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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
:!Bonjour,

énoncé 179 : géométrie, mais où est le centre ?

édit : merci Poirot.

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Mauvais lien.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
énoncé 180 : composition non entière et régulière



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Utilisateur anonyme
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
Salut,

énoncé 182 : les entiers homonymes
2 entiers naturels x,y sont dit homonymes, s'il existe deux entiers naturels a,b distincts tel que x écrit en base a est identique à y écrit en base b.
Trouver tous les couples d'entiers naturels homonymes, c'est à dire trouver un algorithme A tel que A(x,y) renvoie vrai si x et y homonymes, et faux sinon.

énoncé 183 : les entiers synonymes
2 chaînes de caractères (avec pour chiffre l'ensemble des entiers naturels) x,y sont dit synonymes, s'il existe 2 entiers naturels a,b tel que le nombre ayant pour écriture en base a, x, a pour écriture en base b, y.
Trouver tous les couples d'entiers naturels, c'est à dire exprimer cette ensemble à l'aide d'ensembles connues.

Cordialement.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
énoncé 184 : suites convergentes convexes
Soit $\phi$ une fonction continue convexe sur $\R$.
Expliciter une suite de fonctions convexes $C^2$ qui convergent simplement vers $\phi$.

énoncé 185 : les fonctions holdériennes
On suppose $f$ $a$ holderienne sur $[0,1]$.
A-t-on $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} n^{b}\int_0^1f(x)\sin(nx) \text{d}x=0$, avec $b<a$ ?

énoncé 186 : l'égalité impossible ?
Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?

énoncé 187 : produit en série
Soit $f : \{0,1\}\times \N \rightarrow \R^+$, $\prod \limits_{k=0}^\infty (f(0,k)+f(1,k))$ produit convergent, vers le réel $M>0$, avec $\forall k \in \N, f(0,k)+f(1,k) \geq 1$.
A-t-on $M=\sum \limits_{a\in \{0,1\}^{\N}} \prod \limits_{k=0}^{\infty} f(a_k,k)$ ?

Si non, comment transformer ce produit infini, en une série de produit fini ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Salut,

énoncé 189 : Qui sont les involutions réelles continues ?

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
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Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Salut,

énoncé 192 : le bijou caché de la convexité ?
Soit $(f_k)_k$ une suite de fonction convexe sur $\R$, tel que $\forall x\in \R, \exists M_x\in \R^+, \forall k\in \N, |f_k(x)|\leq M_x$.
Peut-on en extraire une sous suite, simplement convergente ?

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
il y a deux années
avatar
Salut,

énoncé 193 : l'inégalité tonitruante ?
Soit $f,g$ deux fonctions positives réels convexes et croissantes sur $[0,1]$.
A-t-on $$\int_0^1 f(x) \times g(x) \text{d}x\geq (\int_0^1 f(x) \text{d}x)\times (\int_0^1 g(x)\text{d}x) $$ ?

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Salut
Soit $f$ convexe sur $\R$ et dérivable.
A-t-on $f'$ continue ?
Cordialement.

[Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
$f'$ est croissante et vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux), donc...
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Oui, $f'$ est croissante et vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, ça devrait suffire à montrer qu'elle est continue.

EDIT : trop lent !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par mojojojo.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Ok, bravo, à vous 2.

J'explique maintenant mon titre, le résultat est surprenant parce que je pense que personne n'a pensé à l'énoncé (sauf preuve du contraire) et pourtant il se démontre facilement (les ingrédients sont connus).

Si c'est bien le cas, je propose pour nom de ce résultat : le lemme S-M.

Cordialement
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Ici, page 2.
Et vraisemblablement dans les ouvrages cités en référence.
Les chevilles qui enflent ?
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Juste une question à Siméon et Mojojo, connaissiez vous ce résultat ?

Merci.

Citation GaBuZoMeu :
Les chevilles qui enflent ?

Non, car n'oublie pas que : "il est facile de" la preuve...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Dom
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Et bien, c'est un résultat qui se trouve dans quasiment toutes les leçons d'agreg. (interne et externe) il me semble.
Ce n'est pas assez consistant pour un développement en un quart d'heure.

Mais, oui, on a le droit de dire que c'est "surprenant".
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Non, mais jusqu'à ces 15 dernières secondes je ne connaissais pas non plus le résultat 41651561+151516516=193168077.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
@Mojojo : on juge un arbre à ses fruits, on verra bien si ce résultat (qui serait connu depuis au moins que l'agreg existe) donne de [édit1]nouveaux résultats débloque d'anciennes conjectures[\édit1] (avec un ancien résultat) ce qui serait vraiment très surprenant, non ?



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Dom
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Bon, je ne connais rien à l'histoire des fonctions convexes et de leurs études, mais j'imagine que ceux qui se sont penchés sur la question avaient trouvé ce résultat : c'est de l'analyse qui utilise des théorèmes de L1-L2.

Attention, je suis d'accord sur le caractère "surprenant" comme d'ailleurs la continuité des fonctions convexes (sur un intervalle ouvert, car cela ne fonctionne pas sur un segment).
On a plein de résultats de ce genre, plus ou moins élaborés sur les fonctions convexes.

Par exemple : le domaine de dérivabilité des fonctions convexes ou encore "un théorème de Dini" (où la convergence simple sur un segment entraîne la convergence uniforme). C'est d'ailleurs avec ce dernier que l'on peut construire la fonction exponentielle, et tiens, je crois bien que ça fait un bon développement à l'agreg d'ailleurs pour revenir aux moutons.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Mouais... Personnellement je ne suis pas partisan de ton jeu "d'habillage d'énoncé" qui essayes de cacher "l'astuce" à utiliser.

À part ça il y a tout un tas de résultats qui sont sans noms et qui s'en portent très bien, je pense qu'il en va de même pour celui-ci winking smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Citation
Mojojo
je pense qu'il en va de même pour celui-ci

Je vote pour, mais on verra si oui ou non, ce lemme permet ou non de tomber d'anciennes conjectures ce qui serait pour le moins surprenant.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Citation
pourexemple
ce qui serait pour le moins surprenant.

Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable... Ce résultat est plus que classique pour qui fait un peu d'analyse convexe, et comme l'a déjà dit Dom, c'est un résultat classique de la leçon "fonction monotones, fonction convexes" de l'agreg.

Comme l'a dit mojojojo, il y a tout un tas de résultats (c'est même une majorité) qui ne portent pas de noms.
Par exemple, le résultat qui dit que si une fonction convexe de $\R\rightarrow \R$ est dérivable sa dérivée est croissante ne porte pas davantage de nom, ni celui qui dit qu'une fonction (toujours de $\R\rightarrow\R$) est deux fois dérivable alors sa dérivée seconde est positive.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Citation
Oméga
Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable...

Qui vivra verra.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Attention : dire que c'est un item à connaitre à l'agreg peut faire croire aux lecteurs éloignés du sérail que ce "n'est que en préparant l'agreg" qu'on aborde ce genre de trucs de base. Or ici, il n'en est rien, il y a encore 20-25ans, ça pouvait tomber en exo (éventuellement guidé) dans toute fac ou école de bac+1 d'initiation aux maths, pour permettre aux moins forts de marquer aussi des points. Voire même était purement et simplement présent avec "un numéro de série" dans les cours.

D'autant qu'il s'agit d'un phénomène affirmant la régularité et la calculabilité de quelque chose, que souvent les enseignants dans leur quasi unanimité transmettent beaucoup plus que quelques contre-exemples abstraits inattendus car ont l'impression de devoir l'utiliser 1000 fois ensuite, donc refusent de le redémontrer à chaque fois.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Ce qui est amusant mais bien plus difficile à montrer c'est qu'une fonction convexe sur $\mathbb{R}^{n}$ qui admet des dérivées partielles (suivant un système d'axes orthonormés, fixé à l'avance) en tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ est en fait $C^{1}.$
Bonne chance!
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
C'est le theoreme 1.5.2 du livre [books.google.com]

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Salut,

@BobbyJoe :

il suffirait d'avoir le résultat suivant (dans le cas $\R^2$) :

Si $f$ fonction de $\R^2$ dans $\R$ est tel que $$\forall x \in \R, \forall u,v \in \R, \text{ si } u \leq v \text{ alors } f(x,u)\leq f(x,v)$$

$$\forall x \in \R, \forall C \subset \R^2, \text{ si } C \text{ connexe, alors } f(C) \text{ connexe } $$

Alors $f$ continue.

J'ai bon ?

Cordialement.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Salut,

Derrière ceci, il y a un bijou, plus précieux, que le bijou en lien.

Cordialement.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Je m'explique, si ce résultat (en lien) est connu, c'est que le bijou derrière ce résultat est peut-être connu, sinon, il n'est sûrement pas connu.

Le résultat est le suivant :

Si on considère une suite de fonction réel convexe, bornée simplement. Alors on peut en extraire une sous suite convergent simplement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
J'ai du mal à comprendre ton résultat. Que veut dire que la suite est bornée simplement ? Chaque fonction est bornée ? Impossible car convexité, on alors elles sont constantes. Bornées par une fonction convexe ? C'est trop faible.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Regarde le lien (sur le mot ceci).
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Ah oui, j'ai compris, merci. Je vois grossièrement pourquoi, il faut prendre une partie dense dénombrable de $\R$, faire converger les points un par un et ça va tout faire converger en extrayant une suite diagonale ? Je vais regarder comment rendre ça propre.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Bravo, mais il te manquerait le bijou pour conclure.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Ok, c'est bon. Les arguments sont qu'un produit dénombrable d'espaces séquentiellement compactss est séquentiellement compact et qu'une fonction convexe est déterminée par ses valeurs sur une partie dense de $\R$. edit : C'est incomplet, je regarderai plus tard.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Champ-Pot-Lion.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Tu es sûrement un génie... Mais effectivement c'est incomplet, et le bijou ne peut pas être trouvé par un génie, sinon je ne l'aurais pas trouvé.

PS : je ne dis pas que je suis plus "fort" qu'un génie, je dis juste qu'il faut être simplement humain pour se rendre compte de certaines choses...



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
A priori, (je n'ai pas regardé le détail) ta question se règle avec Arzelà-Ascoli et un argument diagonal. Tu imposes que la famille de fonction soit ponctuellement bornée, couplé avec l'hypothèse de convexité cela impose l'équicontinuité sur tout compact.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Citation
mojojojo
couplé avec l'hypothèse de convexité cela impose l'équicontinuité sur tout compact.
Tu serais saurais montrer cela... et non le bijou, je ne l'ai pas encore dévoilé.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Citation
pourexemple
Tu serais montré cela...

Je suppose que tu voulais dire "tu saurais montrer cela ?"



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par mojojojo.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
De mon téléphone : le "bijou" grinning smiley s'appelle juste le théorème de Tychonoff et la convexité ne sert à rien. Je crois que ces matériaux sont au programme de tous les cursus (de maths pures), voire même à l'agreg. (Au capes peut être plus). Mais je ne suis pas sûr c ar j'ai un vague souvenir d'aléa dénonçant la disparition de la topologie aux concours mais vague.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
@CC : comme le reconnaît ici : [www.les-mathematiques.net]
Champollion cela ne suffirait pas, sauf si je l'ai mal compris.

PS : dans mon explication la convexité est essentielle.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
CC : je ne suis pas d'accord, sans la convexité on n'a clairement plus les hypothèses du théorème D'Arzelà-Ascoli, qui est un si et seulement si.

Pourexemple : j'essaye de t'écrire ça ce soir, en espérant que je ne me sois pas trompé.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
Je poste de mon téléphone pardon j'ai oublié l'astérisque que je voulais mettre. Elle ne sert pas à établir la.compacité et sa façon de servir à fournir une suite extraite la rend relativement "trop forte"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
@mojojojo: certes on peut vouloir passer par Ascoli mais dire qu'on ne peut pas exploiter Ascoli au détour de telle ou telle étape n'est pas un "drame". PE demande un convergence simple. Dans ce cas il y a foison d'hypothèses moins violentes. Pour une convergence uniforme sur IR tout entier je n'ai pas regardé les détails il est très probable que ce sera non. Mais sur IR n intervalle compact peut être est-ce oui

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
Mais mon explication permet d'expliquer le résultat que Mojojojo veut expliquer,
Rappelons que je mets rarement le résultat dans toute sa généralité, car sinon il est trop simple (comme le bijou)...
Il suffit juste de remarquer qu'il est vrai...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
il y a deux années
avatar
@ CC : ok pour ton astérisque. C'est vrai qu'on doit pouvoir s'en sortir avec moins d'efforts avec Tychonoff.

@ PE :

Supposons que $F=\{f_k\}_k$ ne soit pas équicontinue sur $\mathbf R$, alors il existe $x$ telle que $F$ ne soit pas équicontinue en $x$. Ceci veut dire qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tout $\eta>0$ il existe $y\in ]x-\eta,x+\eta[$ et $k\in \mathbf N$ tels que $|f_k(x)-f_k(y)|>\varepsilon$. Maintenant on regarde la droite passant par $(x,f_k(x))$ et $(y,f_k(y))$, son coefficient directeur doit tendre vers $\pm \infty$ lorsque l'on fait tendre $\eta$ vers $0$ mais par convexité $(t,f_k(t))$ est au dessus de cette droite en dehors de l'intervalle $[x;y]$ (ou $[y;x]$), ce qui va contredire l'hypothèse de bornitude ponctuelle.
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