Tu veux un critère d'élégance simple : il faut qu'en une lecture (attentive), la plus part des lecteurs soient capable de restituer (ton énoncé ou preuve)...
énoncé 146 :
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$(\frac{\sum_{k=1}^{n}(A_k)}{\sum_{k=1}^{n}(B_k)})^{\frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(C_k)}}\geq \frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)}-\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)+\sum_{k=1}^{n}(a_k)}+1$$
Avec
$A_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$B_k=b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$C_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}*b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ ( ou l'on a appliqué la puissance n fois)
Je vous rappelle le but de ce fil : échanger des astuces.
En fait, c'est à vous d'habiller vos astuces de leurs meilleurs atouts (en les mettant sous forme d'un joli énoncé), et après on fait des échanges d'astuces, par exemple si tu me donnes la solution l'astuce de l'énoncé 144, je te donne (l'astuce) de l'énoncé 108.
Car il faut vraiment croire, que les évidences sont faciles à trouver pour se lancer dans la résolution de ces énoncés, ce que, personnellement, je ne conseille à personne (sous peine de se casser les dents).
Une façon de voir limite $P(x)-x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est nécessairement $-\infty$ et $+\infty$ quand $x$ tend $+\infty$ ($P(x)$ emporte sur $2x$) donc la fonction va s'annuler...
On a $P'(x)-2\geq 0$ donc $P'(x)\geq 2$ on a donc $P$ inversible et son inverse sa réciproque à une dérivée plus petite que $1/2$, donc la réciproque de $P$ est contractante sur $\R$ complet donc elle admet un point fixe, et alors le point fixe de $P^{-1}$ est le point fixe de $P$.
Sinon je ne connais pas la méthode de Lucas.
Et ici l'astuce consiste à calculer $f(x)+f(g(x))+...+f(g^n(x))$ en calculant h tel que, $f(x)=h(g(x))-h(x)$.
C'est du télescopique pousser un peu plus loin.
Après, je ne sais pas si cela à un intérêt pour toi, mais je suppose que tu ne le diras, que si cela n'a aucun intérêt pour toi.
@Joaopa : je connais la fameuse phrase "le client est roi", mais il ne faut pas pousser, après si tu crois que tous ces énoncés sont à ta portés (sans avoir besoin d'échanger de tes astuces) alors attaque toi au 89.
Pour le 108, il s'agit essentiellement de calculer $S(107,109)$ pour une famille de nombres $S(n,p)$ qu'on peut obtenir de proche en proche à l'aide de la formule de récurrence
$$
S(n,p) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (2^k+1)3^{nk} S(n-1,p-k)
$$
Ceci est lié directement à la méthode que j'avais utilisée pour l'autre somme, mais je ne sais pas obtenir de formule close ici. Avais-tu une solution plus élégante/astucieuse ?
Pour le 144, on vérifie que si le groupe $G$ contient un élément $a$ différent du neutre $1$, alors la fonction
$$
x \mapsto \begin{cases}a & \text{si } x = 1\\ 1 & \text{si } x \neq 1\end{cases}
$$
n'est pas produit de deux permutations $u$ et $v$ de $G$ : sinon en posant $b = u(1)$ on a nécessairement $b^{-1} \notin v(G\setminus\{1\})$ par injectivité de $u$, donc $v(1) = b^{-1}$ par surjectivité de $v$, d'où $a = 1$.
C'est méthode permet de calculer tout aussi simplement, par exemple la puissance 109, des entiers plus petit que $10^{100}$ dont l'écriture en base de 10 ne contient que des chiffres impairs.... et encore plus de chose...
Ça a resté simple même avec numéro 2/ en fait on peut considérer les temps où les coureurs seront tous au départ, pour les temps qui suivent bien sûr on aura les conditions du 1/ et 2/ vérifiées. (74)
Je n'arrive pas à voir comment on peut les avoir aussi proches que voulut, sur n'importe quelle section du terrain, et aussi donner au joueur de son choix la position de son choix.
D'ailleurs si tu prends 2 coureurs avec une vitesse de $1 ms^{-1}$ et l'autre de $2 ms^{-1}$, leur mouvement (des 2 ensemble) est périodique, de période $1000$ secondes, et il me semble, alors, qu'il y a des sections de terrains où on ne verra jamais les 2 ensembles.
PS : simplicité (compréhensible du plus grand nombre) et facilité (on peut trouver rapidement) ne sont pas confondus, d'ailleurs il y a, un grand soin, à les dissocier, dans les énoncés proposés ici.
les vitesses sont rationnelles de la forme $v_i=\dfrac{c_i}{b_i}$
en $km/h $ il y a une infinité de valeurs $t$ temps tel que $v_i t_i$ soit un entier pour tout $i$. Ce sont des tour complet puisque la longueur du terrain est $1$ km.
Maientenant à ces temps là ils se trouvent au meme point du départ et pour $t+\epsilon$ on aura ce qu'on affirme dans 1/ et 2/.
J'ai pas dit que la section est n'importe où dans le trajet mais juste l'existence de section aussi petite que l'on veut tel que les coureurs son en ordre dans cette section.
Autant pour moi j'avais raté cette condition : vitesse(ai)<vitesse(aj).
Merci.
Donc voilà la réponse du 88 :
1/ la fonction, dont on prend le max, est concave.
2/ le max ne peut être atteint à l'intérieur de la sphère (des polynômes).
3/ si le max est atteint en deux points distincts de la frontière alors il est atteint en un point intérieur de la sphère.
En fait, comme l'a remarqué mojojojo, il y a bien une affaire de convexité stricte, mais pas pour la fonction, mais pour l'ensemble considéré.
Non non, c'est bien la fonction qui à un polynôme de $A$ renvoi la valeur de l'intégrale qui est une fonction strictement concave, l'ensemble $A$ étant convexe la fonction y admet au plus un maximum. L'existence vient de compacité+continuité.
Je n'ai jamais rien dit sur la possible localisation du maximum sur la frontière.
réponse 89 :
1/Il faut utiliser le théorème de point fixe Picard.
2/Et l'appliquer à $f$ continue (ou M-lipschitzienne (je ne me souviens plus trop)) (avec la norme uniforme) et $f(0,0)=0$ :
$$P_0(\int_{[0,x_1]}\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2) dt_1dt_2)+P_1(\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2)dt_2)+P_2(\int_{[0,x_1]} f(t_1,t_2) dt_1)+P_3(f(x_1,x_2))=x_1+x_2$$
Ce n'est pas parce que c'est simple que c'est facile à trouver.
Un dernier énoncé de ma part : Énoncé 149 :
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$\frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)^{a_k}}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)^{b_k}}\leq \frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)!}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)!}$$
Pour le 115: application de la formule de Legendre
$$v_p(n!)=\sum_{i\ge0}\left[\frac n{p^i}\right]=\frac{n-s_p(n)}{p-1}$$
où $s_p(n)=$ sommes des $p$-chiffres de $n$.
Réponses
Bonne journée.
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$(\frac{\sum_{k=1}^{n}(A_k)}{\sum_{k=1}^{n}(B_k)})^{\frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(C_k)}}\geq \frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)}-\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)+\sum_{k=1}^{n}(a_k)}+1$$
Avec
$A_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$B_k=b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$C_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}*b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ ( ou l'on a appliqué la puissance n fois)
Cordialement.
Je remets ici les énoncés non encore résolus.
Algèbre :
-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
-143 : critère de groupitude
-144 : les groupes by Siméon et détaille ici.
-145 : suite récurrente récurrente ?
Analyse :
-58 : géolyse
-74 : la course avec Tonm
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-89 : EDP non linéaire
-140 : critère de contraction merci à Max
-146 : du pudding avec Max
Le plus facile, selon moi, étant :
le 145, le plus difficile le 89.
PS : Pour les incontournables déjà vus sur ce fil, c'est là...
Bonne journée.
Algèbre :
-énoncé 1 : géométrie calcul de distance.
-énoncé 2 : Topologie fonctionnelle (un désormais classique)
-énoncé 3 : calcul facile de dérivée de composée
-énoncé 4 : calcul facile quand on connaît le résultat général derrière.
-énoncé 14 : un très joli énoncé sur les suites que Cidrollin m'a fait découvrir.
-énoncé 15 : arithmétique avec Cidrollin
-énoncé 20 : une astuce de calcul qui ouvre pas mal de porte.
-énoncé 21 : un résultat général sur les groupes
-énoncé 22 : un énoncé sur les espaces vectoriels Samok
-énoncé 25 : surprenant résultat avec un polynôme et la congruence
-énoncé 26 : un désormais classique critère d’irréductibilité
-énoncé 30 : calcul du terme général d'une suite récurrente non linéaire
-énoncé 31 : même thème que le 30.
-énoncé 45 : une petite astuce qui simplifie la vie.
-énoncé 48,49 : équation diophantienne à puissance
-énoncé 52 : factorielle allégée
-énoncé 68, 69 : suite non linéaire rationnelle
-énoncé 78 : indécidable ?
-énoncé 90 : un résultat général d'algèbre.
-énoncé 94 : donne un joli résultat, corollaire d'un résultat qui se trouve dans cette liste.
-énoncé 105 : polynômes et permutations
-énoncé 109 : équation diophantienne livrée avec un résultat général.
-énoncé 119 : incroyable mais vrai
-énoncé 135 : promenade aléatoire dans un groupe fini.
-énoncé 62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-énoncé 108 : calcul autour des entiers de Cantor
--énoncé 144 : les groupes by Siméon et détaille ici.
Analyse :
-énoncé 8 : point fixe (un désormais classique)
-énoncé 23 : une limite d'intégrale Fin de Partie
-énoncé 33 : résultat général qui m'avait surpris
-énoncé 35 : un joli qui vaut mieux connaître
-énoncé 42 : un petit résultat de point fixe.
-énoncé 43 : une intégrale dont seul Fin de Partie à le secret.
-énoncé 55 : géométrie "analytique"
-énoncé 58 : géolyse
-énoncé 60 : étrange, valeur propre entière d'une fonction $C^\infty$
-énoncé 71 : illusion de point fixe
-Résultat : l'inégalité de Shah d'Ock- JLT un résultat qu'il vaut mieux connaître.
-énoncé 74 : la course, merci à Tonm.
-énoncé 75 : les parties à point fixe
-énoncé 81 : une question difficile par Aléa
-énoncé 83 : une propriété des ouverts $\R^n$
-énoncé 84 : une question de connexité par Mikaël
-énoncé 87 : Algébryse
-énoncé 91,92 : des équations fonctionnelles "linéaires".
-énoncé 95 : un énoncé à priori banal, amis qui ouvre la réflexion vers...
-énoncé 96 : une généralisation simple du discriminant.
-énoncé 97 : résultat général autour de la convexité.
-énoncé 100 : convexité multiplicative
-énoncé 107 : un classique revisité
-énoncé 110 : quand Riemann s'y met.
-énoncé 136 : un résultat général simple qui peut simplifier la vie (sur les équations fonctionnelles "linéaires").
-énoncé 132 : very-multi série
-énoncé 136 : plein les sinus (livrer avec un résultat général qui prolonge le déterminant sur les fonctions)
-énoncé 142 : surprenant point fixe
-énoncé 141 : conjecture abcd avec Max
-énoncé 74 : la course avec Tonm
-énoncé 88 : unicité du max
-énoncé 89 : EDP non linéaire
En fait, c'est à vous d'habiller vos astuces de leurs meilleurs atouts (en les mettant sous forme d'un joli énoncé), et après on fait des échanges d'astuces, par exemple si tu me donnes la solution l'astuce de l'énoncé 144, je te donne (l'astuce) de l'énoncé 108.
Car il faut vraiment croire, que les évidences sont faciles à trouver pour se lancer dans la résolution de ces énoncés, ce que, personnellement, je ne conseille à personne (sous peine de se casser les dents).
A vous de faire votre choix.
Bonne journée.
Merci à pourexemple
Pour le 142 c'est vrai pour $P(x)$ continue seulement à suivre...
Bonne journée.
L'échange de solutions n'est pas ma visée mais...
$$\frac{x^{2^n}}{x^{2^{n+1}}-1}=\frac{x^{2^{n+1}}}{x^{2^{n+1}}-1}-\frac{x^{2^{n}}}{x^{2^{n}}-1}$$
Sinon je ne connais pas la méthode de Lucas.
Et ici l'astuce consiste à calculer $f(x)+f(g(x))+...+f(g^n(x))$ en calculant h tel que, $f(x)=h(g(x))-h(x)$.
C'est du télescopique pousser un peu plus loin.
Après, je ne sais pas si cela à un intérêt pour toi, mais je suppose que tu ne le diras, que si cela n'a aucun intérêt pour toi.
Pour le 108, il s'agit essentiellement de calculer $S(107,109)$ pour une famille de nombres $S(n,p)$ qu'on peut obtenir de proche en proche à l'aide de la formule de récurrence
$$
S(n,p) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (2^k+1)3^{nk} S(n-1,p-k)
$$
Ceci est lié directement à la méthode que j'avais utilisée pour l'autre somme, mais je ne sais pas obtenir de formule close ici. Avais-tu une solution plus élégante/astucieuse ?
Pour le 144, on vérifie que si le groupe $G$ contient un élément $a$ différent du neutre $1$, alors la fonction
$$
x \mapsto \begin{cases}a & \text{si } x = 1\\ 1 & \text{si } x \neq 1\end{cases}
$$
n'est pas produit de deux permutations $u$ et $v$ de $G$ : sinon en posant $b = u(1)$ on a nécessairement $b^{-1} \notin v(G\setminus\{1\})$ par injectivité de $u$, donc $v(1) = b^{-1}$ par surjectivité de $v$, d'où $a = 1$.
$P_0(x)=x^{109}$
$P_1(x)=P_0(3x+1)+P_0(3x+2) \mod p$
$P_2(x)=P_1(3x+1)+P_1(3x+2) \mod p$
...
$P_{108}(x)=P_{107}(3x+1)+P_{107}(3x+2) \mod p$
$P_{108}(1) \mod p$ donne le résultat voulut.
Bonne soirée.
-82, 99, 88, 89.
Bonne soirée.
Ça a resté simple même avec numéro 2/ en fait on peut considérer les temps où les coureurs seront tous au départ, pour les temps qui suivent bien sûr on aura les conditions du 1/ et 2/ vérifiées. (74)
Pour le 88 j'ai réflechi mais rien.
Cordialement.
Je n'arrive pas à voir comment on peut les avoir aussi proches que voulut, sur n'importe quelle section du terrain, et aussi donner au joueur de son choix la position de son choix.
D'ailleurs si tu prends 2 coureurs avec une vitesse de $1 ms^{-1}$ et l'autre de $2 ms^{-1}$, leur mouvement (des 2 ensemble) est périodique, de période $1000$ secondes, et il me semble, alors, qu'il y a des sections de terrains où on ne verra jamais les 2 ensembles.
PS : simplicité (compréhensible du plus grand nombre) et facilité (on peut trouver rapidement) ne sont pas confondus, d'ailleurs il y a, un grand soin, à les dissocier, dans les énoncés proposés ici.
Bonne journée.
les vitesses sont rationnelles de la forme $v_i=\dfrac{c_i}{b_i}$
en $km/h $ il y a une infinité de valeurs $t$ temps tel que $v_i t_i$ soit un entier pour tout $i$. Ce sont des tour complet puisque la longueur du terrain est $1$ km.
Maientenant à ces temps là ils se trouvent au meme point du départ et pour $t+\epsilon$ on aura ce qu'on affirme dans 1/ et 2/.
J'ai pas dit que la section est n'importe où dans le trajet mais juste l'existence de section aussi petite que l'on veut tel que les coureurs son en ordre dans cette section.
Alors j'avais mal compris cela :
tous ces coureurs sont dans une section quelconque
Ok, et comment tu fais pour choisir la position que tu veux, pour le coureur que tu veux ?
PS : tu n'es pas obligé de répondre publiquement.
Bonne journée.
Merci.
Donc voilà la réponse du 88 :
1/ la fonction, dont on prend le max, est concave.
2/ le max ne peut être atteint à l'intérieur de la sphère (des polynômes).
3/ si le max est atteint en deux points distincts de la frontière alors il est atteint en un point intérieur de la sphère.
En fait, comme l'a remarqué mojojojo, il y a bien une affaire de convexité stricte, mais pas pour la fonction, mais pour l'ensemble considéré.
Bonne journée.
Je n'ai jamais rien dit sur la possible localisation du maximum sur la frontière.
c'est bien la fonction qui à un polynôme de A renvoi la valeur de l'intégrale qui est une fonction strictement concave,
Je ne pense pas qu'elle soit strictement concave, et cela resterait à montrer.
Bonne journée.
Soit $P,Q \in A$ distincts alors il existe $t\in [0,1]$ tel que $P(t)\neq Q(t)$, d'où en utilisant la stricte convexité de $\ln$ le résultat.
Désolé, je peux me tromper et je me suis trompé.
réponse 89 :
1/Il faut utiliser le théorème de point fixe Picard.
2/Et l'appliquer à $f$ continue (ou M-lipschitzienne (je ne me souviens plus trop)) (avec la norme uniforme) et $f(0,0)=0$ :
$$P_0(\int_{[0,x_1]}\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2) dt_1dt_2)+P_1(\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2)dt_2)+P_2(\int_{[0,x_1]} f(t_1,t_2) dt_1)+P_3(f(x_1,x_2))=x_1+x_2$$
Ce n'est pas parce que c'est simple que c'est facile à trouver.
Bonne soirée.
énoncé 147 : calcul difficile ?
Comment calculer la dérivée 100-iem en 0 de $\sin^{2^{100}+1}$ ?
Bonne journée et bonne année.
Comment calculer la dérivée 100-iem en 0 de $\sin^{2^{2017}}$ ?
Voilà, les fruits encore disponible sur le marché :
Algèbre :
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-109 : équation diophantienne
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-143 : critère de groupitude
-145 : suite récurrente récurrente ?
-148 : un calcul difficile.
Analyse :
-58 : géolyse
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-140 : critère de contraction merci à Max
-146 : du pudding avec Max
-147 : un calcul, sans difficulté ?
PS : Pour les fruits dont le contenu est publique, c'est là...
Bonne journée.
Énoncé 149 :
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$\frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)^{a_k}}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)^{b_k}}\leq \frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)!}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)!}$$
$$v_p(n!)=\sum_{i\ge0}\left[\frac n{p^i}\right]=\frac{n-s_p(n)}{p-1}$$
où $s_p(n)=$ sommes des $p$-chiffres de $n$.
Cordialement.
Cordialement.
Bravo, Guy, je ne connaissais pas la formule de Legendre.
Le 148,147,99 et 143 sont tombés.
Bonne journée.