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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
13 dcembre 2016, 17:23
Enoncé 119

Bonjour,

dans son MP, pourexemple propose plus que l'énoncé 119, à savoir son "étrange" théorème que j'encadre après avoir défini deux notations:

Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$ et pour tout $x \in \mathbb {Z}_ m$, $x_m:= \inf \{k \in \mathbb {N}; k \in x\}$.
Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$ et pour tout $X\subseteq \mathbb {Z}_ m$, $X_m:=\{x_m;x\in X\}$.

Citation

Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$, pour tout sous-groupe $H$ de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et pour tout $a\in H_m$, $\,\,\,\displaystyle {(a-1) \sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$

Démonstration:

Soient $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$, $H$ un sous-groupe de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et $a\in H_m$. Alors,

1) $a$ et $m$ sont étrangers.

2)pour tout $h\in H_m$,
2.1) $\displaystyle{0\leq \lfloor \frac {ah}{m} \rfloor <a}$ (car $h<m$);
2.2) $\displaystyle{ah-(ah)_m=m\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor} $ (division euclidienne);
2.3)$\displaystyle{\frac {-(ah)_m}{m}\equiv\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor \mod a}$ (à cause de 2.2) et 1));
2.4)$\displaystyle{(\frac {-(ah)_m}{m})_a=\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor}$ (à cause de 2.3) et 2.1));
2.5)$\displaystyle{ah-(ah)_m=m(\frac {-(ah)_m}{m})_a}$ (à cause de 2.2) et 2.4)).

3)$\displaystyle{\{(ah)_m;h\in H_m\}=H_m}$ (car $H$ est un sous-groupe de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et $a\in H_m$).

4)$\displaystyle { \sum_{h \in H_m} {ah}-\sum_{h \in H_m} {(ah)_m}=m\sum_{h \in H_m} {(\frac {-(ah)_m}{m})_a} }$ (à cause de 2.5)
5)$\displaystyle { \sum_{h \in H_m} {ah}-\sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$ (à cause de 3) et 4)),

d'où, enfin,

$\displaystyle {(a-1) \sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$

Cordialement
Paul
Re: "il est facile de" la preuve :
13 dcembre 2016, 17:36
avatar
Bravo.

@Depasse : Même si le résultat que tu donnes est plus fort que celui que j'ai présenté, tu conviendras avec moi, que le plus surprenant des 2 énoncés (et le plus difficile à démontrer) est la forme que j'ai proposée.

Généralement un illusionniste n'aime pas que l'on explique ces tours, la question est : suis-je un illusionniste ?

Je ne répondrais pas à cette question, mais ce qui est sûr c'est que ce forum en compte au moins un.

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/12/2016 17:42 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 15:17
[www.les-mathematiques.net]

La fonction $x \in [-1, 0] \rightarrow e^{x} + x$ vaut $e^{-1} - 1 < 0$ en $-1$ et $1 > 0$ en $0$.
Soit(par convergence uniforme.). $n_{0} \ge 0$ tel que $\forall n \ge n_{0}, ||P_{n} - exp||_{\infty, [-1, 1]} < \frac{1 - e^{-1}}{2}$.
Alors soit $n \ge n_{0}$, alors $P_{n}(-1) + 1 = P_{n}(-1) - e^{-1} + e^{-1} - 1 < \frac{e^{-1} - 1}{2} < 0$.
Et $P_{n}(0) + 0 = 1 > 0$. Donc $P_{n} - Id$ s'annule sur $[-1, 0]$.
Donc $\forall n \ge n_{0}, \exists x \in [-1, 1] | P_{n}(x) = - x$.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 15:51
avatar
Bonjour,

@Algébre : Bravo.

En fait ce résultat qui ne paie de mine, permet de penser (et on le prouve facilement avec Brower) que l'ensemble des fonctions sur $K$ compact de $\R^n$ avec point fixe, munit de la topologie uniforme est non seulement fermée, et surtout d'intérieure non vide, ici la fonction $-\exp$ est à l'intérieur de cette ensemble.

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/12/2016 15:52 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 16:20
avatar
Bonjour , énoncé 141
Trouver un contre-exemple à l'inégalité ci dessous respectant les contraintes suivantes :
Soient a,b,c,d des réèls non nuls positifs vérifiant :
$ab\leq cd$,$\frac{a}{b}\leq\frac{c}{d}$ et $a+b\leq c+d$
Avec:$a\geq1$ $b\geq1$ $c\geq1$ et $d\geq1$

$$\sqrt[abcd]{\frac{a^a+b^b}{c^c+d^d}}\geq \frac{a+b}{c+d}-\frac{1}{abcd}$$
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 16:48
avatar
@Max connais-tu la cryptographie ?

Je te donne un exemple en espérant que tu comprennes ce que je veux te dire :

Je prends par exemple : On considère les fonctions polynômes
$$F_i(X)=(X+i)^{\frac{p-1}{2}},i=0...\frac{p-1}{2}$$

Prenons le nombre premier $p=2^{607}-1$, le nombre $q=123456789101112$, l'ensemble $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.

On pose $E'=\{i|\text{signe}(i) \mod p=F_{|i|}(q) \mod p \text{ et } |i| \in E\}$.

Et on poserait la question : Trouver $q$ tel que $E'=\{i|\text{signe}(i) \mod p=F_{|i|}(q) \mod p \text{ et } |i| \in E\}$ ?

Question : Crois-tu que cette question soit honnête, soit belle ou bien soit bonne ?

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/12/2016 16:56 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 16:50
[www.les-mathematiques.net]

OK merci. Je ici Brouwer est un gros résultat quand même.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 17:03
avatar
@Algèbre si tu sais prouver qu'une application lipschitzienne de $\K$ compact [édit1]convexe[/édit1] de $\R^n$ dans lui même, admet forcément un point fixe, alors je pense que je peux t'indiquer comment prouver facilement [édit2][édit3]la théorème de point fixe de [/édit3]Brouwer[/édit2].

PS : je ne sais pas répondre à cette question (avec les fonctions lipschitziennes)



Modifié 3 fois. Dernière modification le 17/12/2016 16:56 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 18:19
Hum je pourrais t'intiquer dans le cas $n = 1$.

Après je ne sais pas. Rajoute se problème dans la liste.
En effet la preuve du theorème de Brouwer est assez longue donc je ne pense pas que c'est trivial.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 18:26
avatar
Citation Algèbre :
Rajoute se problème dans la liste.

Seuls les énoncés dont l'auteur pense avoir une réponse de moins d'une dizaine de ligne (en utilisant, au maximum, le niveau M1 voir en re-utilisant un résultat déjà prouvé sur ce fil) ont leur place ici.

PS : pour n=1, tu y utilises l'hypothèse lipschitzienne ou seul la continuité te suffit ?

Bonne soirée.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 19:46
L'hypothèse M lipschitzienne est fausse regarde $x \rightarrow x + 3$.

De plus le résultat que j'ai démontré utilise des outils niveau L2.

Enfin cela marche si elle est lipschitzienne de rapport $k < 1$(c'est le theorème de Picard.). où alors
si elle est de la forme $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ sur un compact. Elle a dans ce cas un point fixe.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 19:53
avatar
énoncé 142 : surprenant ? merci à Max
Soit $P$ un polynôme réel tel que la fonction $x\rightarrow P(x)-2x$ soit monotone [édit1]croissante[/édit1] sur $\R$.
$P$ admet-elle un point fixe sur $\R$ ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/12/2016 20:08 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
15 dcembre 2016, 20:07
avatar
@Algèbre : il faut aussi la condition $f (K)\subset K$ avec $K$ convexe compact.

Bonne soirée.
Re: "il est facile de" la preuve :
16 dcembre 2016, 19:18
avatar
Pour le 106 :

Il suffit de prendre la fonction $$f:x\mapsto \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}x^{1/k}$$
Elle est continue car la série converge uniformément et n'est pas $\alpha$-hölderienne car $x^{1/k}$ ne l'est pas quand $1/k<\alpha$.

Au départ je pensais que l'escalier de Cantor conviendrait, mais c'est $\ln(2)/\ln(3)$-hölderien comme fonction...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/12/2016 22:21 par mojojojo.
Re: "il est facile de" la preuve :
16 dcembre 2016, 20:56
avatar
Bonsoir,

Pour quelle raison cette fonction n'est pas hölderienne ?

Bonne soirée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/12/2016 20:56 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 08:52
avatar
Bonjour,

énoncé 143 : critère nécessaire de groupitude ?
a/ Soit $H=\{h_0,...,h_n\}$ un sous-groupe de $\Z_p^*$ ($p$ premier), avec $h_0=1$ et les $h_i$ distincts, différent de $p-1$.
A-t-on $$(h_1-1)\times ... \times (h_n-1) \mod p=o(H)$$ ?

b/ On suppose que $p-1 \in H$.
A-t-on $$(h_1-1)\times ... \times (h_n-1) \mod p=p-o(H)$$ ?


Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/12/2016 08:58 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 11:08
avatar
Best of :

-182,183 : entiers homonymes et synonymes (182 Tombé par Depasse)
-184 : suites convergentes convexes Tombé par Siméon
-185 : les fonctions holdériennes
-186 : l'égalité impossible ? Tombé par Depasse
-187 : produit en série
-190 : étrange ou archi-classique Tombé par GaBuZoMeu
-192 : le bijou caché de la convexité ? Tombé par Siméon
-193 : l'inégalité tonitruante ? Tombé par Siméon
-194 : un nouveau bijou ? Tombé par Champollion
-195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $ Tombé par Champollion
-196 : polynômes divertissants Tombé par Cidrolin
-197 : propriété fonction multiplicative.
-198 : retour des polynômes + Tombé par Siméon
-199 : retour des polynômes ++ Tombé par Siméon
-200 : une histoire de puissance et de diviseur Tombé par Depasse
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-202 : C.S. d'irréductibilité sur $\Z[x]$
-203 : la transcendance low-cost. Tombé par Siméon
-204 : des polynômes intégrés Tombé par Siméon
-205 : critère transcendant





Les incontournables :


Algèbre :

-énoncé 1 : géométrie calcul de distance.
-énoncé 2 : Topologie fonctionnelle (un désormais classique)
-énoncé 3 : calcul facile de dérivée de composée
-énoncé 4 : calcul facile quand on connaît le résultat général derrière.
-énoncé 14 : un très joli énoncé sur les suites que Cidrollin m'a fait découvrir.
-énoncé 15 : arithmétique avec Cidrollin
-énoncé 20 : une astuce de calcul qui ouvre pas mal de porte.
-énoncé 21 : un résultat général sur les groupes
-énoncé 22 : un énoncé sur les espaces vectoriels Samok
-énoncé 25 : surprenant résultat avec un polynôme et la congruence
-énoncé 26 : un désormais classique critère d’irréductibilité
-énoncé 30 : calcul du terme général d'une suite récurrente non linéaire
-énoncé 31 : même thème que le 30.
-énoncé 45 : une petite astuce qui simplifie la vie.
-énoncé 48,49 : équation diophantienne à puissance
-énoncé 52 : factorielle allégée
-énoncé 68, 69 : suite non linéaire rationnelle
-énoncé 78 : indécidable ?
-énoncé 90 : un résultat général d'algèbre.
-énoncé 94 : donne un joli résultat, corollaire d'un résultat qui se trouve dans cette liste.
-énoncé 105 : polynômes et permutations
-énoncé 109 : équation diophantienne livrée avec un résultat général.
-énoncé 119 : incroyable mais vrai
-énoncé 135 : promenade aléatoire dans un groupe fini.

-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-105 : polynômes et permutations
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-119 : incroyable mais vrai
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
-143 : critère de groupitude
-144 : les groupes by Siméon et détaille ici.
-145 : suite récurrente récurrente ?
-148 : un calcul difficile (bis) ?
-168,169,170 : vaut le coup d'oeil.
énoncé 179 : géométrie, mais où est le centre ?


Analyse :

-énoncé 8 : point fixe (un désormais classique)
-énoncé 23 : une limite d'intégrale Fin de Partie
-énoncé 33 : résultat général qui m'avait surpris
-énoncé 35 : un joli qui vaut mieux connaître
-énoncé 42 : un petit résultat de point fixe.
-énoncé 43 : une intégrale dont seul Fin de Partie à le secret.
-énoncé 55 : géométrie "analytique"
-énoncé 58 : géolyse
-énoncé 60 : étrange, valeur propre entière d'une fonction $C^\infty$
-énoncé 71 : illusion de point fixe
-Résultat : l'inégalité de Shah d'Ock- JLT un résultat qu'il vaut mieux connaître.
-énoncé 74 : la course, merci à Tonm.
-énoncé 75 : les parties à point fixe
-énoncé 81 : une question difficile par Aléa
-énoncé 83 : une propriété des ouverts $\R^n$
-énoncé 84 : une question de connexité par Mikaël
-énoncé 87 : Algébryse
-énoncé 91,92 : des équations fonctionnelles "linéaires".
-énoncé 95 : un énoncé à priori banal, amis qui ouvre la réflexion vers...
-énoncé 96 : une généralisation simple du discriminant.
-énoncé 97 : résultat général autour de la convexité.
-énoncé 100 : convexité multiplicative
-énoncé 107 : un classique revisité
-énoncé 110 : quand Riemann s'y met.
-énoncé 136 : un résultat général simple qui peut simplifier la vie (sur les équations fonctionnelles "linéaires").
-énoncé 132 : very-multi série
-énoncé 136 : plein les sinus (livrer avec un résultat général qui prolonge le déterminant sur les fonctions)
-énoncé 142 : surprenant point fixe
-énoncé 141 : conjecture abcd avec Max
-95 : amusant
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-89 : EDP non linéaire
-132 : very multi-série
-140 : critère de contraction merci à Max
-141 : conjecture abcd avec Max
-142 : surprenant point fixe
-146 : du pudding avec Max
-149 : addition, produit et factorielle avec Max.
-150 : Hommage à Madame Dottie par Max
-151 : mini-lemme sinueux par Siméon
-154 : critère de permutabilité
-157 : Le labyrinthe d'Hilbert, par Max.
-158 : un point fixe inattendu.
-159 : pgcd et périodicité par Flipflop
-160 : pgcd et période.
-161 : un classique remis au goût du jour.
-163 : encore du point fixe
-164 : retour sur les groupes sur mesure.


170 : A VOUS DE JOUER.




Les derniers énoncés non encore résolu : [www.les-mathematiques.net]



Modifié 16 fois. Dernière modification le 04/05/2017 20:19 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 11:46
avatar
Réponse au 132 : il suffit d'écrire
$$\sum_{(n_1,...,n_k)\in(\N^*)^k}\frac{1}{(n_1+...+n_k)^a} = \sum_{n=k}^\infty \frac{f(n,k)}{n^a}$$
où $f(n,k) = \operatorname{card}\left\{(n_1,...,n_k)\in(\N^*)^k \mid n_1 + \cdots + n_k = n\right\} = \dbinom{n-1}{k-1} \underset{n\to\infty}\sim \dfrac{n^{k-1}}{(k-1)!}$.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 11:49
Pour l'énoncé 140, il vaudrait mieux commencer par lui donner un sens ...
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 12:04
avatar
@Siméon : bravo.

@GaBuZoMeu : il y a deux personnes qui n'apprendront jamais rien (de plus), [édit1]celle qui sont est trop timides[/édit1] pour poser une question et [édit1]celle qui sont est trop orgueilleuse[/édit1] pour accepter de se tromper.

[édit2]Merci [édit3]quand même [/édit3] GaBuZoMeu, on peut tous se tromper[/édit2]

Bonne journée.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 17/12/2016 16:36 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 12:07
avatar
@Siméon une question indiscrète : as-tu trouvé facilement ?
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 12:38
avatar
Oui, mais je m'étais déjà posé la question.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 13:17
Pour le n°132, on note
$$I_p=\left\{\left(n_1,\dots,n_k\right)\Big|n_1+\cdots +n_k=p\right\}$$ pour $p>0.$ Les $I_p$ réalisent une partition de $\left(\mathbb{N}^*\right)^k,$ donc d'après le cours sur les familles sommables de réels positifs, la série converge si, et seulement si $$\sum_p\left(\sum_{i\in I_p}\frac{1}{p^a}\right)=\sum_p\text{Card}\left(I_p\right)\times\frac{1}{p^a}$$ converge.

Il s'agit maintenant de donner un équivalent du cardinal de $I_p.$ C'est plus ou moins le nombre de partitions de $p$ en somme de $k$ entiers distincts. Je crois qu'il y a un lien avec les nombres de Stirling de deuxième espèce... A vue de nez, $$I_p\approx p^{k-1}$$ (où $a_p\approx b_p$ signifie que $k\leq a_p/b_p \leq K$ pour deux constantes fixées $k$ et $K$).

Donc la somme $\sum_p\text{Card}\left(I_p\right)\times\frac{1}{p^a}$ a la même nature que
$$\sum_p\left(p^{k-1}\times \frac{1}{p^a}\right).$$
Elle converge si, et seulement si, $k-1-a<-1,$ c'est-à-dire $k<a.$

Pas le courage de détailler davantage.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 13:50
Le n°142 n'est pas résolu ?? Il ne nécessite pas de supposer que $P$ est polynomiale. Il suffit de supposer qu'elle est continue.

Si $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ alors $x\mapsto P(x)-x=P(x)-2x+x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction strictement croissante. Il y a donc au plus un point fixe.

On envisage alors trois cas. Dans chacun des trois cas, on établit l'existence d'un point fixe, ce qui fait qu'il y en a toujours un seul.

Cas n°1. $P(0)=0$.
Alors $0$ est point fixe.

Cas n°2 : $P(0)>0.$
Dans ce cas, vu que $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ on a
$$P(-P(0))-2(-P(0))\leq P(0)-2\times 0,$$ donc $$P(-P(0))-(-P(0))\leq 0.$$
La fonction $x\mapsto P(x)-x$ est donc positive en $0$ et négative en $-P(0).$ D'après le TVI, elle s'annule.

Cas n°3 : $P(0)<0.$ Même raisonnement que le cas n°2.
Dans ce cas, vu que $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ on a
$$P(-P(0))-2(-P(0))\geq P(0)-2\times 0,$$ donc $$P(-P(0))-(-P(0))\geq 0.$$
La fonction $x\mapsto P(x)-x$ est donc négative en $0$ et positive en $-P(0).$ D'après le TVI, elle s'annule.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/12/2016 14:10 par rebellin.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 14:22
@pourexemple

Je t'ai dit, il y a quelque temps, que je ne participais jamais à ce fil et ce post le contredit. Il s'agit d'un énoncé qui a attiré mon attention, probablement à cause du titre ``Extension de corps et calculabilité'' in [www.les-mathematiques.net]

Ma question est simple : est ce que cet énoncé est correctement spécifié ? Est ce qu'il ne faut pas indiquer la manière dont est codé l'ensemble des éléments de $\Q(\sqrt 2)$ ?

Tu remarqueras les deux points d'interrogation et une certaine naïveté dans la manière de m'exprimer ``.. est codé l'ensemble ...''. Cette naïveté provient du fait que je ne suis pas du tout un expert en calculabilité. Par contre, j'y suis sensible, car vu mon métier, je dois impérativement être capable d'avoir une idée sur ce qui est calculable ou ne l'est pas. Et j'ajoute que j'ai un peu regardé les problèmes diophantiens, en particulier le dixième problème de Hilbert, suite aux travaux de Davis, Putman, Robinson, Mattiassevitch, ainsi que le problème du mot dans ges groupes ou semi-groupes ...etc..

Est ce que le mot ``Extension'' choisi pour le titre n'est pas un peu ronflant ? Là, j'ose dire que je connais 2 ou 3 choses dans ce domaine et je ne vois pas trop le rapport.

@spécialistes de calculabilité (je pense qu'il y en a sur le forum) : est ce que le problème auquel je fais référence est correctement spécifié ?

Merci.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 15:13
avatar
@Rebellin : 132 : Bravo, tu as suivi la même piste que Siméon : [www.les-mathematiques.net]

Pour le 142 : Bravo, ma démo utilisait le fait que $P$ est [édit1]dérivable $C^1$[/édit1], la tienne est plus générale, puisque tu n'as besoin que de la continuité.

@Claude : n'a-t-on pas $\Q(\sqrt{2})$ est une extension de corps de $\Q$ ?
Pour ce qui est des spécifications [édit2]des [/édit2]énoncés :

Pour la question a/ j'essaie de voir si $R$ peut-être atteinte comme une composé de certaines fonctions et opérations, donc ici pas besoin de dire comment est codé cette ensemble.

Pour la partie b/ j'utilise comme opération élémentaire, les opérations sur un corps, plus $=$ et la condition (if), boucle conditionnelle (while) et autant de mémoire que je veux (en quantité fini).

Bonne journée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/12/2016 16:45 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 15:36
avatar
@Claude : L'algorithme ainsi construit, pour être un programme, il faudrait prouver que le programme ne bouclerait jamais sur lui même.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 16:08
avatar
Pour le 132 une comparaison série/intégral marche bien aussi ($\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes...)

Pour le 106 j'ai édité mon message, pourexemple.

pour le 88 la fonction de $A$ dans $\mathbf R$ qu'on regarde est continue sur un compact -donc atteint son maximum- et la stricte concavité du logarithme donne l'unicité. Je détaille un peu la continuité : on peut voir $A$ comme la boule unité de $\mathbf R^{n+1}$ pour la norme $2$, ce qui donne la compacité, mais pour la continuité on regarde $A$ comme une partie des fonctions polynomiales (de degré $\leq n$) sur $[0;1]$ muni de la norme de la convergence uniforme (en dimension finie les normes sont équivalentes). La continuité est alors immédiate car $\ln$ est uniformément continue en dehors de $0$ et l'intégrale sur un compact est continue pour la norme de la convergence uniforme.

On peut d'ailleurs remplacer $n+2$ par $\sqrt{n+1}$.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 16:18
avatar
@Mojojojo : si tu pouvais préciser ce que tu entends pour la généralisation du 132... merci.

Pour le 106 : ok.

Pour le 88 : Ok, pour la continuité, mais qu'en est-il pour l'unicité ?

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 16:29
Citation
pourexemple
il y a deux personnes qui ... , ce qui sont ... et ce qui sont ...
ce quoi ? ce qui ?

ceux : pronom démonstratif. S'emploie soit comme antécédent d'un relatif, soit suivi d'un complément ou d'un participe, pour représenter un nom déjà exprimé : Parmi tous ces livres, quels sont ceux que tu as lus ?
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 17:19
avatar
Je ne généralise pas le 132. Ce que je dis pour le 132 c'est que $n_1+\ldots+n_k=\|(n_1,\ldots,n_k)\|_1$, que norme $1$ et $2$ sont équivalentes donc $\|x\|_1^{-\alpha}$ est intégrable exactement quand $\|x\|_2^{-\alpha}$ l'est. On sait bien quand $\|x\|_2^{-\alpha}$ est intégrable et donc une comparaison série/intégrale avec notre série et $\int \|x\|^{-\alpha}_1 \mathrm d x$ permet de conclure. On est d'ailleurs pas obligé de passer par la norme $2$, l'intégrabilité de $\|\cdot\|_1$ se montre tout aussi facilement en passant par désintégration de la mesure sur des cubes au lieu de boules.

Pour le 88 je l'ai déjà dit : une fonction continue sur un compact convexe et strictement concave admet exactement un maximum. La remarque sur le $\sqrt{n+1}$ à la place du $n+2$ concerne d'ailleurs le 88.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 17:35
avatar
@Mojojojo :
132 : oui effectivement bien vu.

88 : que penses tu de $f(x,y)=ln(1+x-y)$ sur $A=\{(x,y)|x=y \text{ et } |x|\leq 1\}$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 17:38
avatar
Ok, l'exemple que j'ai donné n'est [édit1] pas [/édit1] strictement concave, mais [édit1]pourquoi de dans [/édit1] notre cas nous ne pourrions pas être dans le même cas de figure ?

Si elle serait strictement [édit2]convexe concave[/édit2], cela resterait à montrer.

Bonne soirée.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/12/2016 17:49 par pourexemple.
Dom
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 17:52
Je n'ai pas de leçons à donner avec mes derniers "pommés" par exemple, cependant j'ai toujours entendu "Les Si n'aiment pas les Ré".
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 18:07
Et pourtant : " Dans la même situation, je ne sais pas si j'aurais fait le même choix que lui."
J'ai essayé vainement d'expliquer que c'était correct à une personne allemande francophone qui venait de me reprendre ...
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 18:08
avatar
Les si n’aiment pas les rais :

La règle veut qu'on ne doit jamais utiliser le conditionnel dans une proposition subordonnante introduite avec "si" mais plutôt lui préférer l'indicatif. La raison de cette règle vient du fait que la préposition "si" marque déjà, elle-même, la condition.

L'action subordonnée s'écrit au conditionnel lorsque la subordonnante n'est pas achevée (ou ne se réalisera peut-être jamais).



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/12/2016 18:32 par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 18:14
@Blueberry. C'est pourtant simple. Dans " je ne sais pas si j'aurais fait le même choix que lui", la subordonnée introduite par "si" n'est pas une proposition subordonnée conditionnelle.

Exemple de subordonnée conditionnelle : "Je ne sais pas si je m'en serais sorti si j'avais fait le même choix que lui".



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/12/2016 18:18 par GaBuZoMeu.
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 18:19
Oui je ne connaissais pas la règle générale, je teste "à l'oreille'' pour savoir si une phrase est correcte ou non. (J'ai même lu un ''Malgré que" suivi d'un subjonctif chez un grand écrivain français alors qu'il paraît que c'est incorrect.)
Re: "il est facile de" la preuve :
17 dcembre 2016, 18:20
avatar
Heureusement que dans notre cas, la preuve (de la concavité stricte) n'est pas [édit1]achevée[/édit1] voir ne se réalisera peut-être jamais...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/12/2016 18:23 par pourexemple.
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