pourexemple écrivait:
> $E=\text{gcd}(X+1,X+3)=2$, non ?
D'accord, $2$ divise $X+1$ dans $\Z[X]$ : $X+1= 2\times {?}$.
Pourexemple, un peu de sérieux ! Prétendre au niveau agreg avec de telles âneries, franchement !
@Joaopa : toute est relatif, est-ce moi qui m'enfonce, où vous qui planez complètement ?
Il suffit de trouver (U,V) coeff de [large]B[/large]ezout pour que je vous donne raison et alors j'essaie de sortir de mon trou, sinon cela sera à vous de redescendre sur terre...
L'identité de Bézout n'est pas toujours vérifiée : dans Z[X], les éléments 2 et X n'ont pas de facteur commun, pourtant l'idéal engendré par 2 et X n'est pas l'anneau tout entier. En fait, un anneau factoriel dans lequel l'identité de Bézout est satisfaite est un anneau principal.(source)
tel que :
$$\forall a,b\in A^2, \text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(b,a)$$
$$\forall u \in A, \text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(a-u\times b,b)$$
$$\forall a \in A, \text{pgcd}(a,a)=a$$
Le pgcd est définie à la constante multiplicative $-1$ prés.
Avec une telle définition le $\text{pgcd}$ vérifie Bezout par construction, non ?
Un pgcd est un plus grand [size=large]DIVISEUR[/size] commun.
Pour ta gouverne, $d$ est un pgcd de $a$ et $b$ dans l'anneau commutatif intégre $A$ quand
1°) $d$ est un [size=large]DIVISEUR[/size] commun de $a$ et $b$
et
2°) Tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise $d$.
PS. L'algorithme d'Euclide de calcul du pgcd fonctionne dans un anneau EUCLIDIEN. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'ils s'appellent comme ça. $\Q[X]$ est un anneau euclidien. $\Z[X]$ n'est pas un anneau euclidien. C'est par contre un anneau factoriel.
@pourexemple : Si tu veux une alternative à ton axiomatisation, on peut considérer plutôt $A^2$ modulo les transformations linéaires inversibles. Je ne sais pas ce que ça donne dans le cas non euclidien.
-182,183 : entiers homonymes et synonymes (182 Tombé par Depasse)
-184 : suites convergentes convexes Tombé par Siméon
-185 : les fonctions holdériennes
-186 : l'égalité impossible ? Tombé par Depasse
-187 : produit en série
-190 : étrange ou archi-classique Tombé par GaBuZoMeu
-192 : le bijou caché de la convexité ? Tombé par Siméon
-193 : l'inégalité tonitruante ? Tombé par Siméon
-194 : un nouveau bijou ? Tombé par Champollion
-195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $ Tombé par Champollion
-196 : polynômes divertissants Tombé par Cidrolin
-197 : propriété fonction multiplicative.
-198 : retour des polynômes + Tombé par Siméon
-199 : retour des polynômes ++ Tombé par Siméon
-200 : une histoire de puissance et de diviseur Tombé par Depasse
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-202 : C.S. d'irréductibilité sur $\Z[x]$
-203 : la transcendance low-cost. Tombé par Siméon
-204 : des polynômes intégrés Tombé par Siméon
-205 : critère transcendant
J'ai calculé la solution pour l'énoncé 199 avec une exponentiation de matrice. Les coefficients du polynôme sont, dans l'ordre, les $-\frac{1}{2} \Re(u_i e^i)$ avec les $u_i$ listés ci-dessous.
$i-2$
$1+3i$
$i$
$1+i$
J'espère ne pas m'être embrouillé dans les calculs.
edit : J'avais rajouté des $x$ qui ne voulaient rien dire.
@Joaopa :
-201 (en suspend),
-202 j'attends toujours un lien vers la solution
-187 pourquoi serait-il foireux, il manque juste certaines hypothèses (pour être sûr), je change cela et tu m'expliques en quoi il serait toujours foireux.
@Champollion : comment es-tu garantie que la suite de polynômes converge, et que vaudrait la limite ?
@Joaopa Merci du partage. On peut toujours récupérer les articles sur jstor en créant un compte bidon et en enregistrant les images mais c'est un peu pourri.
@pourexemple J'ai juste prouvé la convergence en réécrivant la somme et en utilisant le fait que l'exponentielle d'une matrice existe. Je n'ai pas fini de bien théoriser ça mais de manière ad-hoc on prend la matrice
C'est la matrice compagnon du polynôme ou quelque chose comme ça. On a « implémenté » une solution générique à $(x^2+1)^2$. Alors en prenant l'exponentielle de $A$ appliquée au vecteur $(1,0,0,0)$, on obtient ce qu'on veut. La somme qu'on veut est exactement la même, si l'un converge, l'autre aussi. Ensuite j'ai utilisé sage.
On peut réécrire le polynôme que j'ai donné comme suit, en posant $(c,s) := (\cos(1),\sin(1))$ et ça donne $\frac{2c-s}{2} + \frac{3s-c}{2}x + \frac{s}{2} x^2 + \frac{s-c}{2} x^3$.
@pourexemple À la place de l'algorithme d'[large]E[/large]uclide, pourquoi ne regardes-tu pas la classe d'équivalence modulo les transformations linéaires inversibles ? Ça me semblerait déjà plus intéressant et je ne crois pas que ce soit équivalent dans le cas général.
198 : Soit $R_n$ le reste de $P_n$ dans la division euclidienne par $(X+1)^2+1$ et soient $\alpha$ et $\beta$ les deux racines de $(X+1)^2 + 1$. Il existe $a_n$ et $b_n$ tels que $R_n = a_n x + b_n$. De plus, $R_n(\alpha)=P_n(\alpha)$ et $R_n(\beta) = P_n(\beta)$. On en déduit que :
\[
\begin{bmatrix}P_n(\alpha)\\P_n(\beta)\end{bmatrix} = V(\alpha,\beta) \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\end{bmatrix}\qquad \text{avec } V(\alpha,\beta) =\begin{bmatrix}\alpha & 1\\\beta & 1\end{bmatrix}.
\]
Puisque $\alpha \neq \beta$, la matrice de Vandermonde $V(\alpha,\beta)$ est inversible (interpolation de Lagrange) et on obtient $\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix} \xrightarrow[n\to\infty]{} V(\alpha,\beta)^{-1}\begin{pmatrix}e^\alpha\\e^\beta\end{pmatrix}.$
199 : On procède de même en écrivant $R_n = a_n x^3 + b_n x^2 + c_n x + d_n$. Les racines de $(X^2+1)^2$ sont $i$ et $-i$, elles sont doubles, donc $P_n$ et $R_n$ ainsi que leurs polynômes dérivés coïncident en $i$ et en $-i$. On obtient :
\[
\begin{bmatrix}P_n(i)\\P_n'(i)\\P_n(-i)\\P_n'(-i)\end{bmatrix} = H \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\\ c_n\\ d_n\end{bmatrix}
\]
pour une certaine matrice $H$ inversible (interpolation de Hermite).
184 Soit $K$ une fonction $C^2$ positive et à support compact telle que $\int_\R K = 1$ (choisis celle que tu préfères).
Alors pour tout fonction $\phi$ convexe sur $\R$, la fonction
\[
\phi_n : x \mapsto \int_{\R} \phi(x+\tfrac tn) K(t) dt
\]
est convexe et de classe $C^2$. De plus, $\phi_n$ converge simplement vers $\phi$.
@Joaopa : la preuve fait quelque ligne et je me contenterais des ingrédients (des résultats utilisés), en effet ton lien est payant.
@Champollion : dommage tu ne donnes pas de sens à toutes tes calculs, donc je ne sais pas ce que tu calcules, même s'il me semble que ta conclusion est bonne.
Pas d'algorithme d'Euclide, donc, pour définir ton "dgcd".
Une définition qui tienne la route pourrait être :
Si $P=Q=0$, $\mathrm{dgcd}(P,Q)=0$.
Sinon, soit $d$ le minimum de l'ensemble des degrés des éléments non nuls de l'idéal $\langle P, Q\rangle$. Le $\Z$-module des éléments de $\langle P, Q\rangle$ qui sont exactement de degré $d$ est de la forme $\Z D$, pour un unique $D$ à coefficient dominant $>0$. On pose $\mathrm{dgcd}(P,Q)=D$.
203 Posons $\displaystyle P_n = 1 - \sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}x^k$ pour tout $n \in \N$, en remarquant que $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{(k+1)!} = 1$.
Si $n+1$ est premier, alors $P_n$ est irréductible (critère d'Eisenstein). Pourtant $1$ n'est pas transcendant.
Soit $P$ un polynôme de degré $n$. L'idée est de calculer $x^k$ modulo $P$ de la manière suivante. On se place sur $\C^n$. Le vecteur $(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$ représente le polynôme $a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1}$. La multiplication par $X$ donne l'application linéaire représentée par la matrice compagnon de $P$. Soit $A$ cette matrice compagnon. L'exercice demande de calculer $e^A$ appliqué au vecteur $(1,0,0,\dots,0)$.
On peut penser à un endomorphisme de $\C^n$ (certains, pas tous) comme la multiplication par un certain polynôme. La récupération de ce polynôme s'effectue en appliquant l'endomorphisme à $(1,0,0,\dots,0)$.
On a « implémenté » $\C[X]/(P)$ dans $\mathrm{End}(\C^n)$. On a un morphisme injectif envoyant $X$ sur la matrice compagnon de $P$.
@GaBuZoMeu : alors on n'a pas forcément l'unicité, en imposant que celui-ci soit le plus petit (strictement positif) pour l'ordre lexicaux graphique, alors la question est réglée.
@Champollion : la définition mixée de GaBuZoMeu et celle que je propose, permet de trancher la question du dgcd, non ?
Mais continue à creuser, peut-être tombera sur des bijoux inattendus, je te demanderais juste d'en réserver la primauté (juste l'énoncé) à ce fil.
énoncé 205 :critère transcendant ?
Soient $f(x)=\sum \limits_{k \geq 0 }a_k x^k=\lim \limits_{n\rightarrow \infty }P_n(x)$ série entière à coefficients entiers, de rayon de convergence $r$.
$\phi : \N \rightarrow \N$, $\phi$ strictement croissante.
On suppose $\alpha \in \C, |\alpha|<r,| f(\alpha)=0$ et $\forall n \in\N, P_{\phi(n)}$ irréductible, et $Q \in \Z[x]$ avec $Q(\alpha)=0$, $Q$ irréductible et unitaire.
@GaBuZoMeu : alors on n'a pas forcément l'unicité, en imposant que celui-ci soit le plus petit (strictement positif) pour l'ordre lexicaux graphique, alors la question est réglée.
On a bien sûr l'unicité, et je ne comprends pas ce que tu écris (même en réparant "lexicaux graphique" :-D).
Nous savons ce que c'est que l'ordre lexicographique, ce lien était inutile.
Par contre, contrairement à ce que tu as l'air de penser, l'orthographe importe beaucoup.
Réponses
$$E=\text{gcd}(X+1,X+3 \mod X+1)=\text{gcd}(X+1,2)=2$$
$$\forall P,Q \in \Z[x], \forall i \in \N, \text{ si } i \geq \max\{ \max\{\frac{|a_k|}{|a_n|},\frac{|b_k|}{|b_m|}\} | k\in [0,n-1]\}+2 \text{ alors } \text{gcd}(Q(x),P(x))(i)=\text{gcd}(Q(i),P(i))$$
$P(x)=\sum a_k x^k$ $Q(x)=\sum b_kx^k$ et $n=\text{degré}(P)\geq \text{degré}(Q)=m$
pas besoin.
> $E=\text{gcd}(X+1,X+3)=2$, non ?
D'accord, $2$ divise $X+1$ dans $\Z[X]$ : $X+1= 2\times {?}$.
Pourexemple, un peu de sérieux ! Prétendre au niveau agreg avec de telles âneries, franchement !
GaBuZoMeu un peu de sérieux ! Prétendre répondre à des casses-têtes niveau agreg avec de telles âneries, franchement !
Il suffit de trouver (U,V) coeff de [large]B[/large]ezout pour que je vous donne raison et alors j'essaie de sortir de mon trou, sinon cela sera à vous de redescendre sur terre...
On m'aurait menti ?
tel que :
$$\forall a,b\in A^2, \text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(b,a)$$
$$\forall u \in A, \text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(a-u\times b,b)$$
$$\forall a \in A, \text{pgcd}(a,a)=a$$
Le pgcd est définie à la constante multiplicative $-1$ prés.
Avec une telle définition le $\text{pgcd}$ vérifie Bezout par construction, non ?
Pour ta gouverne, $d$ est un pgcd de $a$ et $b$ dans l'anneau commutatif intégre $A$ quand
1°) $d$ est un [size=large]DIVISEUR[/size] commun de $a$ et $b$
et
2°) Tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise $d$.
PS. L'algorithme d'Euclide de calcul du pgcd fonctionne dans un anneau EUCLIDIEN. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'ils s'appellent comme ça. $\Q[X]$ est un anneau euclidien. $\Z[X]$ n'est pas un anneau euclidien. C'est par contre un anneau factoriel.
Soit $U,V\in\Z[X]$ tels que $U(X)(X+1)+V(X)(X+3)=1$.
Que peut bien vérifier $V(-1)$ ?
Pour l'instant suspendu, je cherche $P \in \Z[X]$ tel que $2 \times P(X)=X+1$
-http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1321716
-http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1359656
-http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1316233
-http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1372414,1372508#msg-1372508
-http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1450546
Casses-têtes niveaux agreg :
-182,183 : entiers homonymes et synonymes (182 Tombé par Depasse)
-184 : suites convergentes convexes Tombé par Siméon
-185 : les fonctions holdériennes
-186 : l'égalité impossible ? Tombé par Depasse
-187 : produit en série
-190 : étrange ou archi-classique Tombé par GaBuZoMeu
-192 : le bijou caché de la convexité ? Tombé par Siméon
-193 : l'inégalité tonitruante ? Tombé par Siméon
-194 : un nouveau bijou ? Tombé par Champollion
-195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $ Tombé par Champollion
-196 : polynômes divertissants Tombé par Cidrolin
-197 : propriété fonction multiplicative.
-198 : retour des polynômes + Tombé par Siméon
-199 : retour des polynômes ++ Tombé par Siméon
-200 : une histoire de puissance et de diviseur Tombé par Depasse
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-202 : C.S. d'irréductibilité sur $\Z[x]$
-203 : la transcendance low-cost. Tombé par Siméon
-204 : des polynômes intégrés Tombé par Siméon
-205 : critère transcendant
Les incontournables : ici.
Cordialement.
202 déjà solutionné : A barrer
J'espère ne pas m'être embrouillé dans les calculs.
edit : J'avais rajouté des $x$ qui ne voulaient rien dire.
@Joaopa :
-201 (en suspend),
-202 j'attends toujours un lien vers la solution
-187 pourquoi serait-il foireux, il manque juste certaines hypothèses (pour être sûr), je change cela et tu m'expliques en quoi il serait toujours foireux.
@Champollion : comment es-tu garantie que la suite de polynômes converge, et que vaudrait la limite ?
Cordialement.
$$\forall P,Q \in \Z[x], \forall i \in \Z, \text{ si } P(i),Q(i) \text{ non nuls, alors } \text{pgcd}(Q(x),P(x))(i) \text{ | } \text{pgcd}(Q(i),P(i)) \text{ | dgcd}(Q(x),P(x))(i)$$
avec $\text{dgcd}$ définie à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
$\text{dgcd}$ et $\text{pgcd}$ ne sont pas les mêmes opérations, avec $\text{pgcd}(a,b) \text{ | } \text{dgcd}(a,b) $
Et en cadeau l'article( dans une semaine le lien s'autodétruira...)
Murty
@pourexemple J'ai juste prouvé la convergence en réécrivant la somme et en utilisant le fait que l'exponentielle d'une matrice existe. Je n'ai pas fini de bien théoriser ça mais de manière ad-hoc on prend la matrice
$$A := \begin{pmatrix}
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&-2\\
0&0&1&0\\
\end{pmatrix}\text{.}$$
C'est la matrice compagnon du polynôme ou quelque chose comme ça. On a « implémenté » une solution générique à $(x^2+1)^2$. Alors en prenant l'exponentielle de $A$ appliquée au vecteur $(1,0,0,0)$, on obtient ce qu'on veut. La somme qu'on veut est exactement la même, si l'un converge, l'autre aussi. Ensuite j'ai utilisé sage.
On peut réécrire le polynôme que j'ai donné comme suit, en posant $(c,s) := (\cos(1),\sin(1))$ et ça donne $\frac{2c-s}{2} + \frac{3s-c}{2}x + \frac{s}{2} x^2 + \frac{s-c}{2} x^3$.
C'est bien d'avoir de l'imagination, à condition de ne pas écrire N'IMPORTE QUOI.
\[
\begin{bmatrix}P_n(\alpha)\\P_n(\beta)\end{bmatrix} = V(\alpha,\beta) \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\end{bmatrix}\qquad \text{avec } V(\alpha,\beta) =\begin{bmatrix}\alpha & 1\\\beta & 1\end{bmatrix}.
\]
Puisque $\alpha \neq \beta$, la matrice de Vandermonde $V(\alpha,\beta)$ est inversible (interpolation de Lagrange) et on obtient $\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix} \xrightarrow[n\to\infty]{} V(\alpha,\beta)^{-1}\begin{pmatrix}e^\alpha\\e^\beta\end{pmatrix}.$
199 : On procède de même en écrivant $R_n = a_n x^3 + b_n x^2 + c_n x + d_n$. Les racines de $(X^2+1)^2$ sont $i$ et $-i$, elles sont doubles, donc $P_n$ et $R_n$ ainsi que leurs polynômes dérivés coïncident en $i$ et en $-i$. On obtient :
\[
\begin{bmatrix}P_n(i)\\P_n'(i)\\P_n(-i)\\P_n'(-i)\end{bmatrix} = H \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\\ c_n\\ d_n\end{bmatrix}
\]
pour une certaine matrice $H$ inversible (interpolation de Hermite).
Alors pour tout fonction $\phi$ convexe sur $\R$, la fonction
\[
\phi_n : x \mapsto \int_{\R} \phi(x+\tfrac tn) K(t) dt
\]
est convexe et de classe $C^2$. De plus, $\phi_n$ converge simplement vers $\phi$.
@Joaopa : la preuve fait quelque ligne et je me contenterais des ingrédients (des résultats utilisés), en effet ton lien est payant.
@Champollion : dommage tu ne donnes pas de sens à toutes tes calculs, donc je ne sais pas ce que tu calcules, même s'il me semble que ta conclusion est bonne.
@GaBuZoMeu : dgcd(5X+1,3X+1)=dgcd((15X+5)-(15X+3),5X+1,3X+1)=dgcd(2,5X+1,3X+1)=2
@Champollion : si l'algo d'Euclide n'y suffit pas, pourquoi pas ?
@Siméon : Bravo, j'ai quasi-ment les mêmes solutions (pour les 3)
Cordialement.
Une définition qui tienne la route pourrait être :
Si $P=Q=0$, $\mathrm{dgcd}(P,Q)=0$.
Sinon, soit $d$ le minimum de l'ensemble des degrés des éléments non nuls de l'idéal $\langle P, Q\rangle$. Le $\Z$-module des éléments de $\langle P, Q\rangle$ qui sont exactement de degré $d$ est de la forme $\Z D$, pour un unique $D$ à coefficient dominant $>0$. On pose $\mathrm{dgcd}(P,Q)=D$.
Si $n+1$ est premier, alors $P_n$ est irréductible (critère d'Eisenstein). Pourtant $1$ n'est pas transcendant.
Soit $P$ un polynôme de degré $n$. L'idée est de calculer $x^k$ modulo $P$ de la manière suivante. On se place sur $\C^n$. Le vecteur $(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$ représente le polynôme $a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1}$. La multiplication par $X$ donne l'application linéaire représentée par la matrice compagnon de $P$. Soit $A$ cette matrice compagnon. L'exercice demande de calculer $e^A$ appliqué au vecteur $(1,0,0,\dots,0)$.
On peut penser à un endomorphisme de $\C^n$ (certains, pas tous) comme la multiplication par un certain polynôme. La récupération de ce polynôme s'effectue en appliquant l'endomorphisme à $(1,0,0,\dots,0)$.
On a « implémenté » $\C[X]/(P)$ dans $\mathrm{End}(\C^n)$. On a un morphisme injectif envoyant $X$ sur la matrice compagnon de $P$.
@GaBuZoMeu : alors on n'a pas forcément l'unicité, en imposant que celui-ci soit le plus petit (strictement positif) pour l'ordre lexicaux graphique, alors la question est réglée.
@Siméon : 203 Bravo.
@Champollion : la définition mixée de GaBuZoMeu et celle que je propose, permet de trancher la question du dgcd, non ?
Mais continue à creuser, peut-être tombera sur des bijoux inattendus, je te demanderais juste d'en réserver la primauté (juste l'énoncé) à ce fil.
Cordialement.
A-t-on $$\forall n \in \N,\exists M>0, \forall P \in \R[x], \text{ si degré}(P)\leq n, \sum \limits_{k=0}^n (P(k))^2 \leq M \int_0^n (P(t))^2 \text{ dt}$$ ?
Soient $f(x)=\sum \limits_{k \geq 0 }a_k x^k=\lim \limits_{n\rightarrow \infty }P_n(x)$ série entière à coefficients entiers, de rayon de convergence $r$.
$\phi : \N \rightarrow \N$, $\phi$ strictement croissante.
On suppose $\alpha \in \C, |\alpha|<r,| f(\alpha)=0$ et $\forall n \in\N, P_{\phi(n)}$ irréductible, et $Q \in \Z[x]$ avec $Q(\alpha)=0$, $Q$ irréductible et unitaire.
A-t-on $\exists \beta \in \C, Q(\beta)=0 \text{ et } |\beta| \geq r$ ?
Cordialement.
L'ordre lexicaux graphique (du dictionnaire).
Nous savons ce que c'est que l'ordre lexicographique, ce lien était inutile.
Par contre, contrairement à ce que tu as l'air de penser, l'orthographe importe beaucoup.
Cordialement,
Rescassol