Conjecture de Goldbach
dans Shtam
J'ai récemment eu de nouvelles idées concernant la conjecture de Goldbach asymptotique (quand $2n$ tend vers l'infini). J'utilise les fonctions de type $\Pi(x), \pi (x)$ et les formules exactes de Riemann et von Mangoldt. Je mets la conjecture de Goldbach sous une forme agréable en utilisant des intégrales puis je passe à l'étude asymptotique.
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Réponses
La conjecture de Goldbach* est équivalente, sauf erreur, à:
Pour tout $n$ entier pair>4, $\left(\dfrac{d^n}{dx^n}(F(x))^2\right)(0)>0$
*Pour tout entier pair>4, n est somme de deux nombres premiers.
C'est très joli cette présentation de Goldbach,tu as une lecture ou une référence?
Merci
On peut exprimer les coefficients dans le développement en série entière de $f^2$ en fonction de ceux de $f$.
Il y a d'autres approches reliées à des polynômes. Quelqu'un avait peut-être posté un lien sur un article il y a quelques semaines, je ne me souviens plus (ou je l'ai lu sur arxiv.org je ne sais plus).
Comme déjà indiqué dans le passé, je me demande ce qu'impliquerait de supposer qu'un nombre pair>2 ne puisse pas s'écrire comme une somme de deux nombres impairs. Cela impliquerait-il qu'il y en ait d'autres, une infinité d'autres?
J'ai cherché sur jstor.org, pendant que je pouvais le faire, je n'ai pas trouvé d'articles concernant directement la conjecture de Goldbach mais je n'ai pas de référence pour commencer (un article avec une source bibliographique assez bien fournie).
Il manque un livre avec un titre comme: Goldbach conjecture, a source book. :-D
PS:
L'article mentionné est celui-ci:
"Polynomials whose reducibility is related to the Goldbach conjecture"
https://arxiv.org/abs/1408.4881
Dans cet article, ils considèrent la fonction $\chi$ définie pour tout entier naturel par:
Si $n$ est un nombre premier impair $\chi(n)=1$ et autrement pour toute autre valeur cette fonction vaut $0$.
Pour tout $N>0$ entier naturel ils définissent le polynôme,
$\displaystyle F_N(z)=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\sum_{n=1}^{N-1}\chi(n)z^{kn}\right)^2$
Et ils montrent que:
La conjecture de Goldbach est fausse pour $N$ si et seulement si $\Phi_N$ divise $F_N$.
$\Phi_N$ est le N-ème polynôme cyclotomique.
L'ennui est que pour tout $N>0$ entier naturel $\Phi_{2N}$ divise $F_N$.
L(x)=\sum_{p,m,p^m<x} \log(p)= x -\sum_{\rho} (x^{\rho} /\rho) -\zeta'(0)/\zeta(0) -1/2 \log(1-x^{-2})
$$ somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann. \begin{align*}
l(x)&=\sum_{p<x} \log(p) \\
L(x)&=\sum_k l(x^{1/k}) \\
l(x)&=\sum_k \mu (k) L(x^{1/k})
\end{align*} avec $\mu$ les coefficient de Moebius.
La conjecture de Goldbach peut s'écrire, avec $\epsilon, \eta$ petits $$
\sum_{k=0}^n [ l (n+k+\epsilon)- l (n+k-\epsilon)][l(n-k+ \eta)-l(n-k-\eta)] \neq 0
$$ Après quelques instants de réflexion, on peut aussi changer la somme par une intégrale : $$
\int_0^n [l(n+x+\epsilon)-l(n+x-\epsilon )][l(n-x+\eta)-l(n-x-\eta)] dx \neq 0
$$ avec $\epsilon,\eta$ petit, on intègre alors deux fois par rapport à $\epsilon,\eta$ sous le signe intégrale.
Je n'écris pas tous les termes qui proviennent de l'expression, mais il y a des termes du type : $$
[(n+x+\epsilon )^{\rho /m}/\rho -(n+x-\epsilon )^{\rho /m}/\rho ]\times
[(n-x+\eta)^{\rho'/m'}/\rho'-(n-x-\eta)^{\rho'/m'}/\rho']
$$ que l'on intègre en $$
[(n+x+\epsilon)^{\rho/m+2}-(n+x-\epsilon)^{\rho/m+2} /(\rho (\rho/m+1)(\rho/m+2)))][...etc
$$ on prend alors la limite $\epsilon,\eta$ tendant vers zéro, avec $(1-\epsilon)^a = 1-a \epsilon$ et on enlève pendant le limite $\epsilon$ et $\eta$. Dans l'expression obtenue, on fait le changement de variables $x=ny$ et on permute le signe intégrale et somme.
Il est alors possible de prendre une limite asymptotique quand $n$ est grand.
et donc que en moyenne un nombre pair $2n$ s'écrit de $\sum_{k=2}^n \frac{1}{\ln k}\frac{1}{\ln(n+k)}+ \mathcal{O}(\sum_{k=2}^n \frac{1}{ k^{a}}\frac{1}{(n+k)^{a}})$ manières comme la somme de deux nombres premiers
mais $l(x+1/2)-l(x-1/2) = 1+\mathcal{O}(x^a)$ donc ça n'indique rien sur le fait qu'un nombre impair en particulier soit premier, ou qu'un nombre pair en particulier s'écrive comme la somme de deux nombres premiers.