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Conjecture de Goldbach

Envoyé par Utilisateur anonyme 
Utilisateur anonyme
Conjecture de Goldbach
il y a trois années
J'ai récemment eu de nouvelles idées concernant la conjecture de Goldbach asymptotique (quand $2n$ tend vers l'infini). J'utilise les fonctions de type $\Pi(x), \pi (x)$ et les formules exactes de Riemann et von Mangoldt. Je mets la conjecture de Goldbach sous une forme agréable en utilisant des intégrales puis je passe à l'étude asymptotique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Satan.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
Le résultat ?
Utilisateur anonyme
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
Le résultat est, semble-t-il, que quand $2n$ est grand, on a Goldbach.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
avatar
Si on considère la fonction $\displaystyle F(x)=\sum_{k=2}^{+\infty} x^{p_k}$ définie pour $0\leq x<1$ avec $p_k$ le $k$-ème nombre premier.

La conjecture de Goldbach* est équivalente, sauf erreur, à:
Pour tout $n$ entier pair>4, $\left(\dfrac{d^n}{dx^n}(F(x))^2\right)(0)>0$

*Pour tout entier pair>4, n est somme de deux nombres premiers.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
@Fin de partie

C'est très joli cette présentation de Goldbach,tu as une lecture ou une référence?

Merci
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
avatar
J'y ai pensé quand sur le forum il était question du calcul du nombre de solutions d'équations diophantiennes comme $2x+3y+7z=2016$ ou plus récemment sur la décomposition en somme de trois nombres triangulaires mais l'idée est assez naturelle (sans doute éculée) bien que je ne vois pas ce que cette présentation apporte pour le moment puisque on ne sait rien sur $f$ et $f^2$.
On peut exprimer les coefficients dans le développement en série entière de $f^2$ en fonction de ceux de $f$.

Il y a d'autres approches reliées à des polynômes. Quelqu'un avait peut-être posté un lien sur un article il y a quelques semaines, je ne me souviens plus (ou je l'ai lu sur arxiv.org je ne sais plus).

Comme déjà indiqué dans le passé, je me demande ce qu'impliquerait de supposer qu'un nombre pair>2 ne puisse pas s'écrire comme une somme de deux nombres impairs. Cela impliquerait-il qu'il y en ait d'autres, une infinité d'autres?
J'ai cherché sur jstor.org, pendant que je pouvais le faire, je n'ai pas trouvé d'articles concernant directement la conjecture de Goldbach mais je n'ai pas de référence pour commencer (un article avec une source bibliographique assez bien fournie).
Il manque un livre avec un titre comme: Goldbach conjecture, a source book. grinning smiley

PS:
L'article mentionné est celui-ci:

"Polynomials whose reducibility is related to the Goldbach conjecture"
[arxiv.org]

Dans cet article, ils considèrent la fonction $\chi$ définie pour tout entier naturel par:
Si $n$ est un nombre premier impair $\chi(n)=1$ et autrement pour toute autre valeur cette fonction vaut $0$.

Pour tout $N>0$ entier naturel ils définissent le polynôme,

$\displaystyle F_N(z)=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{n=1}^{N-1}\chi(n)z^{kn}\right)^2$

Et ils montrent que:

La conjecture de Goldbach est fausse pour $N$ si et seulement si $\Phi_N$ divise $F_N$.

$\Phi_N$ est le N-ème polynôme cyclotomique.

L'ennui est que pour tout $N>0$ entier naturel $\Phi_{2N}$ divise $F_N$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
De quoi faire une bonne recherche,merci
Utilisateur anonyme
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
La formule exacte de von Mangoldt et Riemann est : $$
L(x)=\sum_{p,m,p^m<x} \log(p)= x -\sum_{\rho} (x^{\rho} /\rho) -\zeta'(0)/\zeta(0) -1/2 \log(1-x^{-2})
$$ somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann. \begin{align*}
l(x)&=\sum_{p<x} \log(p) \\
L(x)&=\sum_k l(x^{1/k}) \\
l(x)&=\sum_k \mu (k) L(x^{1/k})
\end{align*} avec $\mu$ les coefficient de Moebius.
La conjecture de Goldbach peut s'écrire, avec $\epsilon, \eta$ petits $$
\sum_{k=0}^n [ l (n+k+\epsilon)- l (n+k-\epsilon)][l(n-k+ \eta)-l(n-k-\eta)] \neq 0
$$ Après quelques instants de réflexion, on peut aussi changer la somme par une intégrale : $$
\int_0^n [l(n+x+\epsilon)-l(n+x-\epsilon )][l(n-x+\eta)-l(n-x-\eta)] dx \neq 0
$$ avec $\epsilon,\eta$ petit, on intègre alors deux fois par rapport à $\epsilon,\eta$ sous le signe intégrale.
Je n'écris pas tous les termes qui proviennent de l'expression, mais il y a des termes du type : $$
[(n+x+\epsilon )^{\rho /m}/\rho -(n+x-\epsilon )^{\rho /m}/\rho ]\times
[(n-x+\eta)^{\rho'/m'}/\rho'-(n-x-\eta)^{\rho'/m'}/\rho']
$$ que l'on intègre en $$
[(n+x+\epsilon)^{\rho/m+2}-(n+x-\epsilon)^{\rho/m+2} /(\rho (\rho/m+1)(\rho/m+2)))][...etc
$$ on prend alors la limite $\epsilon,\eta$ tendant vers zéro, avec $(1-\epsilon)^a = 1-a \epsilon$ et on enlève pendant le limite $\epsilon$ et $\eta$. Dans l'expression obtenue, on fait le changement de variables $x=ny$ et on permute le signe intégrale et somme.

Il est alors possible de prendre une limite asymptotique quand $n$ est grand.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Satan.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
avatar
Peux-tu fournir un énoncé clair?

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Utilisateur anonyme
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
Une démarche similaire pourrait donner des résultats dans le cas des nombres premiers jumeaux, je pense.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
avatar
Oui, la conjecture de Goldbach et celle des nombres jumeaux sont assez apparentées. Mais ton approche, au demeurant intéressante, ne suppose-t-elle pas une bonne connaissance des zéros non triviaux de $\zeta$ ?
Utilisateur anonyme
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
Non, je suppose l'hypothèse de Riemann pour les zéros de zeta; les formules exactes ont été démontrées par von Mangoldt. Je n'utilise rien de plus.
Re: Conjecture de Goldbach
il y a trois années
L'hypothèse de Riemann donne que $l(x) = \sum_{p < x} \log(p) = x + \mathcal{O}(x^a)$ où $a = 1/2+\epsilon$

et donc que en moyenne un nombre pair $2n$ s'écrit de $\sum_{k=2}^n \frac{1}{\ln k}\frac{1}{\ln(n+k)}+ \mathcal{O}(\sum_{k=2}^n \frac{1}{ k^{a}}\frac{1}{(n+k)^{a}})$ manières comme la somme de deux nombres premiers

mais $l(x+1/2)-l(x-1/2) = 1+\mathcal{O}(x^a)$ donc ça n'indique rien sur le fait qu'un nombre impair en particulier soit premier, ou qu'un nombre pair en particulier s'écrive comme la somme de deux nombres premiers.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
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