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"il est facile de" la preuve :
@Max : Et celle là, tu en as une trace, dans ce livre ?
PS : les énoncés proposés ici doivent être originaux.
Merci.
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@pourexemple Ok,je retiens le truc mais si je t'es donné cette inégalité c'était pour ta culture de maths ...
J'aurais du le faire en MP je reconnais ma faute . 
A+
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par max8128.
Salut,
Casses-têtes niveau agreg :
- 183 : les entiers synonymes
- 185 : les fonctions holdériennes
- 187 : produit en série
- 197 : propriété fonction multiplicative.
- 201 : le bijou de l'arithmétique ?
- 205 : critère transcendant
- 206 : conjecture Peugeot par Max
- 207 : comptage des points rationnelles sur une courbe elliptique
- 208 : un classique intégral Tombé par Tonm
- 209 : classique intégral + Tombé par Tonm
- 210 : arithmétique : enfin du non-classique ? Tombé par Joaopa
- 211 : une question de rapidité
- 212 : une question exponentielle
- 213 : le théorème des fonctions dominées v2.0
- 214 : fonction dominée
- 215 : régularité de la domination
- 216 : convexité dominante
- 217 : le calcul impossible ?
- 218 : fonction sinus compatible Tombé par Flipflop
- 219 : fonction sinus compatible +
- 220 : non-domination entière Tombé par Pea
- 221 : inégalité rafraîchissante Tombé par GaBuZoMeu
-222 : palindrome bien parenthésé Tombé par Jandri
- 223 : la multiplication ultra-rapide
- 224 : des groupes puissants
- 225 : détente intégrale
- 226 : pause algébrique Tombé par Claude Quitté
Les incontournables : ici.
Cordialement.
Edité 14 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Bonjour pourexemple la 221 $e^{x}-x\ge 1$ sur ${\mathbb{R}}$
On suppose $y=x+a,$ $a>0$ en remplaçant et simplification par $e^x$ au aura à prouver que $a.e^{\frac{a}{2}}\le e^a-1$
ce qui est vrai pour $a=0$, on dérive les deux côtés pour démontrer que $ e^{{a}/{2}}+ \frac{a}{2}. e^{{a}/{2}}\le e^a$; on simplifie par $e^{{a}/{2}}$ pour qu'on démontre si $ e^{{a}/{2}}-\frac{a}{2}\ge 1$ ce qui est vrai aussi.
Edit à pourexemple et tous les autres:
On suppose $y=x+a,$ $a>0$ en remplaçant et simplification par $e^x$ au aura à prouver que $a.e^{\frac{a}{2}}\le e^a-1$ ou équivalent à dire $a.e^{\frac{a}{2}}- e^a+1\le 0$
On étudie la fonction $H(a)=a.e^{\frac{a}{2}}- e^a+1$ sur $\mathbb{R}$ (ou ${\mathbb{R}}^+$ suffit) pour montrer que $H(a)$ est négative sur ${\mathbb{R}}^+$.
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
$208-209$ ce que je crois c'est d'appliquer Hôlder ou Cauchy-Schwartz pour les intégrales comme a dit etanche, les deux fonctions sont $1$ et $|g|^n$, les puissances conjuguées $1/n$ et $1-1/n$, on aura à poser $|g|^n(x)=f(x)$; il faut restreindre à $f$ d'être à valeurs positifs, on a égalité si et seulement si $|g|^n(x)=c.1$ pour tout $x$ dans $[0,1]$.
Si $f$ n'est pas positive, evidemment on a $(\int f)^2\le (\int |f|)^2 \le\int |f|^2 $ pour qu'on ait égalité entre $(\int f)^2$ et $\int |f|^2 $ il faut que $f(x)=c.1$ par Cauchy-Schwartz et la continuité de $f$ (le 2 peut être n'importe quelle puissance $>1$).
Edit
Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Salut,
@Tomn :
-221 : je ne vois pas en quoi cette inégalité (je te concède comme exacte) explique l'inégalité proposé.
-209 : Bravo (avec Holder on s'en sort).
-208 : je ne suppose rien sur le signe de $f$.
Cordialement.
Salut,
@Tonm :
-208 :
Citation
Tonm
pour qu'on ait égalité entre $(\int_0^1f)^2$ et $\int_0^1 |f|^2$, il faut que ...
Pourquoi ?
-221 : Par dérivation une inégalité ne se conserve pas toujours.
Cordialement.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Alors pour $208$, tu vois un terme entre deux autres égaux alors il leur est égale, mais $\int |f|^2=(\int |f|)^2 $ si et seulement si $|f(x)|=c$ ; c'est Cauchy-Schwartz appliqué à $|f| $ et $1$ puis par continuité $f(x)=c'.$
Le $221$; l'astuce est trés bien connu, si $f(x_1)\le g(x_1)$ et la dérivée $f'(x)\le g'(x)$ pour tout $x\ge x_1$ ça revient à dire que $f(x)-g(x)$ est décroissante ($f'(x)-g'(x)$ est négatif) donc $f(x)\le g(x), \forall x\ge x_1$ puisqu'on a l'inégalité en $x_1$.
Clair.
Merci
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
208...
Citation
Tonm
mais (... ssi ...)
Pourquoi ?
221 : non, tu pars d'une inégalité sur la dérivée tu en déduis une sur la primitive, mais tu utilises
$f(x) \leq 0$ alors $f'(x)\leq 0$, non ?
J'ai modifié le dernier message et mes messages d'hier, plus que ça je ne peux plus, relis bien c'est immédiat.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
@Tonm :
208 : je suis d'accord.
209 : je suis d'accord.
Merci, pour les détails.
Salut,
@Tonm : pour le 221 je ne comprends pas.
Je te propose de mettre ta preuve sous le format suivant :
A donc B, car résultat R...
Parce qu'on revient au même point dans ton explication il s'agit d'une primitive et dans ton résultat (utilisée) il s'agit de la dérivée.
Cordialement.
Si $H(x_1)\le 0$ et $H'(x)$ négatif pour tout $x\ge x_1$ alors $H(x)\le 0$ pour tout $x\ge x_1$; si tu as un problème pour celle-là, c'est grave.
Bonne journée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Salut,
@Tonm, je remets ici ton raisonnement :
Citation
Tonm
On suppose $y=x+a,$ $a>0$ en remplaçant et simplification par $e^x$ au aura à prouver que $a.e^{\frac{a}{2}}\le e^a-1$ ce qui est vrai pour $a=0$, on dérive les deux côtés pour démontrer que $ e^{{a}/{2}}+\frac{a}{2}. e^{{a}/{2}}\le e^a$; on simplifie par
$e^{{a}/{2}}$ pour qu'on démontre si $e^{{a}/{2}}-\frac{a}{2}\ge 1$ ce qui est vrai aussi.
Tu te sers d'une dérivée et non d'une primitive.
PS1 : je n'ai pas honte de ne pas comprendre, par contre j'aurais honte de donner l'impression de comprendre alors que je sais ne pas avoir compris.
PS2 : excuses moi pour ma lenteur d'esprit.
Cordialement.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
es-tu d'accord avec mon dernier message.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Avec celui-ci : oui.
Mais je n'ai pas l'impression que tu utilises ce résultat, dans le raisonnement que j'ai rappelé.
pour $x=a$ c'est ce que j'ai fais...
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Inutile de s'emmêler les pinceaux. 221 n'est rien d'autre que $1\leq \dfrac{\sinh(t)}{t} $ pour tout $t\neq 0$.
@Tonm : Je pense que c'est une perte de temps pour toi, et un problème de méthode pour moi.
Je vais essayer de me mettre à la rédaction de preuve.
Cordialement.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@GaBuZoMeu : et pourquoi donc ?
@GaBuZoMeu : Comment justifies-tu que $\frac{\sinh(t)}{t}\geq 1$ ?
 Oh la la quelle difficulté ! Un vrai casse-tête niveau agreg !
La fonction étant paire, il suffit d'établir l'inégalité pour $t>0$. L'étude de la fonction $t\mapsto\sinh(t)-t$ sur $]0,+\infty[$ fait l'affaire. Je te laisse cette étude.
Ma chère GaBuZoMeu,
Chaque énoncé que je propose ici, n'est pas beaucoup plus difficile que ce que tu me demandes, et pourtant ils ne sont pas tous tombés...
PS : je maintiens que ce n'est pas parce qu'un résultat est facile à comprendre qu'il est facile à trouver.
Au revoir.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
énoncé 224 : des groupes puissants
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Bonjour, pour le 216 évidemment que oui et il y en a 'plein' par exemple $g(x)=x^n+k $ ou $n $ et $k$ sont suffisament grand (on peut restreindre $k$ à être plus grand que $\max (|f(x)|)$ sur $[-1,1]$, une autre c'est $g(x)=(e^x+e^{-x})^n$ pour $n $ assez grand (pour voir il suffit de tracer ces deux $g$ ou discuter leurs dérivées qui croient en valeur absolue avec $n$).
Edit sur $\mathbb{R}$ en entier c'est différent (suite à la remarque de pourexemple).
Recours pour 221, @pourexemple.
À max8238, ton inégalité l'ultra-rafraichissante, on pourra peut être remplacer la fonction exponentielle par n'importe quelle fonction croissante (strictement) à valeur positif (nouveau énoncé) si vous voulez.
Cordialement.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Tonm.
Salut,
@Tonm :
216 : c'est sur $\R$ entier qu'il faut la majoration.
221 : cela me semble correct, mais GaBuZoMeu a été la plus rapide.
Cordialement.
Salut,
énoncé 225 : détente intégrale
Soit $n\in\N,n\geq 2$. Calculer $$I(n)=\int_0^{2\pi} \frac{1}{(5+4\cos(x))(5+4\cos(nx))} \text{d}x$$
édit : j'ai modifié l'énoncé car le précédent j'en ai trouvé trace sur le net.
Cordialement.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Salut,
énoncé 226 : pause algébrique
Soit $P\in \R[x_1,...,x_n]$. On note $Q(x_1,...,x_n)=\sum \limits_{\sigma \in G} s(\sigma)P(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)})$
(G les permutations de $[1,n]$, $s$ la signature d'une permutation de $G$).
Montrer que si $a_i=a_j$ avec $i \neq j$ alors $Q(a_1,...,a_n)=0$.
Cordialement.
Découle de $\tau \cdot Q = s(\tau) Q$ pour tout $\tau \in G = S_n$.
@Claude : Bravo.
PS : c'était un classique ?
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@pourexemple
Jamais vu mais je ne connais pas mes classiques. Par ailleurs, c'est banal de faire agir $S_n$ sur le binz. Le corps de base $\R$ (corps des nombres réels) n'a rien à voir là-dedans. J'ai quand même eu une surprise car j'ai voulu voir la tête de :
$$
P^\# \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad \sum_{\sigma \in S_n} s(\sigma) (\sigma\cdot P)
$$
En prenant pour $P$ un monôme de degré $d$. Et bien si $d < n(n-1)/2$ , alors $P^\# = 0$ : c'est cela la surprise. Mais pour :
$$
P = \prod_{i=1}^n X_i^{i-1} \hbox { de degré $n(n-1)/2$, on a $P^\# \ne 0$}
$$
Citation
Claude
Le corps de base $\R$ (corps des nombres réels) n'a rien à voir là-dedans.
Souvent, je ne mets pas l'énoncé de porter plus général, car il est plus facile à tomber.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Alors pourquoi pas $\mathbb Z$ à la base au lieu de $\mathbb R$ ? Une fois acquis au dessus de $\mathbb Z$, c'est acquis pour tout anneau commutatif. De toutes manières, le petit anneau de base n'a rien à voir dans l'histoire (cela se passe au niveau des monômes).
Il me semble avec $A$ un anneau (intègre) de caractéristique non pair, cela marche encore.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Ton avant dernier post : l'anneau de base n'a rien à voir dans l'histoire (bis). Il s'agit de démontrer par exemple, avec mes notations, que $P^\#(X_1, X_1, X_3, .., X_n) = 0$. Mais c'est vrai si $P$ est un monôme, donc c'est vrai pour tout polynôme.
Dernier post : rien compris.
Citation
Claude
Ton avant dernier post : l'anneau de base n'a rien à voir dans l'histoire (bis).
Ah, bon regarde, si cela marche toujours pour $A=\mathbb {F}_2$, si oui, j'en serais surpris...
Citation
Claude
Mais c'est vrai si P est un monôme, donc c'est vrai pour tout polynôme.
Tu veux dire que le déterminant est une application nulle, oui, pour le coup c'est une surprise...
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
$P^\#(X_1,X_1,X_3,\cdots,X_n) = 0$. J'arrête.
Tu vois que c'est "chiant" parfois l'humour, surtout quand il est fait à notre détriment.
Redevenons sérieux : tu dis $P^{\#}(X_1,...,X_n)=0$.
$P^{\#}(X_1,X_2)=P(X_1,X_2)-P(X_2,X_1)=X_1-X_2\neq 0$ avec $P(X_1,X_2)=X_1$.
Cordialement.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Non je ne dis pas $P^\#(X_1,..,X_n) = 0$. Je dis $P^\#(X_1,X_1,\cdots, X_n) = 0$.
Par ailleurs, avec $P(X_1,X_2) = X_1^2$, on a $P^\#(X_1,X_2) = X_1^2 - X_2^2$. Et donc $P^\#(X_1,X_1) = 0$.
Mais quand tu dis :
$$
P^\#(X_1,X_2) \quad \buildrel {(A)} \over =\quad X_1^2 - X_1^2 \quad \buildrel {(B)} \over \ne \quad 0
$$
c'est qu'en (A) ET en (B), tu fais de l'humour ?
pourexemple a modifié son post
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par claude quitté.
Citation
Claude
c'est qu'en (A) ET en (B), tu fais de l'humour ?
Non, c'est une erreur...
Pour le reste, je ne comprends pas, l'explication que tu m'as donné ne t'as pas convaincu ?
@Claude Quitté : Tu es utilisateur prime, tu peux changer tes messages sans que cela n'apparaisse sur le forum, grand mal te fasse.
Ensuite, tu sais, je ne suis qu'à moitié naïf, et ce message là, même si tu dis ne l'avoir pas compris, d'autres seront là pour te le faire comprendre.
Au revoir.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
N'importe quoi. J'espère que ton bannissement va arriver très vite.
Et avant que tu n'édites comme un lâche :
Citation
pourexemple
@Claude Quitté : Tu es utilisateur prime, tu peux changer tes messages sans que cela n'apparaisse sur le forum, grand mal te fasse.
Ensuite, tu sais, je ne suis qu'à moitié naïf, et ce message là, même si tu dis ne l'avoir pas compris, d'autres seront là pour te le faire comprendre.
Au revoir.
Citation
Poirot
Et avant que tu n'édites comme un lâche.
[ www.les-mathematiques.net]
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Je ne vois pas en quoi le fait que je n'ajoute rien à la discussion alors que j'avais déjà exposé mon point de vue témoigne de mon éventuelle lâcheté.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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©Emmanuel
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