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"il est facile de" la preuve :
Trop bien Shtam ! 
Salut,
Casses-têtes niveaux agreg :
- 182,183 : entiers homonymes et synonymes (182 Tombé par Depasse)
- 184 : suites convergentes convexes Tombé par Siméon
- 185 : les fonctions holdériennes
- 186 : l'égalité impossible ? Tombé par Depasse
- 187 : produit en série
- 190 : étrange ou archi-classique Tombé par GaBuZoMeu
- 192 : le bijou caché de la convexité ? Tombé par Siméon
- 193 : l'inégalité tonitruante ? Tombé par Siméon
- 194 : un nouveau bijou ? Tombé par Champollion
- 195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $ Tombé par Champollion
- 196 : polynômes divertissants Tombé par Cidrolin
- 197 : propriété fonction multiplicative.
- 198 : retour des polynômes + Tombé par Siméon
- 199 : retour des polynômes ++ Tombé par Siméon
- 200 : une histoire de puissance et de diviseur Tombé par Depasse
- 201 : le bijou de l'arithmétique ?
- 202 : C.S. d'irréductibilité sur $\Z[x]$
- 203 : la transcendance low-cost. Tombé par Siméon
- 204 : des polynômes intégrés Tombé par Siméon
- 205 : critère transcendant
Les incontournables : ici.
Cordialement.
Modifié 6 fois. Dernière modification le 04/05/2017 14:38 par pourexemple.
201 Résultat faux. A barrer
202 déjà solutionné : A barrer
Modifié 1 fois. Dernière modification le 02/05/2017 23:31 par Joaopa.
Comme ça : A. 
187 énoncé encore une fois foireux.
J'ai calculé la solution pour l'énoncé 199 avec une exponentiation de matrice. Les coefficients du polynôme sont, dans l'ordre, les $-\frac{1}{2} \Re(u_i e^i)$ avec les $u_i$ listés ci-dessous.
J'espère ne pas m'être embrouillé dans les calculs.
edit : J'avais rajouté des $x$ qui ne voulaient rien dire.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 03/05/2017 00:18 par Champ-Pot-Lion.
Salut,
@Joaopa :
-201 (en suspend),
-202 j'attends toujours un lien vers la solution
-187 pourquoi serait-il foireux, il manque juste certaines hypothèses (pour être sûr), je change cela et tu m'expliques en quoi il serait toujours foireux.
@Champollion : comment es-tu garantie que la suite de polynômes converge, et que vaudrait la limite ?
Cordialement.
Le bijou de l'arithmétique version consensuelle :
$$\forall P,Q \in \Z[x], \forall i \in \Z, \text{ si } P(i),Q(i) \text{ non nuls, alors } \text{pgcd}(Q(x),P(x))(i) \text{ | } \text{pgcd}(Q(i),P(i)) \text{ | dgcd}(Q(x),P(x))(i)$$
avec $\text{dgcd}$ définie à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Citation
Gai Requin
Quelle est ta conclusion pour $\Z[X]$ ?
$\text{dgcd}$ et $\text{pgcd}$ ne sont pas les mêmes opérations, avec $\text{pgcd}(a,b) \text{ | } \text{dgcd}(a,b) $
202 : Le lien
Et en cadeau l'article( dans une semaine le lien s'autodétruira...)
Murty
@Joaopa Merci du partage. On peut toujours récupérer les articles sur jstor en créant un compte bidon et en enregistrant les images mais c'est un peu pourri.
@pourexemple J'ai juste prouvé la convergence en réécrivant la somme et en utilisant le fait que l'exponentielle d'une matrice existe. Je n'ai pas fini de bien théoriser ça mais de manière ad-hoc on prend la matrice
$$A := \begin{pmatrix}
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&-2\\
0&0&1&0\\
\end{pmatrix}\text{.}$$
C'est la matrice compagnon du polynôme ou quelque chose comme ça. On a « implémenté » une solution générique à $(x^2+1)^2$. Alors en prenant l'exponentielle de $A$ appliquée au vecteur $(1,0,0,0)$, on obtient ce qu'on veut. La somme qu'on veut est exactement la même, si l'un converge, l'autre aussi. Ensuite j'ai utilisé sage.
On peut réécrire le polynôme que j'ai donné comme suit, en posant $(c,s) := (\cos(1),\sin(1))$ et ça donne $\frac{2c-s}{2} + \frac{3s-c}{2}x + \frac{s}{2} x^2 + \frac{s-c}{2} x^3$.
Citation
dgcd définie à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Quel est le dgcd de $3X+1$ et de $5X+1$ ?
C'est bien d'avoir de l'imagination, à condition de ne pas écrire N'IMPORTE QUOI.
@pourexemple À la place de l'algorithme d' Euclide, pourquoi ne regardes-tu pas la classe d'équivalence modulo les transformations linéaires inversibles ? Ça me semblerait déjà plus intéressant et je ne crois pas que ce soit équivalent dans le cas général.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 03/05/2017 18:42 par AD.
198 : Soit $R_n$ le reste de $P_n$ dans la division euclidienne par $(X+1)^2+1$ et soient $\alpha$ et $\beta$ les deux racines de $(X+1)^2 + 1$. Il existe $a_n$ et $b_n$ tels que $R_n = a_n x + b_n$. De plus, $R_n(\alpha)=P_n(\alpha)$ et $R_n(\beta) = P_n(\beta)$. On en déduit que :
\[
\begin{bmatrix}P_n(\alpha)\\P_n(\beta)\end{bmatrix} = V(\alpha,\beta) \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\end{bmatrix}\qquad \text{avec } V(\alpha,\beta) =\begin{bmatrix}\alpha & 1\\\beta & 1\end{bmatrix}.
\]
Puisque $\alpha \neq \beta$, la matrice de Vandermonde $V(\alpha,\beta)$ est inversible (interpolation de Lagrange) et on obtient $\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix} \xrightarrow[n\to\infty]{} V(\alpha,\beta)^{-1}\begin{pmatrix}e^\alpha\\e^\beta\end{pmatrix}.$
199 : On procède de même en écrivant $R_n = a_n x^3 + b_n x^2 + c_n x + d_n$. Les racines de $(X^2+1)^2$ sont $i$ et $-i$, elles sont doubles, donc $P_n$ et $R_n$ ainsi que leurs polynômes dérivés coïncident en $i$ et en $-i$. On obtient :
\[
\begin{bmatrix}P_n(i)\\P_n'(i)\\P_n(-i)\\P_n'(-i)\end{bmatrix} = H \begin{bmatrix}a_n\\ b_n\\ c_n\\ d_n\end{bmatrix}
\]
pour une certaine matrice $H$ inversible (interpolation de Hermite).
184 Soit $K$ une fonction $C^2$ positive et à support compact telle que $\int_\R K = 1$ (choisis celle que tu préfères).
Alors pour tout fonction $\phi$ convexe sur $\R$, la fonction
\[
\phi_n : x \mapsto \int_{\R} \phi(x+\tfrac tn) K(t) dt
\]
est convexe et de classe $C^2$. De plus, $\phi_n$ converge simplement vers $\phi$.
Salut,
@Joaopa : la preuve fait quelque ligne et je me contenterais des ingrédients (des résultats utilisés), en effet ton lien est payant.
@Champollion : dommage tu ne donnes pas de sens à toutes tes calculs, donc je ne sais pas ce que tu calcules, même s'il me semble que ta conclusion est bonne.
@GaBuZoMeu : dgcd(5X+1,3X+1)=dgcd((15X+5)-(15X+3),5X+1,3X+1)=dgcd(2,5X+1,3X+1)=2
@Champollion : si l'algo d'Euclide n'y suffit pas, pourquoi pas ?
@Siméon : Bravo, j'ai quasi-ment les mêmes solutions (pour les 3)
Cordialement.
Pas d'algorithme d'Euclide, donc, pour définir ton "dgcd".
Une définition qui tienne la route pourrait être :
Si $P=Q=0$, $\mathrm{dgcd}(P,Q)=0$.
Sinon, soit $d$ le minimum de l'ensemble des degrés des éléments non nuls de l'idéal $\langle P, Q\rangle$. Le $\Z$-module des éléments de $\langle P, Q\rangle$ qui sont exactement de degré $d$ est de la forme $\Z D$, pour un unique $D$ à coefficient dominant $>0$. On pose $\mathrm{dgcd}(P,Q)=D$.
203 Posons $\displaystyle P_n = 1 - \sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}x^k$ pour tout $n \in \N$, en remarquant que $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{(k+1)!} = 1$.
Si $n+1$ est premier, alors $P_n$ est irréductible (critère d'Eisenstein). Pourtant $1$ n'est pas transcendant.
@pourexemple
Soit $P$ un polynôme de degré $n$. L'idée est de calculer $x^k$ modulo $P$ de la manière suivante. On se place sur $\C^n$. Le vecteur $(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$ représente le polynôme $a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1}$. La multiplication par $X$ donne l'application linéaire représentée par la matrice compagnon de $P$. Soit $A$ cette matrice compagnon. L'exercice demande de calculer $e^A$ appliqué au vecteur $(1,0,0,\dots,0)$.
On peut penser à un endomorphisme de $\C^n$ (certains, pas tous) comme la multiplication par un certain polynôme. La récupération de ce polynôme s'effectue en appliquant l'endomorphisme à $(1,0,0,\dots,0)$.
On a « implémenté » $\C[X]/(P)$ dans $\mathrm{End}(\C^n)$. On a un morphisme injectif envoyant $X$ sur la matrice compagnon de $P$.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 03/05/2017 17:18 par Champ-Pot-Lion.
Cela se généralise pour implémenter $\C[X]$ dans $\mathrm{End}(\C^\N)$, par exemple. Je n'ai pas fini d'explorer les choses.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 03/05/2017 17:19 par Champ-Pot-Lion.
J'avais oublié de mettre des $\mathrm{End}$ devant les $\C^\N$ et $\C^n$.
Salut,
@GaBuZoMeu : alors on n'a pas forcément l'unicité, en imposant que celui-ci soit le plus petit (strictement positif) pour l'ordre lexicaux graphique, alors la question est réglée.
@Siméon : 203 Bravo.
@Champollion : la définition mixée de GaBuZoMeu et celle que je propose, permet de trancher la question du dgcd, non ?
Mais continue à creuser, peut-être tombera sur des bijoux inattendus, je te demanderais juste d'en réserver la primauté (juste l'énoncé) à ce fil.
Cordialement.
énoncé 204 : des polynômes intégrés
A-t-on $$\forall n \in \N,\exists M>0, \forall P \in \R[x], \text{ si degré}(P)\leq n, \sum \limits_{k=0}^n (P(k))^2 \leq M \int_0^n (P(t))^2 \text{ dt}$$ ?
Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/05/2017 13:01 par pourexemple.
énoncé 205 : critère transcendant ?
Soient $f(x)=\sum \limits_{k \geq 0 }a_k x^k=\lim \limits_{n\rightarrow \infty }P_n(x)$ série entière à coefficients entiers, de rayon de convergence $r$.
$\phi : \N \rightarrow \N$, $\phi$ strictement croissante.
On suppose $\alpha \in \C, |\alpha|<r,| f(\alpha)=0$ et $\forall n \in\N, P_{\phi(n)}$ irréductible, et $Q \in \Z[x]$ avec $Q(\alpha)=0$, $Q$ irréductible et unitaire.
A-t-on $\exists \beta \in \C, Q(\beta)=0 \text{ et } |\beta| \geq r$ ?
Cordialement.
Modifié 6 fois. Dernière modification le 04/05/2017 20:23 par pourexemple.
Citation
@GaBuZoMeu : alors on n'a pas forcément l'unicité, en imposant que celui-ci soit le plus petit (strictement positif) pour l'ordre lexicaux graphique, alors la question est réglée.
On a bien sûr l'unicité, et je ne comprends pas ce que tu écris (même en réparant "lexicaux graphique" ).
oui, c'est vrai, mais on parle de la même chose sauf que je le défin is d'une manière différente (avec si $i>j$ alors $x^i>x^j$)
L'ordre lexicaux graphique (du dictionnaire).
Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/05/2017 18:33 par jacquot.
204 : équivalence des normes pour un $\R$-espace vectoriel de dimension finie.
@Siméon : Bravo, en choisissant les bonnes normes ici (cela aurait-été, presque aussi court).
Citation
L'ordre lexicaux graphique
Plaisanterie volontaire ou involontaire ?
Bonjour,
Nous savons ce que c'est que l'ordre lexicographique, ce lien était inutile.
Par contre, contrairement à ce que tu as l'air de penser, l'orthographe importe beaucoup.
Cordialement,
Rescassol
Salut,
Casses-têtes niveaux agreg :
- 183 : les entiers synonymes
- 185 : les fonctions holdériennes
- 187 : produit en série
- 197 : propriété fonction multiplicative.
- 201 : le bijou de l'arithmétique ?
- 205 : critère transcendant
- 206 : conjecture Peugeot par Max
- 207 : comptage des points rationnelles sur une courbe elliptique
- 208 : un classique intégral
- 209 : classique intégral +
- 210 : arithmétique : enfin du non-classique ? Tombé par Joaopa
- 211 : une question de rapidité
- 212 : une question exponentielle
- 213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
- 214 : fonction dominée
- 215 : régularité de la domination
- 216 : convexité dominante
- 217 : le calcul impossible ?
- 218 : fonction sinus compatible Tombé par Flipflop
- 219 : fonction sinus compatible +
- 220 : non-domination entière
- 221 : inégalité rafraîchissante
Les incontournables : ici.
Cordialement.
Modifié 23 fois. Dernière modification le 07/05/2017 11:41 par pourexemple.
Pour la troisième fois, le 202 est résolu. Il y a même le lien pour télécharger l'article.
Citation
Rescassol
l'orthographe importe beaucoup.
Effectivement, mais il y a des choses encore plus importantes.
Si tu ouvres les yeux, tu verras dans mon message qu'il y a un second lien pour télécharger l'article, ce que certains ont déjà fait.
Ce n'est pas moi qui ai résolu ce problème. Retire mon pseudo s'il te plaît.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/05/2017 18:34 par jacquot.
Si, si c'est bien toi (ici), maintenant si cela te dérange de voir ton pseudo, je l'enlève de ce pas.
Bonsoir (et salutations à tous) si vous voulez un problème simple,facile de compréhension mais ardu à démontrer je vous conseil l'énoncé suivant :
Enoncé 206 ou encore Conjecture Peugeot
Montrer que la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $2\epsilon^3+1$ est supérieur à la somme résultant de l'addition de chaque chiffre composant le nombre entier $\epsilon$ avec $\epsilon \geq 100 $
Edit d'après Rescassol : en rajoutant des 9 la ou il y a des 0 dans le nombre $2\epsilon^3+1$ on arrive normalement à une conjecture juste
Bien cordialement
Modifié 3 fois. Dernière modification le 06/05/2017 10:12 par max8128.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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