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"il est facile de" la preuve :

Envoyé par pourexemple 
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 16:30
Bonjour,

Pourexemple, je te laisse à tes fantasmes.
Tu "aurais dit" ce que tu veux.
J'ai dit ce que je voulais, et le sexe des anges ne m'intéresse pas.

Cordialement,

Rescassol
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 16:44
avatar
Citation GaBuZoMeu :
comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que 1 en valeur absolue.

Cela ne donne pas une contradiction, sauf si tu voulais dire un coefficient dominant strictement plus petit que 1 en valeur absolue, mais le résultat que tu veux utiliser ne te permet pas de le conclure, me semble-t-il.

Donc copie à revoir.

Citation Rescassol :
Pourexemple, je te laisse à tes fantasmes.

Ce n'est pas un fantasme, elle a reconnut être une femme d'origine russe.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 16:47 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 16:53
Il te semble à tort. Réfléchis mieux.
Indication : si $\vert \ell \vert \ge1$, alors $\left\vert \dfrac{c}{\ell}\right\vert \le\vert c\vert$.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 16:57
avatar
Citation GaBuZoMeu :
comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que 1 en valeur absolue.

Je rappelle que $P,Q\in\Z[X]$ ... donc copie à revoir.

Écoute écrit une preuve complète qui utilise le résultat que tu as a annoncé, et je reconnaîtrai avoir eu tort.
Sans cela, je préfère en rester là.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 17:03 par AD.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:06
Réfléchis encore : un polynôme à coefficients entiers, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant supérieur ou égal à 1 en valeur absolue.
Tu trouvais le "plus grand" pas assez précis ? J'ai maintenant écrit "supérieur ou égal", comme ça il n'y a plus d'ambigüité.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/01/2017 17:08 par GaBuZoMeu.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:10
avatar
Oui, cela ne donne pas de contradiction comme tu le sous-entends.

Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé,
si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...

Fait ton choix.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 17:12 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:27
Je n'ai pas besoin d'indice, puisque j'ai donné une solution.
Avec les indications que j'ai écrites et le résultat de majoration que j'ai rappelé, un étudiant de L2 pas trop manchot devrait s'en sortir sans difficulté.
Puisque tu as des difficultés, je te donne une dernière indication :
On suppose $P-Q$ non nul. Soit $R$ le polynôme $P-Q$ divisé par son coefficient dominant. Alors tous les coefficients de $R$ sont majorés en valeur absolue par $2\max(|a_0|, \ldots,|a_n|,|b_0|,\ldots,|b_n|)$.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:43
avatar
Citation Pourexemple :
Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé,
si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:48
Restes-en là, puisque tu ne vois pas. grinning smiley
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:52
avatar
Voilà un indice : J'ajoute que dans ta preuve tu ne te sers pas du fait que les coefficients sont entiers.

Contre-exemple au résultat proposé par GaBuZoMeu :
On prend $P(x)=\frac{1}{27}\times x^3$, $Q(x)=1$, alors $3\geq \frac{2}{27}+1$ et $3\geq 2\times 1 + 1$, et $P(3)=1=Q(3)$

PS : oui, fait donc cela



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 17:54 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 17:57
Bonjour,

$P(x)=\frac{1}{27}\times x^3$ ................

C'est dans $\mathbb{Z}[X]$, ça ?

Cordialement,

Rescassol
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 18:06
Citation

J'ajoute que dans ta preuve tu ne te sers pas du fait que les coefficients sont entiers.
Tu as décidément des difficultés de lecture.
Citation
moi
un polynôme à coefficients entiers, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant supérieur ou égal à 1 en valeur absolue.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 18:45
avatar
Comme l'a justement rappelé Noix de Totos ici : [www.les-mathematiques.net]
Il faut encore du travail pour montrer le cas $m=2\max(...)+1$

édit : énoncé résolu ici : [www.les-mathematiques.net]



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 19:54 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:01
Et tu ne t'es pas aperçu que ce que fait noix de totos est exactement ce que j'ai raconté ici ? smiling bouncing smiley
Sauf que la majoration par 1 plus le maximum des valeurs absolues des coefficients est bel et bien une majoration stricte, ce dont on s'aperçoit sans peine en reprenant la démonstration de cette majoration.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:04
avatar
Citation :
Et tu ne t'es pas aperçu que ce que fait noix de totos est exactement ce que j'ai raconté ici ?

C'est possible mais, Noix de Totos répond clairement là où tu fais dans le flou artistique...

PS : on ne répond pas à une question par une question, sauf si on n'a pas compris la question...
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:08
Tu es vraiment trop drôle !
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:22
@pourexemple :
Oui, j'ai le meme ressenti que toi.
Elle joue de loin à ce jeu minable.
Elle choisit ''minutieusement'' ses victimes de loin en profitant de ses connaissances avancées en maths.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 30/01/2017 20:27 par Pablo.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:30
Pour qui se demande quelle mouche a piqué Pablo, il fait allusion à ce fil.
Va-t-il retomber dans les travers qui lui ont déjà valu un bannissement ?
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 20:34
Je n'ai rien fait de mal pour mériter un bannissement.
J'ai juste voulu mettre en alerte pourexemple de ne pas se laisser faire. Je n'ai rien dit de mal.
Continue ton travail pourexemple.
Cordialement.
Re: "il est facile de" la preuve :
30 janvier 2017, 22:43
avatar
Merci Pablo.

Amicalement.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 07:49
avatar
Rappel : [www.les-mathematiques.net]
La suite juste en bas...
Bonne journée.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
[Je n'ai recopié aucun message, par contre tu as effacé une histoire qui était éclairante, le titre "Affuter votre intelligence en jouant au Jeopardy". Pourexemple ]



Modifié 7 fois. Dernière modification le 01/02/2017 07:33 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 08:25
avatar
Rappelle des 5 critères de beautés d'un énoncé :

1/-plus il est court mieux c'est.
2/-plus il est compris mieux c'est.
3/-plus l'énoncé est étonnant mieux c'est.
4/-plus l'énoncé n'est pas immédiat, à résoudre, mieux c'est.
5/-plus la réponse est courte mieux c'est.


Ces 5 critères permettent de retenir plus facilement les énoncés (et la solution) pour éventuellement s'en resservir.

La suite juste en bas.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 31/01/2017 09:10 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 09:08
avatar
La fabrication d'une énigme en temps réel...

J'aimerais me servir du résultat (peu connu (parce que on y tombe dessus dans ces recherches ou bien parce qu'on l'utilise dans une combinaison inédite)) :

a/la limite simple d'une famille de fonction convexe (ou concave) est convexe ou concave.
b/une fonction convexe ou concave sur un intervalle ouvert est continue.

Ps : j'ai réfléchit longtemps avant de trouver cette piste (donc mieux vaut lancer plusieurs chantier en même temps)

Alors vient l'idée $\sum \limits_{k=0}^{n} \sin(a_k x)=f_n(x)$ avec $a_k \in [0,1]$, avec $f_n$ qui converge simplement sur $[0,1]$.

On obtient :

énoncé 170.0 : du sinus en série
Soient $(a_k) \in [0,1]^\N$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \sin(a_k x)$ qui converge simplement sur $]0,1[$, vers $f(x)$.
A-t-on $f(x)$ continue sur $]0,1[$ ?


Le problème de cette énoncé c'est que l'usage d'intervalle ouvert peut mettre sur la piste, donc il faut gommer cela.



énoncé 170.1 : du sinus en série
Soient $(a_k) \in \Z^*$, avec $\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{a_k^2}<+\infty$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^2}{a_k^2}-\sin(\frac{x}{a_k})$ qui converge simplement sur $\R$, vers $f(x)$.
A-t-on $f(x)$ continue sur $\R$ ?


On peut trouver un énoncé moins "artificielle" :


énoncé 170.2 : du sinus en série
Soient $(a_k) \in L^2$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_k^2 x^2-\sin(x a_k)$ qui converge simplement sur $\R$, vers $f(x)$.
A-t-on $f(x)$ continue sur $\R$ ?


On peut le rendre plus difficile car, on sait que $\sum \limits_{k=0}^{n} a_k^2 x^2$ converge vers une fonction continue ce qui donne :


énoncé 170.3 : du sinus en série
Soient $(a_k) \in L^2$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \sin(x a_k)$ qui converge simplement sur $\R$, vers $f(x)$.
A-t-on $f(x)$ continue sur $\R$ ?


Voilà à vous de faire vos propres énoncés.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 31/01/2017 11:01 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 09:35
avatar
énoncé 170 : du sinus en série
Soient $(a_k)\in l^2$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^n \sin(a_k x)$ qui converge simplement sur $\R$, vers $g(x)$.
A-t-on $g(x)$ continue sur $\R$ ?


Qui est un joli résultat pas du tout évident à démontrer.

suite ici : [www.les-mathematiques.net]



Modifié 2 fois. Dernière modification le 01/02/2017 07:39 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 14:35
avatar
En fait vu le développement limité de sinus en $0$ et comme $a_n$ tend vers $0$ le fait que $\sum \sin(a_n)$ converge entraine que $\sum a_n$ converge. De là et du fait que $|\sin(t)|\leq |t| $ on démontre facilement la continuité de $g$.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 14:55
avatar
Comment fais-tu cela sachant que la série pourrait-être alternée ou encore plus biscornue ?
Car en utilisant une inégalité sur les valeurs absolues tu aurais besoin d'une convergence absolue, ou alors ils faut me dire comment tu te servirais de cette inégalité ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 31/01/2017 14:59 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 15:07
avatar
@Pourexemple on peut utliser le théorème de Beppo-Levi pour le 170 ?

Cordialement.

Où le malheur est-il né sur cette terre empesée d'être humain ?
01Oct2017
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 15:12
avatar
@pourexemple, tu me fais penser à Fior dans cette histoire :

Citation
Bernard Ycart
En 1515, del Ferro découvre une méthode algébrique de résolution des équations cubiques $ x^{3}=px+q$ et $ x^{3}+q=px$ (à l'époque, les deux formes sont vraiment différentes car on ne sait travailler qu'avec des nombres positifs). Plutôt que la publier, il la note sur un carnet et la tient secrète.

En 1526, à la mort de del Ferro, son gendre Hannibal Nave, lui aussi professeur de mathématiques (encore un), hérite du carnet. Toujours sur son lit de mort, del Ferro confie également ses méthodes de résolution à son élève Antonio Maria Fior, peu talentueux semble-t-il. Fior commence à se vanter d'être capable de résoudre toutes les équations du troisième degré et, comme c'est l'usage à l'époque, il lance des défis (en italien, disfide) sur ce thème.

Entre alors en scène Niccolò Fontana, dit Tartaglia (1505-1557), un des principaux personnages de notre histoire. Tartaglia est né à Brescia. Son surnom provient de tartagliare qui signifie bégayer en italien. Tartaglia avait en effet un défaut de parole, séquelle d'une très grave blessure. Lorsque les Français saccagent la ville de Brescia en 1512, le petit Niccolò et son père se réfugient dans une cathédrale. Les soldats de Louis XII les y découvent, ils tuent le père de Niccolò, fracturent le crâne de celui-ci et lui ouvrent la mâchoire d'un coup de sabre. Toutefois, sa mère réussit à le sauver de la mort.

De famille modeste, Niccolò ne peut aller à l'école mais sa mère (encore elle) économise et elle parvient à lui payer l'école pendant deux semaines. Niccolò profite de ce court laps de temps pour voler des livres et il continue à apprendre en autodidacte. Adulte, il gagnera sa vie en enseignant les mathématiques dans toute l'Italie et en participant, on y revient, à des disfide mathématiques.

Tartaglia se consacre donc, lui aussi, à la recherche d'une méthode de résolution des équations cubiques, et il arrive bientôt à résoudre certaines classes. En 1535, il relève le défi de Fior et le duel s'engage entre les deux hommes. Chacun dépose une liste de problèmes chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, sous quarante jours, aura résolu le plus de problèmes proposés par l'autre sera désigné vainqueur et remportera la somme. Juste avant la date limite, Tartaglia découvre une méthode qui lui permet de résoudre tous les problèmes posés par Fior. Fior, lui, ne sait résoudre que $x^{3}+px=q$ mais les équations proposées par Tartaglia sont du type $ x^{3}+px^{2}=q$. Fior n'en résoud aucune ou, selon les sources, il n'en résoud qu'une seule, en tous les cas il a perdu la disfida.

Source : [ljk.imag.fr]
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 15:14
avatar
@Max : Oui, effectivement et cela donne même une convergence uniforme, me semble-t-il. il faut me dire comment alors.

Bon après un énoncé on voit qu'il a ou pas des solutions faciles à l'usage, prend par exemple : le 82 ou le 154

Je sais qu'ils intéressent beaucoup de gens, et pourtant personne ne les a tombés....Ce qui ne veut pas dire qu'ils ne tomberont jamais.

@Siméon : la grosse différence, c'est que mon approche repose sur les principes de Kerckhoffs.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 31/01/2017 15:26 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 16:12
avatar
Hum je viens de faire les calculs et ça se passe un peu différemment de ce que j'avais annoncé. Je vais essayer de détailler un peu du coup. Premièrement $\sin(a_n)=a_n+ \mathcal O(a_n^3)$ mais comme $\sum \sin(a_n)$ et $\sum \mathcal O(a_n^3)$ convergent on en déduit que $\sum a_n$ converge aussi. Cela va nous permettre de découper $\sum \sin(a_n) $ en deux séries.

$$g(x)-g(y)=\left(\sum_{n\leq N}\sin(x a_n)- \sin(y a_n) \right) + \left(\sum_{n >N}\sin(x a_n)- \sin(y a_n) \right) $$

La première somme ne pose pas de problèmes puisqu'elle est finie, on s'occupe de la deuxième. On réutilise le développement en série entière de sinus :

$$\sum_{n >N}\sin(x a_n)- \sin(y a_n) =\left((x-y)\sum_{n >N}a_n \right)+\left(\sum_{n >N} \mathcal O(x^3a_n^3)-\mathcal O(y^3a_n^3)\right)$$

La première somme du membre de droite est bien petite quand $|x-y|$ l'est et la deuxième somme du membre de droite est petite lorsque $N$ est grand (indépendamment de $x$ et $y$). On en déduit la continuité de $g$. A noter qu'on était pas obligé de passer par ce découpage partie finie/infinie de la série, on pouvait remarquer que $x\mapsto \sum O(x^3a_n^3)$ est continue par convergence uniforme sur tout compact et que $x\mapsto x\sum a_n$ l'est aussi.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 31/01/2017 19:56 par mojojojo.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 17:54
avatar
Je rappelle que $|\sin(x)-x|\leq \frac{1}{6}x^3$ pour $x\in [-1,1]$, donc tu n'as le droit d'utiliser se développement que sur un certain voisinage de 0. le développement avec reste intégrale donne cette inégalité sur $\R$ entier.

@Mojojojo : Bravo, oui cela marche bien.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 31/01/2017 18:00 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 18:46
avatar
Enoncé 171 .:
Soient $a$ et $b$ appartenant à $[0;\frac{\pi}{17}]$ et tel que $b^2\geq ab \geq a^2$ démontré que l'on a :
$$\sqrt{cos(b^2)^{cos(a^2)}}\leq cos(\frac{cos((ab)^2)}{cos(1)})+\frac{7\pi}{17}$$

Où le malheur est-il né sur cette terre empesée d'être humain ?
01Oct2017



Modifié 6 fois. Dernière modification le 06/02/2017 18:49 par max8128.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 20:22
Pour le 154, c'est quoi $\mathbb Z_p$? Si c'est l'ensemble des entiers $p$-adiques, c'est trivialement faux (il y a des problèmes de convergence de la somme).

Si c'est $\mathbb F_p$, jamais vu une notation si horrible. Il y a la notation $\mathbb Z/p\mathbb Z$ pour ça.

Mais même là, c'est encore faux.
Comme $\sum_{a\in\mathbb F_p}a^0=0=\sum_{a\in\mathbb F_p}a^{p-1}$, alors $(1,\cdots,1)$ est solution du système homogène linéaire $\sum_{a\in\mathbb F_p}f(a)^kX_a=0$ ($k\in\{0,\cdots,p-1\}$).
Par conséquent, son déterminant principal est nul. C'est un Vandermonde composé des $f(a)$. Par conséquent, il existe $a,a'\in\mathbb F_p$ tel que $f(a')=f(a)$



Modifié 4 fois. Dernière modification le 31/01/2017 20:27 par Joaopa.
Re: "il est facile de" la preuve :
31 janvier 2017, 20:32
avatar
Salut Guy C. (ici Joaopa),

On en avait déjà parlé dans Stack.
C'est le corps à $p$ éléments.

Dommage pour toi, j'ai pris $k$ dans $\{1,...,p-2\}$, ta façon de rédiger me laisse penser que tu connais une preuve de ce résultat, pourquoi à ce compte ne pas publier ta preuve... grinning smiley

PS : quel valeur donnes tu à $0^0$ ?

PS : c'est fou comme tu es devenu désagréable, ou bien c'est un rôle de composition.

Bonne soirée.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 31/01/2017 20:35 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 07:38
avatar
Bonjour,

Suite et j'espère fin :

Mojojojo a été capable d'attaquer l'énoncé sans passer par l'astuce, donc on va essayer de couper l'accès à la solution qu'il a utilisé.

énoncé 170 (bis) : la série des sinus
Soient $(a_k)\in l^2$, $(b_k)\in \R^\N$, $f_n(x)=\sum \limits_{k=0}^n \sin(a_k x+b_k)$ qui converge simplement sur $\R$, vers $g(x)$.
A-t-on $g(x)$ continue sur $\R$ ?

PS : pour le coup la démonstration est beaucoup plus difficile maintenant.

Bonne journée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/02/2017 09:12 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 11:08
avatar
Pas sûr que ça change grand chose à vrai dire. Par hypothèse $\sum \sin(b_k)$ converge donc $\sum \mathrm{sgn}(\sin(b_k))d(b_k,\pi\mathbf Z)$ doit aussi converger. De là $\sin(b_k+ a_k x)= \mathrm{sgn}(\sin(b_k))d(b_k,\pi\mathbf Z)+a_kx+\mathcal O((\mathrm{sgn}(\sin(b_k))d(b_k,\pi\mathbf Z)+a_kx)^3)$ et on en déduit que $\sum a_k x$ converge etc.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/02/2017 14:47 par mojojojo.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 12:39
avatar
Citation Mojojojo :
Pas sûr que ça change grand chose à vrai dire...

Pas sûr non plus que ça ne change pas grand chose à vrai dire....



Modifié 1 fois. Dernière modification le 01/02/2017 17:57 par pourexemple.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 13:04
avatar
@Pourexemple on peut jouer à un petit jeux ? Je te donne une indication pour le 171 et toi en échange tu m'en donne une pour l'énoncé de ton choix , est ce correct ?
Cordialement.

Où le malheur est-il né sur cette terre empesée d'être humain ?
01Oct2017
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 15:55
avatar
Quand je joue à un jeu j'aime en connaître les règles, donc si tu pouvais me les donner, et me préciser aussi le but de ton jeu.
Re: "il est facile de" la preuve :
01 fvrier 2017, 16:27
avatar
@Pourexemple c'était un deal plus qu'un jeux mais si tu veux on peut allez sur maths stack exchange compter nos points , avec une seule règle ne pas tricher envers l'autre et ne pas l'enfoncer (en lui enlevant des points par exemple).Le but? mieux se connaitre . Cela te va t-il ?
Cordialement.
Pour le 170 j'ai trouvé cette inégalité qui peut peut-être être utile pour $0\leq a\leq1$ et $0\leq b\leq1$
$$ab\leq sin(\frac{\pi}{2}ab) \leq sin(\frac{\pi}{2}a)sin(\frac{\pi}{2}b)$$

Ps: cela reste un jeux amicale.D'ailleurs je risque de perdre assez vite drinking smiley.
Cordialement.

Où le malheur est-il né sur cette terre empesée d'être humain ?
01Oct2017
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