Une nouvelle forme de Zêta de Riemann

Mon but n'est pas de calculer les décimales des zéro de $\zeta$ mais plutôt de tester numériquement que la série de fonction $\sum_{n=0}^{} \frac{a_n(z)}{2^n n!}$ converge vers $\zeta - h$.

Je vais voir numériquement.

Non.

Les $\dfrac{a_n(z)}{n!}$ dépendent de $n$ et $z$. Les coefficients $a_n(z)$ ressemblent un peu aux nombres de Bernoulli dépendants de $z$.

Remarques liées à l'écriture $\zeta(z)=h(z)+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(z)}{2^n n!} $:

- J'ai bien pu démontrer que : $\forall p\in \N \ \ \ \ \ \ \zeta(-p)=(-1)^p\frac{B_{p+1}}{p+1}\ \ \ \ \ $ avec les $B_p$ sont les nombres de Bernoulli.
C'est un peu facile parce qu'à partir de $n=p+1$ les termes $a_n(-p)$ s'annulent ($\forall n \geqslant p+1 \ \ \ \ a_n(-p)=0$) ce qui donne
une somme finie facile à calculer: $\zeta(-p)=h(-p)+ \sum_{n=0}^{p} \frac{a_n(-p)}{2^n n!}$

- Grace à cette écriture je peux par exemple donner l'équivalent de $\zeta(z)$ au voisinage de 1 qui est $\gamma + \frac{1}{z-1}$, et son équivalent en l'infinie ($\ \Re(z)$ tend vers l'infinie).

- Je n'ai pas pu encore démontrer que : $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\ \ \ \ $ et $\ \ \ \ \forall p\in \N^* \ \ \ \ \ \zeta(2p)=\frac{|B_{2p}|(2\pi)^{2p}}{2(2p)!}$

- Je n'ai pas pu établir l'équation fonctionnelle de $\zeta$.