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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Siméon : bravo.

@GaBuZoMeu : il y a deux personnes qui n'apprendront jamais rien (de plus), [édit1]celle qui sont est trop timides[/édit1] pour poser une question et [édit1]celle qui sont est trop orgueilleuse[/édit1] pour accepter de se tromper.

[édit2]Merci [édit3]quand même [/édit3] GaBuZoMeu, on peut tous se tromper[/édit2]

Bonne journée.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Siméon une question indiscrète : as-tu trouvé facilement ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Oui, mais je m'étais déjà posé la question.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Pour le n°132, on note
$$I_p=\left\{\left(n_1,\dots,n_k\right)\Big|n_1+\cdots +n_k=p\right\}$$ pour $p>0.$ Les $I_p$ réalisent une partition de $\left(\mathbb{N}^*\right)^k,$ donc d'après le cours sur les familles sommables de réels positifs, la série converge si, et seulement si $$\sum_p\left(\sum_{i\in I_p}\frac{1}{p^a}\right)=\sum_p\text{Card}\left(I_p\right)\times\frac{1}{p^a}$$ converge.

Il s'agit maintenant de donner un équivalent du cardinal de $I_p.$ C'est plus ou moins le nombre de partitions de $p$ en somme de $k$ entiers distincts. Je crois qu'il y a un lien avec les nombres de Stirling de deuxième espèce... A vue de nez, $$I_p\approx p^{k-1}$$ (où $a_p\approx b_p$ signifie que $k\leq a_p/b_p \leq K$ pour deux constantes fixées $k$ et $K$).

Donc la somme $\sum_p\text{Card}\left(I_p\right)\times\frac{1}{p^a}$ a la même nature que
$$\sum_p\left(p^{k-1}\times \frac{1}{p^a}\right).$$
Elle converge si, et seulement si, $k-1-a<-1,$ c'est-à-dire $k<a.$

Pas le courage de détailler davantage.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Le n°142 n'est pas résolu ?? Il ne nécessite pas de supposer que $P$ est polynomiale. Il suffit de supposer qu'elle est continue.

Si $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ alors $x\mapsto P(x)-x=P(x)-2x+x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ comme somme d'une fonction croissante et d'une fonction strictement croissante. Il y a donc au plus un point fixe.

On envisage alors trois cas. Dans chacun des trois cas, on établit l'existence d'un point fixe, ce qui fait qu'il y en a toujours un seul.

Cas n°1. $P(0)=0$.
Alors $0$ est point fixe.

Cas n°2 : $P(0)>0.$
Dans ce cas, vu que $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ on a
$$P(-P(0))-2(-P(0))\leq P(0)-2\times 0,$$ donc $$P(-P(0))-(-P(0))\leq 0.$$
La fonction $x\mapsto P(x)-x$ est donc positive en $0$ et négative en $-P(0).$ D'après le TVI, elle s'annule.

Cas n°3 : $P(0)<0.$ Même raisonnement que le cas n°2.
Dans ce cas, vu que $x\mapsto P(x)-2x$ est croissante sur $\mathbb{R},$ on a
$$P(-P(0))-2(-P(0))\geq P(0)-2\times 0,$$ donc $$P(-P(0))-(-P(0))\geq 0.$$
La fonction $x\mapsto P(x)-x$ est donc négative en $0$ et positive en $-P(0).$ D'après le TVI, elle s'annule.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par rebellin.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
@pourexemple

Je t'ai dit, il y a quelque temps, que je ne participais jamais à ce fil et ce post le contredit. Il s'agit d'un énoncé qui a attiré mon attention, probablement à cause du titre ``Extension de corps et calculabilité'' in [www.les-mathematiques.net]

Ma question est simple : est ce que cet énoncé est correctement spécifié ? Est ce qu'il ne faut pas indiquer la manière dont est codé l'ensemble des éléments de $\Q(\sqrt 2)$ ?

Tu remarqueras les deux points d'interrogation et une certaine naïveté dans la manière de m'exprimer ``.. est codé l'ensemble ...''. Cette naïveté provient du fait que je ne suis pas du tout un expert en calculabilité. Par contre, j'y suis sensible, car vu mon métier, je dois impérativement être capable d'avoir une idée sur ce qui est calculable ou ne l'est pas. Et j'ajoute que j'ai un peu regardé les problèmes diophantiens, en particulier le dixième problème de Hilbert, suite aux travaux de Davis, Putman, Robinson, Mattiassevitch, ainsi que le problème du mot dans ges groupes ou semi-groupes ...etc..

Est ce que le mot ``Extension'' choisi pour le titre n'est pas un peu ronflant ? Là, j'ose dire que je connais 2 ou 3 choses dans ce domaine et je ne vois pas trop le rapport.

@spécialistes de calculabilité (je pense qu'il y en a sur le forum) : est ce que le problème auquel je fais référence est correctement spécifié ?

Merci.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
@Rebellin : 132 : Bravo, tu as suivi la même piste que Siméon : [www.les-mathematiques.net]

Pour le 142 : Bravo, ma démo utilisait le fait que $P$ est [édit1]dérivable $C^1$[/édit1], la tienne est plus générale, puisque tu n'as besoin que de la continuité.

@Claude : n'a-t-on pas $\Q(\sqrt{2})$ est une extension de corps de $\Q$ ?
Pour ce qui est des spécifications [édit2]des [/édit2]énoncés :

Pour la question a/ j'essaie de voir si $R$ peut-être atteinte comme une composé de certaines fonctions et opérations, donc ici pas besoin de dire comment est codé cette ensemble.

Pour la partie b/ j'utilise comme opération élémentaire, les opérations sur un corps, plus $=$ et la condition (if), boucle conditionnelle (while) et autant de mémoire que je veux (en quantité fini).

Bonne journée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
@Claude : L'algorithme ainsi construit, pour être un programme, il faudrait prouver que le programme ne bouclerait jamais sur lui même.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Pour le 132 une comparaison série/intégral marche bien aussi ($\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes...)

Pour le 106 j'ai édité mon message, pourexemple.

pour le 88 la fonction de $A$ dans $\mathbf R$ qu'on regarde est continue sur un compact -donc atteint son maximum- et la stricte concavité du logarithme donne l'unicité. Je détaille un peu la continuité : on peut voir $A$ comme la boule unité de $\mathbf R^{n+1}$ pour la norme $2$, ce qui donne la compacité, mais pour la continuité on regarde $A$ comme une partie des fonctions polynomiales (de degré $\leq n$) sur $[0;1]$ muni de la norme de la convergence uniforme (en dimension finie les normes sont équivalentes). La continuité est alors immédiate car $\ln$ est uniformément continue en dehors de $0$ et l'intégrale sur un compact est continue pour la norme de la convergence uniforme.

On peut d'ailleurs remplacer $n+2$ par $\sqrt{n+1}$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Mojojojo : si tu pouvais préciser ce que tu entends pour la généralisation du 132... merci.

Pour le 106 : ok.

Pour le 88 : Ok, pour la continuité, mais qu'en est-il pour l'unicité ?

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Citation
pourexemple
il y a deux personnes qui ... , ce qui sont ... et ce qui sont ...
ce quoi ? ce qui ?

ceux : pronom démonstratif. S'emploie soit comme antécédent d'un relatif, soit suivi d'un complément ou d'un participe, pour représenter un nom déjà exprimé : Parmi tous ces livres, quels sont ceux que tu as lus ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Je ne généralise pas le 132. Ce que je dis pour le 132 c'est que $n_1+\ldots+n_k=\|(n_1,\ldots,n_k)\|_1$, que norme $1$ et $2$ sont équivalentes donc $\|x\|_1^{-\alpha}$ est intégrable exactement quand $\|x\|_2^{-\alpha}$ l'est. On sait bien quand $\|x\|_2^{-\alpha}$ est intégrable et donc une comparaison série/intégrale avec notre série et $\int \|x\|^{-\alpha}_1 \mathrm d x$ permet de conclure. On est d'ailleurs pas obligé de passer par la norme $2$, l'intégrabilité de $\|\cdot\|_1$ se montre tout aussi facilement en passant par désintégration de la mesure sur des cubes au lieu de boules.

Pour le 88 je l'ai déjà dit : une fonction continue sur un compact convexe et strictement concave admet exactement un maximum. La remarque sur le $\sqrt{n+1}$ à la place du $n+2$ concerne d'ailleurs le 88.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
@Mojojojo :
132 : oui effectivement bien vu.

88 : que penses tu de $f(x,y)=ln(1+x-y)$ sur $A=\{(x,y)|x=y \text{ et } |x|\leq 1\}$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Ok, l'exemple que j'ai donné n'est [édit1] pas [/édit1] strictement concave, mais [édit1]pourquoi de dans [/édit1] notre cas nous ne pourrions pas être dans le même cas de figure ?

Si elle serait strictement [édit2]convexe concave[/édit2], cela resterait à montrer.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Dom
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Je n'ai pas de leçons à donner avec mes derniers "pommés" par exemple, cependant j'ai toujours entendu "Les Si n'aiment pas les Ré".
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Et pourtant : " Dans la même situation, je ne sais pas si j'aurais fait le même choix que lui."
J'ai essayé vainement d'expliquer que c'était correct à une personne allemande francophone qui venait de me reprendre ...
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Les si n’aiment pas les rais :

La règle veut qu'on ne doit jamais utiliser le conditionnel dans une proposition subordonnante introduite avec "si" mais plutôt lui préférer l'indicatif. La raison de cette règle vient du fait que la préposition "si" marque déjà, elle-même, la condition.

L'action subordonnée s'écrit au conditionnel lorsque la subordonnante n'est pas achevée (ou ne se réalisera peut-être jamais).



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
@Blueberry. C'est pourtant simple. Dans " je ne sais pas si j'aurais fait le même choix que lui", la subordonnée introduite par "si" n'est pas une proposition subordonnée conditionnelle.

Exemple de subordonnée conditionnelle : "Je ne sais pas si je m'en serais sorti si j'avais fait le même choix que lui".



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Oui je ne connaissais pas la règle générale, je teste "à l'oreille'' pour savoir si une phrase est correcte ou non. (J'ai même lu un ''Malgré que" suivi d'un subjonctif chez un grand écrivain français alors qu'il paraît que c'est incorrect.)
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Heureusement que dans notre cas, la preuve (de la concavité stricte) n'est pas [édit1]achevée[/édit1] voir ne se réalisera peut-être jamais...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Ma chère GaBuZoMeu,

Tu as édité 2 fois ce message pourtant je n'y décèle aucun changement, est-ce normal ?

Bonne soirée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Mon ton, peut sembler [édit1]dictatoriale[/édit1] envers notre chère GaBuZoMeu, mais, dans ce passage, qu'elle a écrit, vous y trouverez la raison de cette intervention : [www.les-mathematiques.net]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Grâce à pourexemple, j'apprends plein de choses sur moi que j'ignorais : je suis une spécialiste de la grammaire russe.
Dom
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Tu serais donc une chatte d'Oc ? smiling bouncing smileydrinking smileythumbs upmoody smiley
(Je suis déjà sorti, inutile de m'y convier).
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Citation GaBuZoMeu :
je suis une spécialiste de la grammaire russe.

Non, pas du tout, tu fais peut-être référence à ce message : [www.les-mathematiques.net]

Où je dit : "je crois que la grammaire russe ne te fait pas peur"

Ce qui veut dire que tu connais aussi le russe, c'est probablement d'ailleurs ta langue maternelle, sinon tu n'aurais pas prêté à cette phrase, le sens que tu lui donnes.

PS : pour celles qui n'ont pas comprises, je précise que j'ai décidé, que sur le forum je ne voyais pas pourquoi, par défaut, on devrait considérer que notre interlocuteur quand il ne précise pas son genre, serait forcément un homme, donc j'emploierais de manière indistincte le féminin comme le masculin, pour les pseudos que cela ne gênent pas, et notre amie GaBuZoMeu n'en est pas gênée...

Je vous propose maintenant de revenir à notre sujet.

Bonne soirée.
Dom
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Il faut s'accorder sur le nombre de gen(d)res.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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105

Soit $P : x \mapsto a_0 + a_1 x + \cdots a_{p-1} x^{p-1}$ une fonction polynomiale sur $\Z/p\Z$. Alors $\sum_{x\in\Z/p\Z} P(x) = -a_{p-1}$ car $$\sum_{x\in\Z/p\Z} x^k = \begin{cases}0, &\text{si } 0 \leq k < p-1\\ -1, &\text{si } k = p-1\end{cases}.$$
Supposons que $P$ réalise une permutation. Alors $\sum_{x\in\Z/p\Z} P(x) = \sum_{y\in\Z/p\Z} y = 0$, donc $a_{p-1} = 0$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Bravo... tu donnes l'impression que c'est très facile (on trouve rapidement la réponse (moins d'une heure)), est-ce le cas ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
J'essaye juste de suivre ta consigne : trouver une preuve simple et courte. Et encore je triche un peu car je n'ai pas détaillé le calcul des sommes (on peut considérer qu'il est classique).

Personnellement il m'a fallu assez longtemps pour trouver l'argument qui tue mais je pense que c'est évident pour quelqu'un qui a l'habitude de travailler sur ce genre de maths. Heureusement j'ai fait des détours par d'autres questions amusantes. Par exemple, quels sont les groupes $G$ pour lesquels toute application $G\to G$ peut s'écrire sous la forme $x \mapsto u(x)v(x)$ avec $u$ et $v$ des permutations de $G$ ?
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Citation Siméon :
je pense que c'est évident pour quelqu'un qui a l'habitude de travailler sur ce genre de maths

Je ne pense pas.

Mais merci encore d'avoir bien voulu me répondre.

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Citation Siméon :
Par exemple, quels sont les groupes $G$ pour lesquels toute application $G\to G$ peut s'écrire sous la forme $x \mapsto u(x)v(x)$ avec $u$ et $v$ des permutations de $G$ ?

Telle quelle cette question n'a pas de sens, que serait : $u(x)v(x) \in G$ avec $u,v \in G$...
Et je pense que répondre à cette question c'est répondre à ton énoncé.

Bonne journée



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Les lettres $u$ et $v$ ne désignent pas des éléments de $G$, mais des éléments du groupe symétrique $\mathfrak S(G)$. Je réécris la condition pour clarifier : pour toute application $f : G\to G$, il existe des bijections $u : G\to G$ et $v : G \to G$ telles que $\forall x\in G,\ f(x) = u(x)v(x)$.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
En quoi le fait que $G$ soit un groupe intervient-il ?
P.S. OK, j'ai vu.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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édit2...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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PS : je ne sais pas répondre à l'énoncé proposé par Siméon.

Bonne soirée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

Citation Siméon :
Et encore je triche un peu car je n'ai pas détaillé le calcul des sommes (on peut considérer qu'il est classique).

[www.les-mathematiques.net]
[www.les-mathematiques.net]

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Pour le 141 voici les grandes lignes [www.les-mathematiques.net]
Si ce n'est pas clair sur certains points , je reste à disposition .
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Merci.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@GaBuZoMeu : on peut étendre la question à des lois de compositions internes plus générales, mais la solution que j'ai utilise les axiomes de groupe. As-tu des idées pour généraliser ?

@pourexemple : la réponse n'est probablement pas très surprenante. Je la met en blanc ci-dessous, mais vous laisse chercher une démonstration.
Seuls les groupes à un élément vérifient cette propriété.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Siméon : En effet, du fait d'une erreur de lecture de ma part, je pensais que c'était vrai pour n'importe qu'elle groupe (ce qui [édit1]est serait[/édit1] pour le moins surprenant).

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
@Simeon : non, c'était une mauvaise interprétation. Effectivement, la démonstration (je ne sais pas si j'ai la même que toi) fait bien appel à tous les axiomes de groupe.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Citation GaBuZoMeu :
c'était une mauvaise interprétation

Et quelle interprétation avais-tu pour l'énoncé proposé par Siméon ?

Bonne journée.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
@Max : je trouve que l'énoncé que tu as proposé sur le Shapiro's pudding est joli, en as-tu une preuve simple et courte ?

Bonne journée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

énoncé 58 : Géolyse

Je me rends compte que cet énoncé n'a pas encore été résolu.

Ce qu'on en a dit : il suffit de montrer que ce dont on parle est un anneau.

La preuve peut-être résumée en 3 points d'environ une ligne chacun.

Le premier point a été trouvé :

1/On montre que les droites se coupent toutes en un point : sans cela, s'il y avait 3 axes de symétries qui se coupaient en un triangle ou avec deux droites parallèles, alors on pourrait à l'aide de ces 3 symétries, transformer un point $M$, en un point $M'$ aussi lointain que souhaité de $M$.

2/ et 3/ restent à trouver.

Bonne journée.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Bonjour,

énoncé 145 : suite récurrente récurrente ?
On note $p=3^{41}-2$, on prend $(u_n)_n$ la suite récurrente de $\Z_p$ tel que $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n^2+1 \mod p$.
Existe-t-il un rang $n>0$ tel que $u_n=0 \mod p$ ?

Bonne nuit.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Bonjour,

en attente.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Salut à tous j'ai presque finis la construction de mon pudding (grinning smiley) si vous voulez faire un tour je vous y convie
@Pourexemple désolé j'ai trouvé mes formules moches et toi plutôt jolie , je te remercie de ta considération .

Cordialement .
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Bonjour,

édit.

Bonne journée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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@Max critère de beauté sur un énoncé :

1/-plus il est court mieux c'est.
2/-plus il est compris mieux c'est.
3/-plus l'énoncé est étonnant mieux c'est.
4/-plus l'énoncé n'est pas immédiat, à résoudre, mieux c'est.
5/-plus la réponse est courte mieux c'est.

Bonne journée.
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