2^{101}(3^{104}-1)^3$
Edit : non, c'est un tout petit peu plus compliqué.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/11/2016 16:33 par Siméon.
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