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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 97 : un résultat général
Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $n(f(n)-f(n+1))$ converge.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@BlueBerry : Bravo.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Tu n'as pas fait autrement pour le 92 ? Car tu parlais du ''même truc" que le no 91. Si c'est le cas j'aimerais voir ce que tu as fait.
D'autre part avec ma solution je n'utilise pas l'hypothèse de continuité.

Dernière chose qui n'a rien à voir. Pourquoi ce fil est-il en rubrique Shtam ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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1/Ma solution est algébrique aussi (comme je l'ai indiqué dans mon classement)
2/je te l'envoie par MP si tu veux, en effet elle pourrait donner lieu à de nouveau énoncé.
3/Effectivement la preuve marche pour une fonction quelconque, je ne mets pas toujours, les énoncés optimaux car sinon cela donne des indices sur la piste à suivre.
4/Dans Shmat, car je prends plus grand soin pour que les énoncés proposés soient originaux (et donc c'est en quelques sortes de nouveaux résultats grinning smiley)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Ok alors garde la solution à laquelle tu as pensée en réserve, ça évitera que j'ai déjà presque la réponse si je recherche un autre de tes énoncés.

Pour Shtam, je voyais ça comme un sous-forum pour quelques délires mathématiques, alors que tes énoncés sont sérieux (et intéressants).
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 98 :
Soit $a_n$ terme général positif d'une série divergente, $(u_n)_n$ une suite de réels positifs strictement.
Montrer que si la série de terme général $a_n u_n$ converge alors la série de terme général $\frac{a_n}{u_n}$ diverge.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

Enoncé 98 :
(temps de résolution 30 secondes)
La série $a_n (u_n + {1 \over u_n})$, minorée par la série divergente $2 a_n$, diverge. Comme la série $a_n u_n$ converge, la série ${a_n \over u_n}$ diverge.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bravo.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Yves essaie le 97, je pense qu'il te faudrait plus de 30 secondes, mais après je peux me tromper et me trompe souvent.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Sinon il y a d'autre équations fonctionnelles disponibles 65,66
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
97 : $f$ est concave croissante, de limite $\ell$ en $+\infty$. Soit $\epsilon >0$. Soit $k\in \N$ tel que $\ell-f(k)< \dfrac{\epsilon}{2}$. Pour tout $n\geq 2k$
$$0\leq n(f(n+1)-f(n))\leq n\,\frac{f(n+1)-f(k)}{n+1-k}<\epsilon\;.$$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 99 : spéciale dédicace à Blueberry
Soient $n\in \N,n>1$, $P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX^n$, $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$, on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i=1..n, P_i(f)=0$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@GaBuZoMeu : comment obtiens-tu ces inégalités ? (en particulier celle du milieu).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
C'est une conséquence immédiate de la concavité. Je détaille si tu ne vois pas : le point du graphe $A=(n,f(n))$ est au-dessus de la corde $BC$ (où $B=(k,f(k))$ et $C=(n+1,f(n+1))$), et donc la pente de $AC$ est inférieure ou égale à celle de $BC$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bravo.

Je suppose que tu utilises ce résultat : [fr.wikipedia.org]

Si $f$ est convexe sur $I$ pour tous points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ avec $x_1 < x_2 < x_3$
${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$

Il faut inverser les inégalités pour concaves, tu utiliserais alors la 2 inégalité, avec $x_3=n+1,x_2=n,x_1=k$
Et cela marche bien...

Je t'invite à essayer de faire le 94.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
@pourexemple dans l'énoncé 99, tu as dû oublier je pense de supposer que $Q(f)=0$.
Cela-dit, ça me dépasse, j'y réfléchirai mais à première vue je n'ai pas d'idée, on verra si qulelqu-un trouve !
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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non $Q(f)$ me permet juste de définir ce que je mets derrière cette notation.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Ah oui pardon, ok j'ai pigé.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 100 :
$f$ de $[0,1]$ dans $\R^+$ décroissante concave.
Montrer que $\forall a,b \in [0,1], \sqrt{f(a)f(b)} \leq f(\sqrt{ab})$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 101 : arithmétique
Soit $k,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$E(\frac{(n-1)^2}{n})+...+E(\frac{(n-1)^k}{n})=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E(\frac{k+1}{2})-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 102 : surprenant
Soit $f$ surjective de $\R^n$ normé, dans lui même, avec $n>1$ et tel qu'il existe $g$ fonction de $\R^+$ dans lui même tel que :
$\forall x,y\in \R^n, ||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Montrer que $f$ est une isométrie composé avec une homothétie.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Si vous me le permettez j'en propose un le n°8128 grinning smiley:
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions périodiques telle que leurs dérivées énième ne s'annulent pas et telle que $f_0(0) = 0$ et $f_1(1)=0 $ trouver alors toutes les fonctions vérifiant : $$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kf_k(1)$$
S' il y a des coquilles faites le moi vite savoir.
Cordialement.



Edité 7 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par max8128.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonsoir,

@Max :

Il y a des conditions :
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.

Ton énoncé remplie-t-il ces conditions ?

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Siméon : Veux-tu dire que l'énoncé 100 est un classique (ce qui est possible) ou peut-être y-a-t-il une erreur de ma part ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

@Siméon : voilà qui est corrigé.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 103 : au-delà de la convexité
Si $f\in C^2([0,1],\R_+^*)$ tel que $f'+id \times f''\leq 0$ alors $\forall a,b\in[0,1] , \sqrt{f(a)f(b)}\leq f(\sqrt{ab})$.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour, je trouve comme résultat partiel,

$$f_n(x)=(-1)^n(-)\frac{sin(\frac{3\pi}{2} n x)}{\frac{3\pi}{2} x}$$

Cordialement.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par max8128.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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J'en déduis que c'est un problème ouvert.

Il me semble que sur ce fil on y accepte les questions ouvertes : [www.les-mathematiques.net]
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 103 : et si $f(1) > f(0)$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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C'est sûrement que ces conditions impliquent la décroissance, mais cela resterait à montrer...

Ce dont, il me semble avoir une preuve c'est pour l'énoncé 103.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
@pourexemple
Pour le 103 est-ce qu'il faut prouver que f est décroissante concave à partir de f'-f" négative ou nulle ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@pourexemple : que penses-tu de $f = \exp$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@étanche : la preuve qui me semble avoir, n'utilise pas le résultat 100.

@Siméon : oui le 103 est à revoir.

Ps : si f=exp serait un contre-exemple, cela demanderait plus de détaille.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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C'était une erreur de calcul de ma part, bon là j'espère que c'est bon.
J'ai corrigé l'énoncé.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Pour le 103 on est tenté de poser f"-f'=g avec g positive ou nulle continue
On resoud l ' équation différentielle , ça donne f sous forme fonction
définie par intégrale utilisant g(x), exp(x),exp(-x).
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@pourexemple : Il me semble que oui.

Cette condition entraine la concavité de $x \mapsto \log f(e^x)$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Siméon.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@étanche : désolé, il y avait une coquille dans mon énoncé que Simèon m'a fait remarquer, j'ai alors corrigé l'énoncé.

@Siméon : Bravo
Tu veux bien essayer de faire le 94
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 94 : On peut voir $\mathfrak S_n$ comme sous-groupe de $GL_n(\Z/p\Z)$ en le faisant agit sur $(\Z/p\Z)^n$ par permutation des composantes. On en déduit que $n!$ divise $|GL_n(\Z/p\Z)| = p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n (p^k-1) $. Or $(n!)_p$ est premier avec $p$ et divise $n!$, donc il divise $\prod_{k=1}^n (p^k-1)$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bravo, tu as trouvé dés la première tentative ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Pour le 94, on peut aussi remarquer que $\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\mathbb N)\subset\mathbb Z)\}\subset\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\{p^n\mid n\in\mathbb N\})\subset\mathbb Z)\}$



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Joaopa.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

@Jaopa : je ne vois pas quel résultat permet de conclure à partir de ta remarque, ni pourquoi ta remarque serait vrai.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 104 : un peu de calcul
On note $A$ l'ensemble des entiers de Cantor, c'est à dire les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet aucun chiffre 1. Calculer $\sum \limits_{a\in\{a\in A|a<3^{104} \}} a^3$.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 105 : des polynômes et des permutations
Soient $p$ un entier premier impair, $P\in (\Z/p\Z)[x]$ tel que $\text{deg}(P)<p$ et $P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}$
Montrer que si $a_{p-1}\neq 0$ alors la fonction polynôme associé à $P$ n'est pas une permutation de $\Z/p\Z$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Exemple pour 105 : $p=2$, $P=x$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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oui, c'est corrigé.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

énoncé 106 : analyse générale
Existe-t-il une fonction $f$ continue sur $[0,1]$ dans $\R$ et qui ne soit pas Holdérienne ?

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 107 : un classique revisité
La série suivante, converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(2)}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+1/2)}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+1/n)}{\ln(n+1)}$$



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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énoncé 104 : $2^{101}(3^{104}-1)^3$
Edit : non, c'est un tout petit peu plus compliqué.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Siméon.
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