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"il est facile de" la preuve :
énoncé 97 : un résultat général
Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $n(f(n)-f(n+1))$ converge.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@BlueBerry : Bravo.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Tu n'as pas fait autrement pour le 92 ? Car tu parlais du ''même truc" que le no 91. Si c'est le cas j'aimerais voir ce que tu as fait.
D'autre part avec ma solution je n'utilise pas l'hypothèse de continuité.
Dernière chose qui n'a rien à voir. Pourquoi ce fil est-il en rubrique Shtam ?
1/Ma solution est algébrique aussi (comme je l'ai indiqué dans mon classement)
2/je te l'envoie par MP si tu veux, en effet elle pourrait donner lieu à de nouveau énoncé.
3/Effectivement la preuve marche pour une fonction quelconque, je ne mets pas toujours, les énoncés optimaux car sinon cela donne des indices sur la piste à suivre.
4/Dans Shmat, car je prends plus grand soin pour que les énoncés proposés soient originaux (et donc c'est en quelques sortes de nouveaux résultats  )
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Ok alors garde la solution à laquelle tu as pensée en réserve, ça évitera que j'ai déjà presque la réponse si je recherche un autre de tes énoncés.
Pour Shtam, je voyais ça comme un sous-forum pour quelques délires mathématiques, alors que tes énoncés sont sérieux (et intéressants).
énoncé 98 :
Soit $a_n$ terme général positif d'une série divergente, $(u_n)_n$ une suite de réels positifs strictement.
Montrer que si la série de terme général $a_n u_n$ converge alors la série de terme général $\frac{a_n}{u_n}$ diverge.
Bonjour,
Enoncé 98 :
(temps de résolution 30 secondes)
La série $a_n (u_n + {1 \over u_n})$, minorée par la série divergente $2 a_n$, diverge. Comme la série $a_n u_n$ converge, la série ${a_n \over u_n}$ diverge.
@Yves essaie le 97, je pense qu'il te faudrait plus de 30 secondes, mais après je peux me tromper et me trompe souvent.
Sinon il y a d'autre équations fonctionnelles disponibles 65,66
97 : $f$ est concave croissante, de limite $\ell$ en $+\infty$. Soit $\epsilon >0$. Soit $k\in \N$ tel que $\ell-f(k)< \dfrac{\epsilon}{2}$. Pour tout $n\geq 2k$
$$0\leq n(f(n+1)-f(n))\leq n\,\frac{f(n+1)-f(k)}{n+1-k}<\epsilon\;.$$
énoncé 99 : spéciale dédicace à Blueberry
Soient $n\in \N,n>1$, $P_1,...,P_n$ polynômes complexes.
Si $Q(x)=a_0+...+a_nX^n$, $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$, on note $Q(f)$ la fonction : $Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ tel que :
$\forall i=1..n, P_i(f)=0$
@GaBuZoMeu : comment obtiens-tu ces inégalités ? (en particulier celle du milieu).
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
C'est une conséquence immédiate de la concavité. Je détaille si tu ne vois pas : le point du graphe $A=(n,f(n))$ est au-dessus de la corde $BC$ (où $B=(k,f(k))$ et $C=(n+1,f(n+1))$), et donc la pente de $AC$ est inférieure ou égale à celle de $BC$.
Bravo.
Je suppose que tu utilises ce résultat : [ fr.wikipedia.org]
Si $f$ est convexe sur $I$ pour tous points $x_1, x_2, x_3$ de $I$ avec $x_1 < x_2 < x_3$
${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}}\leq {\frac {f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}}$
Il faut inverser les inégalités pour concaves, tu utiliserais alors la 2 inégalité, avec $x_3=n+1,x_2=n,x_1=k$
Et cela marche bien...
Je t'invite à essayer de faire le 94.
@pourexemple dans l'énoncé 99, tu as dû oublier je pense de supposer que $Q(f)=0$.
Cela-dit, ça me dépasse, j'y réfléchirai mais à première vue je n'ai pas d'idée, on verra si qulelqu-un trouve !
non $Q(f)$ me permet juste de définir ce que je mets derrière cette notation.
Ah oui pardon, ok j'ai pigé.
énoncé 100 :
$f$ de $[0,1]$ dans $\R^+$ décroissante concave.
Montrer que $\forall a,b \in [0,1], \sqrt{f(a)f(b)} \leq f(\sqrt{ab})$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 101 : arithmétique
Soit $k,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$E(\frac{(n-1)^2}{n})+...+E(\frac{(n-1)^k}{n})=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E(\frac{k+1}{2})-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
énoncé 102 : surprenant
Soit $f$ surjective de $\R^n$ normé, dans lui même, avec $n>1$ et tel qu'il existe $g$ fonction de $\R^+$ dans lui même tel que :
$\forall x,y\in \R^n, ||f(x)-f(y)||=g(||x-y||)$.
Montrer que $f$ est une isométrie composé avec une homothétie.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Si vous me le permettez j'en propose un le n°8128 :
Soit $f_n(x)$ une suite de fonctions périodiques telle que leurs dérivées énième ne s'annulent pas et telle que $f_0(0) = 0$ et $f_1(1)=0 $ trouver alors toutes les fonctions vérifiant : $$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kf_k(1)$$
S' il y a des coquilles faites le moi vite savoir.
Cordialement.
Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par max8128.
Bonsoir,
@Max :
Il y a des conditions :
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.
Ton énoncé remplie-t-il ces conditions ?
Bonne soirée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@Siméon : Veux-tu dire que l'énoncé 100 est un classique (ce qui est possible) ou peut-être y-a-t-il une erreur de ma part ?
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Bonjour,
@Siméon : voilà qui est corrigé.
Bonne journée.
énoncé 103 : au-delà de la convexité
Si $f\in C^2([0,1],\R_+^*)$ tel que $f'+id \times f''\leq 0$ alors $\forall a,b\in[0,1] , \sqrt{f(a)f(b)}\leq f(\sqrt{ab})$.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Bonjour, je trouve comme résultat partiel,
$$f_n(x)=(-1)^n(-)\frac{sin(\frac{3\pi}{2} n x)}{\frac{3\pi}{2} x}$$
Cordialement.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par max8128.
J'en déduis que c'est un problème ouvert.
Il me semble que sur ce fil on y accepte les questions ouvertes : [ www.les-mathematiques.net]
C'est sûrement que ces conditions impliquent la décroissance, mais cela resterait à montrer...
Ce dont, il me semble avoir une preuve c'est pour l'énoncé 103.
@pourexemple
Pour le 103 est-ce qu'il faut prouver que f est décroissante concave à partir de f'-f" négative ou nulle ?
@pourexemple : que penses-tu de $f = \exp$ ?
@étanche : la preuve qui me semble avoir, n'utilise pas le résultat 100.
@Siméon : oui le 103 est à revoir.
Ps : si f=exp serait un contre-exemple, cela demanderait plus de détaille.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
C'était une erreur de calcul de ma part, bon là j'espère que c'est bon.
J'ai corrigé l'énoncé.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Pour le 103 on est tenté de poser f"-f'=g avec g positive ou nulle continue
On resoud l ' équation différentielle , ça donne f sous forme fonction
définie par intégrale utilisant g(x), exp(x),exp(-x).
@pourexemple : Il me semble que oui.
Cette condition entraine la concavité de $x \mapsto \log f(e^x)$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Siméon.
@étanche : désolé, il y avait une coquille dans mon énoncé que Simèon m'a fait remarquer, j'ai alors corrigé l'énoncé.
@Siméon : Bravo
Tu veux bien essayer de faire le 94
énoncé 94 : On peut voir $\mathfrak S_n$ comme sous-groupe de $GL_n(\Z/p\Z)$ en le faisant agit sur $(\Z/p\Z)^n$ par permutation des composantes. On en déduit que $n!$ divise $|GL_n(\Z/p\Z)| = p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n (p^k-1) $. Or $(n!)_p$ est premier avec $p$ et divise $n!$, donc il divise $\prod_{k=1}^n (p^k-1)$.
Bravo, tu as trouvé dés la première tentative ?
Pour le 94, on peut aussi remarquer que $\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\mathbb N)\subset\mathbb Z)\}\subset\{P\in\mathbb Q[X]\mid P(\{p^n\mid n\in\mathbb N\})\subset\mathbb Z)\}$
Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Joaopa.
Bonjour,
@Jaopa : je ne vois pas quel résultat permet de conclure à partir de ta remarque, ni pourquoi ta remarque serait vrai.
Bonne journée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 104 : un peu de calcul
On note $A$ l'ensemble des entiers de Cantor, c'est à dire les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet aucun chiffre 1. Calculer $\sum \limits_{a\in\{a\in A|a<3^{104} \}} a^3$.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 105 : des polynômes et des permutations
Soient $p$ un entier premier impair, $P\in (\Z/p\Z)[x]$ tel que $\text{deg}(P)<p$ et $P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}$
Montrer que si $a_{p-1}\neq 0$ alors la fonction polynôme associé à $P$ n'est pas une permutation de $\Z/p\Z$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Exemple pour 105 : $p=2$, $P=x$.
Bonjour,
énoncé 106 : analyse générale
Existe-t-il une fonction $f$ continue sur $[0,1]$ dans $\R$ et qui ne soit pas Holdérienne ?
Bonne journée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 107 : un classique revisité
La série suivante, converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(2)}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+1/2)}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+1/n)}{\ln(n+1)}$$
Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 104 : $2^{101}(3^{104}-1)^3$
Edit : non, c'est un tout petit peu plus compliqué.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Siméon.
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©Emmanuel
Vieillard Baron 01-01-2001
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