Une nouvelle forme de Zêta de Riemann

Elle est holomorphe sur tout le plan complexe sauf en 1 $(z\in C-\{1\})$, et ce pôle se manifeste dans la fonction simple $h$.

Je l'ai utilisée pour calculer des valeurs dans tout le plan et je trouve les même valeurs que $\zeta$ d'origine.

Fin de partie: j'ai ajouté le domaine de la fonction dans le 2ème méssage comme tu as dis.

Bien vu:

J'ai oublié de vous dire que pour tout $z$ le rayon de convergence de la série est 1. ce qui montre qu'elle converge en $\frac{1}{2}$.

La série en question est le développement en série entière de la fonction $f_z$ (si on enlève $g_z$), au point 0, valable pour tout x de valeur absolue inférieure strictement à 1.

Une autre remarque, la série en haut ne converge pas assez vite pour nous permettre de montrer l’irrationalité de toutes les valeurs $\zeta(2k+1)$

Bientôt je publierai les résultats ici.

Pour tout $z\in C$ on considère la fonction $x \longrightarrow L_z(x)$ définie sur l'intervalle $]-1;1[$ par la série entière $L_z(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(z)}{n!}x^n$ de rayon de convergence $1$.

Les coefficients $a_n(z)$ sont bien définies et dépendent de $z$ :

On a alors pour tout $z\in C-\{1\}$: $$\zeta(z)=h(z)+ L_z\Big(\frac{1}{2} \Big) $$

J'ai créé une procédure (Petit programme informatique) qui calcule $L_z\Big(\frac{1}{2} \Big)$ en calculant les coefficients $a_n(z)$
mais ces coefficients sont en fonction des nombres de Bernoulli et ceci provoque un petit problème car le programme ne peut calculer que les 40 premiers coefficients. c-à-dire: $L_z\Big(\frac{1}{2} \Big) \sim \sum_{n=0}^{40} \frac{a_n(z)}{n!}\Big(\frac{1}{2} \Big)^n$
Ceci me donne des valeurs très précises des $\zeta(z)$ pour $z$ proche de la droite des réels. Mais pour $\Im(z)>10$ je perd un peu de précision.

Questions:
- Quelle est la version du logiciel Maple qui peut calculer les nombres de Bernoulli jusqu'à 100.
- Est ce que le fait d'écrire $\zeta$ comme somme de deux fonctions, une élémentaire simple $h$ et l'autre spéciale $L_z$ définie par une série entière est une chose importante qu'on peut publier et si oui, où peut on le publier sur internet de façon officielle.

- Magox a dit avoir résolu l'HR. puis proposa sa preuve. qui est fausse.
- L2M a dit qu'il va tenter de le faire juste parce qu'il a une nouvelle écriture de $\zeta$.
- Et Shah d'Ock veut que Shtam ferme ses portes.

Je viens juste de me procurer le nouveau Maple. Je vais reprogrammer cette $\zeta$ en code maple et voir ce que ça donne pour $\zeta(\frac{1}{2}+14.13472514173469379045725 i)$. ($\frac{1}{2}+14.13472514173469379045725 i $ est le premier zéro de $\zeta$).
J'espère que ça sera une valeur très très proche de zéro. Cela me prouvera au moins de manière numérique que cette $\zeta$ ne contient pas d'erreur.

Bizarre, Qu'on j'écrivais mon avant dernier message, j'hésitais entre les 2 mots "rassurera" ou "prouvera" et j'ai choisi en fin de compte "prouvera numériquement" ce qui n'est pas une vraie preuve en maths. mais c'est rassurant. car j'ai la preuve théorique qui peut être fausse. mais les deux ça rassure encore plus.

Problème technique:
Je ne sais pas comment obliger Maple à ecrire $2^{1+i}$ sous sa forme algébrique $a+ib$.
je tape $evalf \Big(2^{1+i}\Big)$ et $evalc \Big(2^{1+i}\Big)$ mais ça me donne toujours la forme $2^{1+i}$.

qq1 y connait en Maple pour m'aider?

Je vous laisse apprécier ce beau résultat :
Notons $z_0=\frac{1}{2}+14.13472514173469379045725 i$ le premier zéro de $\zeta$.

$$n=46\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{46} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=3.50349443885*10^{-9}-1.04453523522*10^{-9} I$$
$$n=50\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{50} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.6040718319*10^{-10}+1.7293230537*10^{-10} I$$
$$n=100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{100} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.26*10^{-18}+2*10^{-20} I$$
$$n=200\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{200} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}=1.26*10^{-18}+2*10^{-20} I$$
et ça se stabilise sur cette valeur.

Il reste à régler quelque problème techniques liés à Maple pour rendre les valeurs encore plus précise.

- Comment avoir ce PARI GP Fin de partie, merci.
- C'est beau les maths surtout quand la théorie coïncide avec l'expérience informatique.

Soit $z_0$ le premier zéro de $\zeta$.

- Avec default(realprecision,200), $\zeta$ interne de GP/PARI donne:

$zeta(z_0)=2.4734990233762847485336249132536170872124414915324844773946202786242981283762625043141 \ \ \ E-25$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1.553717564033456544465939832982955878146565112077412312766264580955671332233494691937 \ \ \ \ \ E-24*I$


- Avec default(realprecision,200), et le nombre de termes de la série est $200$, $\zeta$ de la nouvelle formule donne :

$\zeta(z_0) \sim h(z_0)+ \sum_{n=0}^{200} \frac{a_n(z_0)}{2^n n!}$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2.47349902337628474853362491325414225371745361097522308654211908954982232387867171341058 \ \ \ E-25$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1.55371756403345654446593983298286709546740086297514882043379051716044525682524834191188 \ \ \ \ \ E-24*I $

et pour augmenter la précision je dois à la fois augmenter le nombre de termes et la précision "realprecision". Merci.