Infini de N = Infini de R ?

Gabriel Quartz · July 2016

Bonjour/Bonsoir
Au terme de rapides calculs je suis tombé sur un résultat un peu étrange, et sûrement faux, mais je n'arrive pas à voir en quoi, donc :
Un nombre entier peut être décomposé en facteurs premiers, donc à chaque nombre entier on peut associer une suite d'entiers uniques et à toute suite d'entiers on peux associer un entier unique, on est donc face à une bijection, ce qui impose que les deux ensembles ont la même cardinalité, or si on prend l'ensemble des suites d'entiers, on est face à un ensemble de \[ \omega^\omega \] éléments et *il me semble* que \[ \omega^\omega = 2^\omega,\quad\text{ donc }\quad \omega = 2^\omega\] ce qui voudrait dire qu'il y a autant d'entiers que de réels ce qui me semble faux, donc où est l'erreur ?

Merci d'avoir lu,
Bonne journée/soirée

Philippe Malot · July 2016

Salut,
Il me semble que les suites que tu associes aux décompositions en facteurs premiers sont des suites presque nulles (dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang).

mpif · July 2016

D'où vient l'implication $\omega^\omega=2^\omega\Longrightarrow \omega=2^\omega$.

Perso je n'y crois pas.
(sinon attention aux notations, ici il y a ambiguïté entre les cardinaux et les ordinaux).

Gabriel Quartz · July 2016

Ah oui en effet c'est peut-être de là que viens le problème ^^ Etant donné qu'on atteint pas l'infini, les suites sont forcément finies.

Gabriel Quartz · July 2016

Euh et bien si on peux associer à un nombre entier une suite d'entier (et c'est une bijection) alors \[ \omega = \omega^\omega \] ce n'est pas une implication. Comme on à \[ \omega^\omega >= 2^\omega \] et qu'on à (grâce à la bijection) \[ \omega = \omega^\omega \] alors on peux dire que \[\omega >= 2^\omega \] je n'avais pas mis le signe d'inégalité car c'est encore plus absurde (mais Philippe Malot à répondu à mon interrogation je pense ^^ )

Maxtimax · July 2016

Comme dit mpif il faut différencier notations ordinales et cardinales.
Mais là bien entendu tu es face à une bijection des entiers naturels sur les suites finies d'entiers naturels, qui ne pose aucun problème : il y autant de "décimaux" que d'entiers naturels

Infini de N = Infini de R ?

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 23