Tu n'as pas fait autrement pour le 92 ? Car tu parlais du ''même truc" que le no 91. Si c'est le cas j'aimerais voir ce que tu as fait.
D'autre part avec ma solution je n'utilise pas l'hypothèse de continuité.
Dernière chose qui n'a rien à voir. Pourquoi ce fil est-il en rubrique Shtam ?
1/Ma solution est algébrique aussi (comme je l'ai indiqué dans mon classement)
2/je te l'envoie par MP si tu veux, en effet elle pourrait donner lieu à de nouveau énoncé.
3/Effectivement la preuve marche pour une fonction quelconque, je ne mets pas toujours, les énoncés optimaux car sinon cela donne des indices sur la piste à suivre.
4/Dans Shmat, car je prends plus grand soin pour que les énoncés proposés soient originaux (et donc c'est en quelques sortes de nouveaux résultats :-D)
énoncé 98 :
Soit $a_n$ terme général positif d'une série divergente, $(u_n)_n$ une suite de réels positifs strictement.
Montrer que si la série de terme général $a_n u_n$ converge alors la série de terme général $\frac{a_n}{u_n}$ diverge.
Enoncé 98 :
(temps de résolution 30 secondes)
La série $a_n (u_n + {1 \over u_n})$, minorée par la série divergente $2 a_n$, diverge. Comme la série $a_n u_n$ converge, la série ${a_n \over u_n}$ diverge.
97 : $f$ est concave croissante, de limite $\ell$ en $+\infty$. Soit $\epsilon >0$. Soit $k\in \N$ tel que $\ell-f(k)< \dfrac{\epsilon}{2}$. Pour tout $n\geq 2k$
$$0\leq n(f(n+1)-f(n))\leq n\,\frac{f(n+1)-f(k)}{n+1-k}<\epsilon\;.$$
énoncé 99 :spéciale dédicace à Blueberry
Soient $n\in \N,n>1$, $P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX^n$, $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$, on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i=1..n, P_i(f)=0$
C'est une conséquence immédiate de la concavité. Je détaille si tu ne vois pas : le point du graphe $A=(n,f(n))$ est au-dessus de la corde $BC$ (où $B=(k,f(k))$ et $C=(n+1,f(n+1))$), et donc la pente de $AC$ est inférieure ou égale à celle de $BC$.
Si $f$ est convexe sur $I$ pour tous points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ avec $x_1 < x_2 < x_3$
${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$
Il faut inverser les inégalités pour concaves, tu utiliserais alors la 2 inégalité, avec $x_3=n+1,x_2=n,x_1=k$
Et cela marche bien...
@pourexemple dans l'énoncé 99, tu as dû oublier je pense de supposer que $Q(f)=0$.
Cela-dit, ça me dépasse, j'y réfléchirai mais à première vue je n'ai pas d'idée, on verra si qulelqu-un trouve !
énoncé 101 :arithmétique
Soit $k,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$E(\frac{(n-1)^2}{n})+...+E(\frac{(n-1)^k}{n})=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E(\frac{k+1}{2})-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
énoncé 102 :surprenant
Soit $f$ surjective de $\R^n$ normé, dans lui même, avec $n>1$ et tel qu'il existe $g$ fonction de $\R^+$ dans lui même tel que :
$\forall x,y\in \R^n, ||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Montrer que $f$ est une isométrie composé avec une homothétie.
Si vous me le permettez j'en propose un le n°8128 :-D:
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions périodiques telle que leurs dérivées énième ne s'annulent pas et telle que $f_0(0) = 0$ et $f_1(1)=0 $ trouver alors toutes les fonctions vérifiant : $$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kf_k(1)$$
S' il y a des coquilles faites le moi vite savoir.
Cordialement.
Il y a des conditions :
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.
énoncé 103 :au-delà de la convexité
Si $f\in C^2([0,1],\R_+^*)$ tel que $f'+id \times f''\leq 0$ alors $\forall a,b\in[0,1] , \sqrt{f(a)f(b)}\leq f(\sqrt{ab})$.
Pour le 103 on est tenté de poser f"-f'=g avec g positive ou nulle continue
On resoud l ' équation différentielle , ça donne f sous forme fonction
définie par intégrale utilisant g(x), exp(x),exp(-x).
énoncé 94 : On peut voir $\mathfrak S_n$ comme sous-groupe de $GL_n(\Z/p\Z)$ en le faisant agit sur $(\Z/p\Z)^n$ par permutation des composantes. On en déduit que $n!$ divise $|GL_n(\Z/p\Z)| = p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n (p^k-1) $. Or $(n!)_p$ est premier avec $p$ et divise $n!$, donc il divise $\prod_{k=1}^n (p^k-1)$.
Pour le 94, on peut aussi remarquer que $\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\mathbb N)\subset\mathbb Z)\}\subset\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\{p^n\mid n\in\mathbb N\})\subset\mathbb Z)\}$
énoncé 104 :un peu de calcul
On note $A$ l'ensemble des entiers de Cantor, c'est à dire les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet aucun chiffre 1. Calculer $\sum \limits_{a\in\{a\in A|a<3^{104} \}} a^3$.
énoncé 105 :des polynômes et des permutations
Soient $p$ un entier premier impair, $P\in (\Z/p\Z)[x]$ tel que $\text{deg}(P)<p$ et $P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}$
Montrer que si $a_{p-1}\neq 0$ alors la fonction polynôme associé à $P$ n'est pas une permutation de $\Z/p\Z$.
104 : usage de la calculatrice recommandée (inutile de faire les calculs, donner l'algorithme (qui permettrait de faire le calcul en moins d'une dizaine de minutes avec un PC commun) suffit).
Réponses
D'autre part avec ma solution je n'utilise pas l'hypothèse de continuité.
Dernière chose qui n'a rien à voir. Pourquoi ce fil est-il en rubrique Shtam ?
2/je te l'envoie par MP si tu veux, en effet elle pourrait donner lieu à de nouveau énoncé.
3/Effectivement la preuve marche pour une fonction quelconque, je ne mets pas toujours, les énoncés optimaux car sinon cela donne des indices sur la piste à suivre.
4/Dans Shmat, car je prends plus grand soin pour que les énoncés proposés soient originaux (et donc c'est en quelques sortes de nouveaux résultats :-D)
Pour Shtam, je voyais ça comme un sous-forum pour quelques délires mathématiques, alors que tes énoncés sont sérieux (et intéressants).
Soit $a_n$ terme général positif d'une série divergente, $(u_n)_n$ une suite de réels positifs strictement.
Montrer que si la série de terme général $a_n u_n$ converge alors la série de terme général $\frac{a_n}{u_n}$ diverge.
Enoncé 98 :
(temps de résolution 30 secondes)
La série $a_n (u_n + {1 \over u_n})$, minorée par la série divergente $2 a_n$, diverge. Comme la série $a_n u_n$ converge, la série ${a_n \over u_n}$ diverge.
$$0\leq n(f(n+1)-f(n))\leq n\,\frac{f(n+1)-f(k)}{n+1-k}<\epsilon\;.$$
Soient $n\in \N,n>1$, $P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX^n$, $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$, on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i=1..n, P_i(f)=0$
Je suppose que tu utilises ce résultat : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_convexe#G.C3.A9om.C3.A9trie_du_graphe_d.27une_fonction_convexe
Si $f$ est convexe sur $I$ pour tous points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ avec $x_1 < x_2 < x_3$
${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$
Il faut inverser les inégalités pour concaves, tu utiliserais alors la 2 inégalité, avec $x_3=n+1,x_2=n,x_1=k$
Et cela marche bien...
Je t'invite à essayer de faire le 94.
Cela-dit, ça me dépasse, j'y réfléchirai mais à première vue je n'ai pas d'idée, on verra si qulelqu-un trouve !
$f$ de $[0,1]$ dans $\R^+$ décroissante concave.
Montrer que $\forall a,b \in [0,1], \sqrt{f(a)f(b)} \leq f(\sqrt{ab})$.
Soit $k,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$E(\frac{(n-1)^2}{n})+...+E(\frac{(n-1)^k}{n})=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E(\frac{k+1}{2})-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
Soit $f$ surjective de $\R^n$ normé, dans lui même, avec $n>1$ et tel qu'il existe $g$ fonction de $\R^+$ dans lui même tel que :
$\forall x,y\in \R^n, ||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Montrer que $f$ est une isométrie composé avec une homothétie.
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions périodiques telle que leurs dérivées énième ne s'annulent pas et telle que $f_0(0) = 0$ et $f_1(1)=0 $ trouver alors toutes les fonctions vérifiant : $$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kf_k(1)$$
S' il y a des coquilles faites le moi vite savoir.
Cordialement.
@Max :
Il y a des conditions :
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.
Ton énoncé remplie-t-il ces conditions ?
Bonne soirée.
@Siméon : voilà qui est corrigé.
Bonne journée.
Si $f\in C^2([0,1],\R_+^*)$ tel que $f'+id \times f''\leq 0$ alors $\forall a,b\in[0,1] , \sqrt{f(a)f(b)}\leq f(\sqrt{ab})$.
$$f_n(x)=(-1)^n(-)\frac{sin(\frac{3\pi}{2} n x)}{\frac{3\pi}{2} x}$$
Cordialement.
Il me semble que sur ce fil on y accepte les questions ouvertes : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195
Ce dont, il me semble avoir une preuve c'est pour l'énoncé 103.
Pour le 103 est-ce qu'il faut prouver que f est décroissante concave à partir de f'-f" négative ou nulle ?
@Siméon : oui le 103 est à revoir.
Ps : si f=exp serait un contre-exemple, cela demanderait plus de détaille.
J'ai corrigé l'énoncé.
On resoud l ' équation différentielle , ça donne f sous forme fonction
définie par intégrale utilisant g(x), exp(x),exp(-x).
Cette condition entraine la concavité de $x \mapsto \log f(e^x)$.
@Siméon : Bravo
Tu veux bien essayer de faire le 94
@Jaopa : je ne vois pas quel résultat permet de conclure à partir de ta remarque, ni pourquoi ta remarque serait vrai.
Bonne journée.
On note $A$ l'ensemble des entiers de Cantor, c'est à dire les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet aucun chiffre 1. Calculer $\sum \limits_{a\in\{a\in A|a<3^{104} \}} a^3$.
Soient $p$ un entier premier impair, $P\in (\Z/p\Z)[x]$ tel que $\text{deg}(P)<p$ et $P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}$
Montrer que si $a_{p-1}\neq 0$ alors la fonction polynôme associé à $P$ n'est pas une permutation de $\Z/p\Z$.
énoncé 106 : analyse générale
Existe-t-il une fonction $f$ continue sur $[0,1]$ dans $\R$ et qui ne soit pas Holdérienne ?
Bonne journée.
La série suivante, converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(2)}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+1/2)}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+1/n)}{\ln(n+1)}$$
[size=large]-95 : amusant
-100 : convexité multiplicative
-96 : généralisation du discriminant
-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-101 : calcul avec la partie entière
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-107 : un classique revisité
-105 : polynômes et permutations
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-102 : résultat général surprenant sur les isométries (je n'en ai pas de démonstration).
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-104 : calcul autour des entiers de Cantor
-89 : EDP non linéaire[/size]
Edit : non, c'est un tout petit peu plus compliqué.