Bonjour L2M,
J'imagine que vous le savez mais sinon, vous pouvez trouver les décimales sur la page d'Odlyzko ici (1000 décimales dans le troisième fichier). parties réelles des zéros de zeta
Cordialement,
Aline
Mon but n'est pas de calculer les décimales des zéro de $\zeta$ mais plutôt de tester numériquement que la série de fonction $\sum_{n=0}^{} \frac{a_n(z)}{2^n n!}$ converge vers $\zeta - h$.
Remarques liées à l'écriture $\zeta(z)=h(z)+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(z)}{2^n n!} $:
- J'ai bien pu démontrer que : $\forall p\in \N \ \ \ \ \ \ \zeta(-p)=(-1)^p\frac{B_{p+1}}{p+1}\ \ \ \ \ $ avec les $B_p$ sont les nombres de Bernoulli.
C'est un peu facile parce qu'à partir de $n=p+1$ les termes $a_n(-p)$ s'annulent ($\forall n \geqslant p+1 \ \ \ \ a_n(-p)=0$) ce qui donne
une somme finie facile à calculer: $\zeta(-p)=h(-p)+ \sum_{n=0}^{p} \frac{a_n(-p)}{2^n n!}$
- Grace à cette écriture je peux par exemple donner l'équivalent de $\zeta(z)$ au voisinage de 1 qui est $\gamma + \frac{1}{z-1}$, et son équivalent en l'infinie ($\ \Re(z)$ tend vers l'infinie).
- Je n'ai pas pu encore démontrer que : $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\ \ \ \ $ et $\ \ \ \ \forall p\in \N^* \ \ \ \ \ \zeta(2p)=\frac{|B_{2p}|(2\pi)^{2p}}{2(2p)!}$
- Je n'ai pas pu établir l'équation fonctionnelle de $\zeta$.
Réponses
J'imagine que vous le savez mais sinon, vous pouvez trouver les décimales sur la page d'Odlyzko ici (1000 décimales dans le troisième fichier).
parties réelles des zéros de zeta
Cordialement,
Aline
Les $\dfrac{a_n(z)}{n!}$ dépendent de $n$ et $z$. Les coefficients $a_n(z)$ ressemblent un peu aux nombres de Bernoulli dépendants de $z$.
- J'ai bien pu démontrer que : $\forall p\in \N \ \ \ \ \ \ \zeta(-p)=(-1)^p\frac{B_{p+1}}{p+1}\ \ \ \ \ $ avec les $B_p$ sont les nombres de Bernoulli.
C'est un peu facile parce qu'à partir de $n=p+1$ les termes $a_n(-p)$ s'annulent ($\forall n \geqslant p+1 \ \ \ \ a_n(-p)=0$) ce qui donne
une somme finie facile à calculer: $\zeta(-p)=h(-p)+ \sum_{n=0}^{p} \frac{a_n(-p)}{2^n n!}$
- Grace à cette écriture je peux par exemple donner l'équivalent de $\zeta(z)$ au voisinage de 1 qui est $\gamma + \frac{1}{z-1}$, et son équivalent en l'infinie ($\ \Re(z)$ tend vers l'infinie).
- Je n'ai pas pu encore démontrer que : $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\ \ \ \ $ et $\ \ \ \ \forall p\in \N^* \ \ \ \ \ \zeta(2p)=\frac{|B_{2p}|(2\pi)^{2p}}{2(2p)!}$
- Je n'ai pas pu établir l'équation fonctionnelle de $\zeta$.