Une nouvelle forme de Zêta de Riemann
Bonjour.
On a pu récemment écrire $\zeta$ de Riemann sous une nouvelle forme plus simple. Une forme qui peut, je l'espère, ouvrir une nouvelle perspective vers la compréhension de cette fonction magique.
Mon but au début était de calculer $ \zeta (3) $, mais aujourd'hui avec cette formule je pense pouvoir essayer de prouver l'hypothèse de Riemann.
Désolé, je ne peux pas vous dévoiler la formule de manière exacte.
On a pu récemment écrire $\zeta$ de Riemann sous une nouvelle forme plus simple. Une forme qui peut, je l'espère, ouvrir une nouvelle perspective vers la compréhension de cette fonction magique.
Mon but au début était de calculer $ \zeta (3) $, mais aujourd'hui avec cette formule je pense pouvoir essayer de prouver l'hypothèse de Riemann.
Désolé, je ne peux pas vous dévoiler la formule de manière exacte.
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Réponses
$$ Avec
$h$ est une fonction élémentaire simple de variable complexe $z$ comme : $\quad h(z)=\dfrac{1}{z-1}.$
$f_z(x)$ et $g_z(x)$ sont deux fonctions élémentaires simples de variable réelle $x$ et de paramètre $z$ comme : $$
f_z(x)=\frac{e^x-1}{2^z}$$ et les dérivées nième de $f_z(x)$ et $g_z(x)$ sont par rapport à $x$ et non pas à $z$, comme $$ f_z^{'}(x)=\Big(\frac{e^x-1}{2^z}\Big)^{'}=\frac{e^x}{2^z}
$$ Supposons qu'elle est correcte (moi j'en ai la preuve):
* Donnez vos avis sur cette forme et ses avantages par rapport aux autres formes existantes.
* Est-ce qu'il y a une chance de la rendre plus simple en calculant la somme de la série entière.
Remarque importante : Cette forme converge et ne contient pas de reste.
Il faut que cette formule puisse couvrir la "bande critique" c'est à dire qu'elle soit au moins valide pour $0<\Re(z)<1$.
Je l'ai utilisée pour calculer des valeurs dans tout le plan et je trouve les même valeurs que $\zeta$ d'origine.
$$\zeta(z)=h(z)+f_z\Big(\frac{1}{2} \Big)$$
et si on enlève $f_z$ on obtient.
$$\zeta(z)=h(z)+g_z\Big(\frac{1}{2} \Big)$$
$\displaystyle F(z)=F(a)+\dfrac{F^{(1)}(a)}{1!}(x-a)+\dfrac{F^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+...+\dfrac{F^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+....$
C'est pour répondre à:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1301635,1301889#msg-1301889
J'ai oublié de vous dire que pour tout $z$ le rayon de convergence de la série est 1. ce qui montre qu'elle converge en $\frac{1}{2}$.
La série en question est le développement en série entière de la fonction $f_z$ (si on enlève $g_z$), au point 0, valable pour tout x de valeur absolue inférieure strictement à 1.
Les deux séries $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f_z^{(n)}(0)}{n!} x^n\quad\text{et}\quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g_z^{(n)}(0)}{n!} x^n$ ont respectivement les rayons de cv $R_{f_z}=1$ et $R_{g_z}=\infty$
Qui ça, "on" ?
Donc en fait, tu veux qu'on t'aide, mais sans nous donner la formule...un peu comme si tu voulais qu'on t'aide à cuisiner un plat pour gagner 3 étoiles au Michelin, mais sans nous donner la liste des ingrédients, quoi...
C'est plutôt risible, et laisse à penser que tu es un petit rigolo..
Alors, désolé, sans la formule, je ne peux pas dévoiler ma preuve de RH (surtout qu'elle tient dans la marge).
Encore un fil inutile qui va partir en vrille assez vite, je pense...
$$F_z^{(n)}(0)= f_z^{(n)}(0)g_z^{(n)}(0) $$ alors
$$\zeta(z)=h(z)+ F_z \Big(\frac{1}{2} \Big)$$
Merci à Said Fubini et Joaopa.
Grâce à eux j'ai pu transformer la série en haut en une intégrale puis j'ai transformé cette intégrale en une autre série qui a une vitesse de convergence très grande.
Les coefficients $a_n(z)$ sont bien définies et dépendent de $z$ :
On a alors pour tout $z\in C-\{1\}$: $$\zeta(z)=h(z)+ L_z\Big(\frac{1}{2} \Big) $$
J'ai créé une procédure (Petit programme informatique) qui calcule $L_z\Big(\frac{1}{2} \Big)$ en calculant les coefficients $a_n(z)$
mais ces coefficients sont en fonction des nombres de Bernoulli et ceci provoque un petit problème car le programme ne peut calculer que les 40 premiers coefficients. c-à-dire: $L_z\Big(\frac{1}{2} \Big) \sim \sum_{n=0}^{40} \frac{a_n(z)}{n!}\Big(\frac{1}{2} \Big)^n$
Ceci me donne des valeurs très précises des $\zeta(z)$ pour $z$ proche de la droite des réels. Mais pour $\Im(z)>10$ je perd un peu de précision.
Questions:
- Quelle est la version du logiciel Maple qui peut calculer les nombres de Bernoulli jusqu'à 100.
- Est ce que le fait d'écrire $\zeta$ comme somme de deux fonctions, une élémentaire simple $h$ et l'autre spéciale $L_z$ définie par une série entière est une chose importante qu'on peut publier et si oui, où peut on le publier sur internet de façon officielle.
Tu aurai pu directement considérer la série de fonctions $L(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n(z)$, où $b_n(z) = \frac{a_n(z)}{2^n n!}$
$$\zeta(z)=h(z)+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(z)}{2^n n!} $$
Mais J'ai choisi cette écriture de série entière en $x=\frac{1}{2}$ à cause de la première formule dans le 2eme message.
- qu'est ce qu'il a dit magox?
- T'es fort en Poésie.
- L2M a dit qu'il va tenter de le faire juste parce qu'il a une nouvelle écriture de $\zeta$.
- Et Shah d'Ock veut que Shtam ferme ses portes.
Pour ton paragraphe sur la poésie, je ne sais pas s'il est ironique ou non, mais rendons à César (encore un qui parlait de lui à la troisième personne) ce qui est à César, à Rouxel ce qui est à Rouxel et aux Fabulous Trobadors ce qui est à eux.
J'espère que ça sera une valeur très très proche de zéro. Cela me prouvera au moins de manière numérique que cette $\zeta$ ne contient pas d'erreur.
Bientôt je vous enverrai $\zeta$ du premier zéro.
Je ne sais pas comment obliger Maple à ecrire $2^{1+i}$ sous sa forme algébrique $a+ib$.
je tape $evalf \Big(2^{1+i}\Big)$ et $evalc \Big(2^{1+i}\Big)$ mais ça me donne toujours la forme $2^{1+i}$.
qq1 y connait en Maple pour m'aider?
Notons $z_0=\frac{1}{2}+14.13472514173469379045725 i$ le premier zéro de $\zeta$.
$$n=46\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{46} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=3.50349443885*10^{-9}-1.04453523522*10^{-9} I$$
$$n=50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{50} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.6040718319*10^{-10}+1.7293230537*10^{-10} I$$
$$n=100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{100} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.26*10^{-18}+2*10^{-20} I$$
$$n=200\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{200} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.26*10^{-18}+2*10^{-20} I$$
et ça se stabilise sur cette valeur.
Il reste à régler quelque problème techniques liés à Maple pour rendre les valeurs encore plus précise.
- C'est beau les maths surtout quand la théorie coïncide avec l'expérience informatique.
En tapant "PARI GP" dans Google.
Cordialement,
Rescassol
sum(k=0,1000, ....) calcule la somme des mille premiers termes d'une suite.
Pour choisir la précision, avant toute chose:
\p 50
(50 chiffres après la virgule par exemple)
pour définir une fonction:
Par exemple pour calculer la somme des n premiers termes des inverses des carrés:
F(n)={sum(k=1,n,1/k^2)}
Pour lancer cette fonction par exemple:
F(1000).
Si tu veux calculer la valeur approchée (à la précision définie par \p ) d'une intégrale.
Par exemple,
G=intnum(x=0,1,atan(x)/x)
la variable G prendra la valeur de l'intégrale.
Tu peux charger un fichier texte qui contient des calculs à effectuer, très utile quand tu ne veux pas tout retaper à chaque session.
read("calculs.txt")
Il faut que le fichier soit dans le répertoire racine où est installé ce programme
Je vais l'essayer. Mais le seul truc qui m'inquiète c'est le plus grand nombre de Bernoulli que ce programme peut calculer. je préfère que ça soit entre $B(80)$ et $B(100)$.
bernreal() donne une valeur décimale avec la précision sélectionnée par \p
bernfrac(100) donne sous forme de fraction le 100 ème nombre de Bernoulli.
On peut aller obtenir bernreal(1000) si on veut, c'est instantané.
PARI GP est parfait, il est très stable.
Je vais vous envoyer les nouveaux résultats mais je n'arrive pas à copier les valeurs obtenues dans un fichier texte.
Pourriez-vous me montrer comment. merci.
Ou fais une recherche dans ce répertoire.
Sur Window, je ne sais pas... Si on ne trouve pas le fichier créé, il faut faire une recherche de fichier.
Maintenant tout est bon .
- Avec default(realprecision,200), $\zeta$ interne de GP/PARI donne:
$zeta(z_0)=2.4734990233762847485336249132536170872124414915324844773946202786242981283762625043141 \ \ \ E-25$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1.553717564033456544465939832982955878146565112077412312766264580955671332233494691937 \ \ \ \ \ E-24*I$
- Avec default(realprecision,200), et le nombre de termes de la série est $200$, $\zeta$ de la nouvelle formule donne :
$\zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{200} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2.47349902337628474853362491325414225371745361097522308654211908954982232387867171341058 \ \ \ E-25$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1.55371756403345654446593983298286709546740086297514882043379051716044525682524834191188 \ \ \ \ \ E-24*I $
et pour augmenter la précision je dois à la fois augmenter le nombre de termes et la précision "realprecision". Merci.