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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 11:29
avatar
Non, mais jusqu'à ces 15 dernières secondes je ne connaissais pas non plus le résultat 41651561+151516516=193168077.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 11:32
avatar
@Mojojo : on juge un arbre à ses fruits, on verra bien si ce résultat (qui serait connu depuis au moins que l'agreg existe) donne de [édit1]nouveaux résultats débloque d'anciennes conjectures[\édit1] (avec un ancien résultat) ce qui serait vraiment très surprenant, non ?



Modifié 4 fois. Dernière modification le 19/04/2017 11:41 par pourexemple.
Dom
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 11:41
Bon, je ne connais rien à l'histoire des fonctions convexes et de leurs études, mais j'imagine que ceux qui se sont penchés sur la question avaient trouvé ce résultat : c'est de l'analyse qui utilise des théorèmes de L1-L2.

Attention, je suis d'accord sur le caractère "surprenant" comme d'ailleurs la continuité des fonctions convexes (sur un intervalle ouvert, car cela ne fonctionne pas sur un segment).
On a plein de résultats de ce genre, plus ou moins élaborés sur les fonctions convexes.

Par exemple : le domaine de dérivabilité des fonctions convexes ou encore "un théorème de Dini" (où la convergence simple sur un segment entraîne la convergence uniforme). C'est d'ailleurs avec ce dernier que l'on peut construire la fonction exponentielle, et tiens, je crois bien que ça fait un bon développement à l'agreg d'ailleurs pour revenir aux moutons.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 11:41
avatar
Mouais... Personnellement je ne suis pas partisan de ton jeu "d'habillage d'énoncé" qui essayes de cacher "l'astuce" à utiliser.

À part ça il y a tout un tas de résultats qui sont sans noms et qui s'en portent très bien, je pense qu'il en va de même pour celui-ci winking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/04/2017 11:43 par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 11:44
avatar
Citation
Mojojo
je pense qu'il en va de même pour celui-ci

Je vote pour, mais on verra si oui ou non, ce lemme permet ou non de tomber d'anciennes conjectures ce qui serait pour le moins surprenant.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/04/2017 11:45 par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 14:49
avatar
Citation
pourexemple
ce qui serait pour le moins surprenant.

Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable... Ce résultat est plus que classique pour qui fait un peu d'analyse convexe, et comme l'a déjà dit Dom, c'est un résultat classique de la leçon "fonction monotones, fonction convexes" de l'agreg.

Comme l'a dit mojojojo, il y a tout un tas de résultats (c'est même une majorité) qui ne portent pas de noms.
Par exemple, le résultat qui dit que si une fonction convexe de $\R\rightarrow \R$ est dérivable sa dérivée est croissante ne porte pas davantage de nom, ni celui qui dit qu'une fonction (toujours de $\R\rightarrow\R$) est deux fois dérivable alors sa dérivée seconde est positive.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 15:22
avatar
Citation
Oméga
Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable...

Qui vivra verra.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 19/04/2017 15:32 par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 15:55
Attention : dire que c'est un item à connaitre à l'agreg peut faire croire aux lecteurs éloignés du sérail que ce "n'est que en préparant l'agreg" qu'on aborde ce genre de trucs de base. Or ici, il n'en est rien, il y a encore 20-25ans, ça pouvait tomber en exo (éventuellement guidé) dans toute fac ou école de bac+1 d'initiation aux maths, pour permettre aux moins forts de marquer aussi des points. Voire même était purement et simplement présent avec "un numéro de série" dans les cours.

D'autant qu'il s'agit d'un phénomène affirmant la régularité et la calculabilité de quelque chose, que souvent les enseignants dans leur quasi unanimité transmettent beaucoup plus que quelques contre-exemples abstraits inattendus car ont l'impression de devoir l'utiliser 1000 fois ensuite, donc refusent de le redémontrer à chaque fois.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/04/2017 15:57 par skyffer3.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 16:07
avatar
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 19:46
Ce qui est amusant mais bien plus difficile à montrer c'est qu'une fonction convexe sur $\mathbb{R}^{n}$ qui admet des dérivées partielles (suivant un système d'axes orthonormés, fixé à l'avance) en tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ est en fait $C^{1}.$
Bonne chance!
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
19 avril 2017, 20:57
avatar
C'est le theoreme 1.5.2 du livre [books.google.com]

Signature: Je suis de passage .
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
20 avril 2017, 09:01
avatar
Salut,

@BobbyJoe :

il suffirait d'avoir le résultat suivant (dans le cas $\R^2$) :

Si $f$ fonction de $\R^2$ dans $\R$ est tel que $$\forall x \in \R, \forall u,v \in \R, \text{ si } u \leq v \text{ alors } f(x,u)\leq f(x,v)$$

$$\forall x \in \R, \forall C \subset \R^2, \text{ si } C \text{ connexe, alors } f(C) \text{ connexe } $$

Alors $f$ continue.

J'ai bon ?

Cordialement.



Modifié 4 fois. Dernière modification le 20/04/2017 09:07 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 16:14
avatar
Salut,

Derrière ceci, il y a un bijou, plus précieux, que le bijou en lien.

Cordialement.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/04/2017 21:34 par AD.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 16:23
avatar
Je m'explique, si ce résultat (en lien) est connu, c'est que le bijou derrière ce résultat est peut-être connu, sinon, il n'est sûrement pas connu.

Le résultat est le suivant :

Si on considère une suite de fonction réel convexe, bornée simplement. Alors on peut en extraire une sous suite convergent simplement.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 16:28 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:26
J'ai du mal à comprendre ton résultat. Que veut dire que la suite est bornée simplement ? Chaque fonction est bornée ? Impossible car convexité, on alors elles sont constantes. Bornées par une fonction convexe ? C'est trop faible.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:29
avatar
Regarde le lien (sur le mot ceci).
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:37
Ah oui, j'ai compris, merci. Je vois grossièrement pourquoi, il faut prendre une partie dense dénombrable de $\R$, faire converger les points un par un et ça va tout faire converger en extrayant une suite diagonale ? Je vais regarder comment rendre ça propre.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:42
avatar
Bravo, mais il te manquerait le bijou pour conclure.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:46
Ok, c'est bon. Les arguments sont qu'un produit dénombrable d'espaces séquentiellement compactss est séquentiellement compact et qu'une fonction convexe est déterminée par ses valeurs sur une partie dense de $\R$. edit : C'est incomplet, je regarderai plus tard.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/04/2017 17:47 par Champ-Pot-Lion.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 17:50
avatar
Tu es sûrement un génie... Mais effectivement c'est incomplet, et le bijou ne peut pas être trouvé par un génie, sinon je ne l'aurais pas trouvé.

PS : je ne dis pas que je suis plus "fort" qu'un génie, je dis juste qu'il faut être simplement humain pour se rendre compte de certaines choses...



Modifié 3 fois. Dernière modification le 27/04/2017 18:01 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:11
avatar
A priori, (je n'ai pas regardé le détail) ta question se règle avec Arzelà-Ascoli et un argument diagonal. Tu imposes que la famille de fonction soit ponctuellement bornée, couplé avec l'hypothèse de convexité cela impose l'équicontinuité sur tout compact.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:15
avatar
Citation
mojojojo
couplé avec l'hypothèse de convexité cela impose l'équicontinuité sur tout compact.
Tu serais saurais montrer cela... et non le bijou, je ne l'ai pas encore dévoilé.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 27/04/2017 18:25 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:17
avatar
Citation
pourexemple
Tu serais montré cela...

Je suppose que tu voulais dire "tu saurais montrer cela ?"



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 18:18 par mojojojo.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:21
De mon téléphone : le "bijou" grinning smiley s'appelle juste le théorème de Tychonoff et la convexité ne sert à rien. Je crois que ces matériaux sont au programme de tous les cursus (de maths pures), voire même à l'agreg. (Au capes peut être plus). Mais je ne suis pas sûr c ar j'ai un vague souvenir d'aléa dénonçant la disparition de la topologie aux concours mais vague.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:23
avatar
@CC : comme le reconnaît ici : [www.les-mathematiques.net]
Champollion cela ne suffirait pas, sauf si je l'ai mal compris.

PS : dans mon explication la convexité est essentielle.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 18:24 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:25
avatar
CC : je ne suis pas d'accord, sans la convexité on n'a clairement plus les hypothèses du théorème D'Arzelà-Ascoli, qui est un si et seulement si.

Pourexemple : j'essaye de t'écrire ça ce soir, en espérant que je ne me sois pas trompé.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:30
Je poste de mon téléphone pardon j'ai oublié l'astérisque que je voulais mettre. Elle ne sert pas à établir la.compacité et sa façon de servir à fournir une suite extraite la rend relativement "trop forte"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:35
@mojojojo: certes on peut vouloir passer par Ascoli mais dire qu'on ne peut pas exploiter Ascoli au détour de telle ou telle étape n'est pas un "drame". PE demande un convergence simple. Dans ce cas il y a foison d'hypothèses moins violentes. Pour une convergence uniforme sur IR tout entier je n'ai pas regardé les détails il est très probable que ce sera non. Mais sur IR n intervalle compact peut être est-ce oui

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 18:39
avatar
Mais mon explication permet d'expliquer le résultat que Mojojojo veut expliquer,
Rappelons que je mets rarement le résultat dans toute sa généralité, car sinon il est trop simple (comme le bijou)...
Il suffit juste de remarquer qu'il est vrai...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 18:41 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 19:45
avatar
@ CC : ok pour ton astérisque. C'est vrai qu'on doit pouvoir s'en sortir avec moins d'efforts avec Tychonoff.

@ PE :

Supposons que $F=\{f_k\}_k$ ne soit pas équicontinue sur $\mathbf R$, alors il existe $x$ telle que $F$ ne soit pas équicontinue en $x$. Ceci veut dire qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tout $\eta>0$ il existe $y\in ]x-\eta,x+\eta[$ et $k\in \mathbf N$ tels que $|f_k(x)-f_k(y)|>\varepsilon$. Maintenant on regarde la droite passant par $(x,f_k(x))$ et $(y,f_k(y))$, son coefficient directeur doit tendre vers $\pm \infty$ lorsque l'on fait tendre $\eta$ vers $0$ mais par convexité $(t,f_k(t))$ est au dessus de cette droite en dehors de l'intervalle $[x;y]$ (ou $[y;x]$), ce qui va contredire l'hypothèse de bornitude ponctuelle.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 19:52
avatar
@Mojojojo : je demande à voir cela pour le moins d'effort avec Tychonoff.

Ensuite, es-tu convaincu par ton explication ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 19:53 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 20:49
avatar
Si $f$ est convexe sur $[a,b]$, on montre que : $\max_{x\in[a,b]} |f(x)| \leq 3\max\left\{|f(a)|, |f(b)|, |f(\tfrac{a+b}2)|\right\}.$
Mais je suis peut-être hors-sujet.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 20:59 par Siméon.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 21:23
avatar
Citation
pourexemple
Ensuite, es-tu convaincu par ton explication ?

C'est quoi comme question ça ? moi j'en suis plutôt convaincu, et toi ?

@Siméon : je ne vois pas où est-ce que tu veux en venir.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 21:39
avatar
@Siméon : es-tu convaincu par la preuve de Mojojojo ?

Sinon, tu chauffes par un certain aspect et refroidis d'un autre aspect.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 27/04/2017 21:41 par AD.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
27 avril 2017, 22:06
@PE: menfin PE, Tychonoff te donne la compacité des parties de $E:=[0,1]^{[0,1]}$ qui t'intéressent ($E$ étant doté de la topologie de la convergence simple). La seule chose que tu n'as pas et que tu dois établir à la main (quand c'est prouvable), c'est l'existence d'une suite extraite***. Mais la compacité a fait 99.9% du taf, le reste est un exo <<d'étudiant de L2>> (en théorie), puisque ne comporte que de la rédaction.

La convexité est une condition "fermée" en ce sens que les éléments de $E$ qui sont convexes forment un ensemble fermé (il suffit de 3 points de la courbe pour attester d'une non convexité)

*** si c'est métrisable, c'est académiquement admis car classique et prouvé depuis longtemps et sinon, c'est de l'artisanat (ou à la rigueur Ascoli quand on espère une convergence uniforme**** ce qui semble raisonnable avec des convexes, flemme de vérifier). Mais je n'en parle que parce que TU DEMANDES TOI des suites extraites (sans qu'il soit bien clair que tu l'aies fait exprès, je soupçonne, pardonne-moi si je me trompe, que tu cherchais la compacité et a "trouvé les suites extraites" incidemment)

**** et à nouveau la convergence uniforme***** ramène la métrisabilité par la fenêtre si elle était sortie par la porte, donc "donne gratuitement" une suite extraite.

***** $d(f,g):=sup_x (d(f(x),g(x)))$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
28 avril 2017, 00:48
avatar
@pourexemple : Je ne comprends pas vraiment ton comportement... Je ne réponds pas pour prouver à toi, à moi ou à quelqu'un d'autre que je sais résoudre ton problème. Je réponds en général parce que ça m’intéresse, que je pense que ça intéresse quelqu'un d'autre ou que je pense que ça peut aider. Si tu as des questions, si tu ne comprends pas ma démonstration même après avoir fait des efforts je veux bien essayer de reformuler. Mais en général tu n'apportes rien à la discussion à part des "pas convaincu" et un "bravo" si jamais la démonstration convient à monsieur. Cela ne m'amuse pas de jouer à ce genre de jeu et je me fiche que ma rédaction convienne à tes standards ou non, je vais donc arrêter de répondre à ce fil.

Mais bon, pour être honnête tu apportes les questions que tu inventes à la discussion et je dois avouer que je les trouve en général assez divertissantes, même si (comme je te l'ai déjà dit) je ne suis pas fan de ta philosophie de créer un énoncé pour "camoufler l'astuce".

@CC : attention quand même, $[0;1]^{\mathbf R}$ n'est pas séquentiellement compact donc gare...


EDIT : le fil dans lequel j'ai originellement posté ce message a été fusionné avec un autre, est-ce que je peux toujours poster ici sans me parjurer ? eye rolling smiley



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/04/2017 23:18 par mojojojo.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
28 avril 2017, 01:45
avatar
@Mojojojo : je t'avoue ne pas comprendre ton explication, et même pire ne pas savoir ce que je n'y ai pas compris, je ne me l'explique pas...

Bon aller je vous ai assez bassiné avec le bijou, le voilà donc :

Soit $I$ un ensemble, avec $(f_i)$ une famille de fonctions convexes, tel que $\forall x \in \R, \exists M \in \R, \forall i \in I, f_i(x)\leq M$.
Alors $F(x)=\text{Sup}\{f_i(x)|i\in I\}$ est une fonction convexe.


Si vous n'appréciez pas les encouragements (les bravo), pour ma part j'en ai besoin pour évaluer la pertinence de tel ou tel résultat, donc si vous pensez également que ce résultat est un bijou dîtes le. Merci.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2017 01:47 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
28 avril 2017, 07:14
De mon téléphone : je croyais que le bijou était ton truc d'avant grinning smiley. Je veux bien t'applaudir pour avoir rappelé qu' une intersection de convexes est convexe mais est-ce que ça va vraiment t'encourager?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
28 avril 2017, 07:25
avatar
Salut,

Et alors, on peut nommer un même résultat de plusieurs manières différentes (plus ou moins commode à utiliser), qui reste synonyme.
Et à la fin il ne reste que des évidences...

Au revoir.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2017 07:28 par pourexemple.
Re: Convexité résultat surprenant sans surprise ?
28 avril 2017, 07:37
avatar
Salut,

Les ingrédients du résultat :

1/Le bijou de la convexité.
2/Le théorème de Dini
3/Les fonctions convexes sur $\R$ (ou un ouvert) y sont continues.

Cordialement.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2017 07:40 par pourexemple.
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